2022版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线学案含解析新人教A版

1、高考复习资料第六节双曲线一、教材概念·结论·性质重现1双曲线的定义平面内与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|f1f2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当a<c时，点p的轨迹是双曲线(2)当ac时，点p的轨迹是两条射线(3)当a>c时，点p不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)图形性质范围xa或xa，yrxr，ya或ya对称性

2、对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线y±xy±x离心率e，e(1，)，其中c实虚轴实轴|a1a2|2a；虚轴|b1b2|2b；实半轴长a，虚半轴长ba，b，c的关系c2a2b2(c>a>0，c>b>0)3.常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径(2)与双曲线1(a>0，b>0)有共同的渐近线的方程可表示为(0)(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(4)若p是双曲线右支上一点，f1，f2分别为双曲线的左、右焦点，则|pf1|minac，|pf2|m

3、inca.二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)平面内到点f1(0,2)，f2(0，2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹是双曲线(×)(2)方程1(mn>0)表示焦点在y轴上的双曲线(×)(3)双曲线方程(m>0，n>0，0)的渐近线方程是0，即±0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()2双曲线y21的焦点坐标是()a(，0)，(，0) b(2,0)，(2,0)c(0，)，(0，) d(0，2)，(0,2)b题目解析：由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2a2

4、b2314，所以c2，故焦点坐标为(2,0)，(2,0)3若双曲线1(a>0)的离心率为，则a_.4题目解析：由题意可得，e2，即a216.又a>0，所以a4.4经过点a(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_1题目解析：设双曲线方程为x2y2(0)，把点a(3，1)代入，得8，故所求双曲线方程为1.5已知双曲线x21上一点p到它的一个焦点的距离等于4，那么点p到另一个焦点的距离等于_6题目解析：设双曲线的焦点为f1，f2，|pf1|4，则|pf1|pf2|2，故|pf2|6或2.又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为ca1，故|pf2|6.考点1双曲线的定义基础性(1)

5、(2020·浙江卷)已知点o(0,0)，a(2,0)，b(2,0)设点p满足|pa|pb|2，且p为函数y3图象上的点，则|op|()a b c dd题目解析：由双曲线定义可知，点p在以a，b为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上设p(x，y)，则x21(x1)，将y3代入可得x2，所以y23(x21)，所以|op|.故选d(2)(2020·肥东县综合高中高三三模)已知双曲线c：1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点为f1，点q(0，c)(c为半焦距)p是双曲线c的右支上的动点，且|pf1|pq|的最小值为6，则双曲线c的方程为_x21题目解析：设双曲线右焦点为f

6、2，则|pf1|pf2|2a，所以|pf1|pq|2a|pf2|pq|，而|pf2|pq|的最小值为|qf2|2c，所以|pf1|pq|最小值为2a2c6.又2，解得a1，c2，于是b23，故双曲线c的方程为x21.利用双曲线的定义求方程要注意的问题(1)距离之差的绝对值(2)2a|f1f2|.(3)焦点所在坐标轴的位置1(2020·咸阳市高三三模)设f1，f2是双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，p为双曲线右支上一点若f1pf290°，c2，s3，则双曲线的渐近线方程为()ay±2x by±xcy±x dy±xd题目

7、解析：由题意可得所以(|pf1|pf2|)2|pf1|2|pf2|22|pf1|·|pf2|4，|pf1|pf2|22a，得a1，b，所以渐近线方程为y±x.2(2020·深圳市高三二模)已知双曲线c：1(a>0，b>0)的焦点分别为f1(5,0)，f2(5，0)，p为双曲线c上一点，pf1pf2，tan pf1f2，则双曲线c的方程为()ax21 by21c1 d1a题目解析：如图，因为pf1pf2，tan pf1f2，|f1f2|10，所以|pf1|8，|pf2|6.根据双曲线的定义可得|pf1|pf2|2a2，即a1，所以b2c2a225124，

8、所以双曲线c的方程为x21.考点2双曲线的方程综合性(1)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()a(1,3) b(1，) c(0,3) d(0，)a题目解析：因为双曲线的焦距为4，所以c2，即m2n3m2n4，解得m21.又由所给方程表示双曲线得(1n)(3n)>0，解得1<n<3.(2)(2020·天津卷)设双曲线c的方程为1(a>0，b>0)，过抛物线y24x的焦点和点(0，b)的直线为l.若c的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线c的方程为()a1 bx21cy21 dx2y21d题目解析：由题意知双

9、曲线的两条渐近线互相垂直，所以双曲线c为等轴双曲线，渐近线的斜率分别为1和1.因为直线l与一条渐近线平行，抛物线y24x的焦点为(1,0)，所以1，即b1.所以双曲线c的方程为x2y21.故选d求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值；与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值1已知双曲线c：1，则双曲线c的焦点坐标为()a(±5,0) b(±，0) c(0，±5) d(0，±

10、)c题目解析：双曲线的焦点坐标在y轴上，又a216，b29，则c2a2b225，即c5，故双曲线的焦点坐标为(0，±5)2与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点m(2，2)的双曲线方程为_1题目解析：设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k.将点(2，2)代入得k(2)22，所以双曲线的标准方程为1.3已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时与圆c1及圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为_x21(x1)题目解析：如图所示，设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于a和b根据两圆外切的条件，得|mc1|ac1|ma|，|mc2|bc2|mb|.因为|ma|

11、mb|，所以|mc1|ac1|mc2|bc2|，即|mc2|mc1|bc2|ac1|2，所以点m到两定点c2，c1的距离的差是常数且小于|c1c2|6.根据双曲线的定义，得动点m的轨迹为双曲线的左支(点m与c2的距离大，与c1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点m的轨迹方程为x21(x1)考点3双曲线的几何性质综合性考向1双曲线的渐近线双曲线1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为()ay±x by±x cy±x dy±xa题目解析：(方法一)由题意知，e，所以ca，所以ba，即，所以该双曲线的渐近线方程为y±x

12、77;x.(方法二)由e，得，所以该双曲线的渐近线方程为y±x±x.求双曲线的渐近线的方法已知双曲线1(a>0，b>0)或1(a>0，b>0)的方程，求渐近线的方程时，可令0，得y±x；或令0，得y±x.反之，已知渐近线方程为y±x，可设双曲线方程为(a>0，b>0，0)考向2求双曲线的离心率(1)(2020·江苏卷)在平面直角坐标系xoy中，若双曲线1(a>0)的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率是_题目解析：因为双曲线1(a>0)的渐近线方程为y±x，所以，所以a2，

13、则离心率e.(2)(2020·浏阳一模)已知双曲线c1：1(a>0，b>0)，圆c2：x2y22axa20.若双曲线c1的一条渐近线与圆c2有两个不同的交点，则双曲线c1的离心率的取值范围是()a b c(1,2) d(2，)a题目解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y±x，即bx±ay0，圆c2：x2y22axa20可化为(xa)2y2a2，圆心c2的坐标为(a,0)，半径ra.由双曲线c1的一条渐近线与圆c2有两个不同的交点，得<a，即c>2b，即c2>4b2.又知b2c2a2，所以c2>4(c2a2)，即c2<a2，

14、所以e<.又知e>1，所以双曲线c1的离心率的取值范围为.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解考向3与双曲线有关的最值和范围问题已知m(x0，y0)是双曲线c：y21上的一点，f1，f2是c的两个焦点若·<0，则y0的取值范围是()a bc da题目解析：因为f1(，0)，f2(，0)，y1，所以·(x0，y0)·(x0，y0)xy3<0，即3y1<0，解得<y0<.与双曲线有关

15、的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换求解(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决1在平面直角坐标系xoy中，双曲线c：1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x2)2(y1)21相切，则双曲线c的离心率为()a b c db题目解析：由题意知，双曲线c的渐近线方程为by±ax0，结合图形(图略)易知与圆相切的只可能是byax0.又圆心坐标为(2,1)，则1，得3a4b，所以9a216b216(c2a2)，则e2.又e>1，故e.2已知焦点在x轴上的双曲线1，求它的焦点到渐近线的距离的取值范围解：

16、对于焦点在x轴上的双曲线1(a>0，b>0)，它的一个焦点(c,0)到渐近线bxay0的距离为b.双曲线1，即1，其焦点在x轴上，则解得4<m<8，则焦点到渐近线的距离d(0,2)已知a，f，p分别为双曲线1(a>0，b>0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点若pfa2paf恒成立，则双曲线的离心率为()a b c2 d1四字程序读想算思a，f分别是双曲线的左顶点和右焦点，p是双曲线上的动点1.双曲线的离心率的表达式是什么？2.如何把几何条件pfa2paf转化为代数式子？设paf，建立paf和pfa之间的联系数形结合pfa2paf，求双曲线的离心率1.e；2.

17、转化为直线的倾斜角，进而用直线的斜率表示二者之间的关系tanpfatan 2利用特殊值法或者代数运算，都要结合图形解决问题思路参考：特殊值法，不妨设pfa90°求解c题目解析：因为pfa2paf恒成立，不妨令pfa90°，则paf45°.在双曲线1中，令xc，易得p.因为tanpaf1，所以ac，所以c2ac2a20，所以(ca)(c2a)0，解得c2a，即e2.思路参考：利用诱导公式表示出直线pa，pf之间斜率的关系求解c题目解析：设paf，pfa2，kpak1，kpfk2，k2tan(2).设点p(x0，y0)，故1.因为k2，k1，所以.联立消去y0得：x(

18、4a2c)x0c22ac0，(*)当且仅当时，(*)式恒成立，此时e2.思路参考：造构相似三角形，结合平面几何知识求解c题目解析：如图1，acb2abc，由平面几何知识，acdbad，故，所以c2b2ab，反之亦然图1图2在双曲线中，设点p(x0，y0)，过点p作pmaf，如图2.因为pfa2paf，同理可得|pa|2|pf|2|af|·|pf|，又|pa|2|pf|2(|am|2|mp|2)(|mf|2|mp|2)(|am|mf|)(|am|mf|)|af|·(2x0ac)，所以|pf|2x0ac.由双曲线的焦半径公式知，|pf|ex0a，所以2x0acex0a，此时e2.思路参考：设出点p(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解c题目解析：如图，作pmaf于m，设paf，pfa2，设点p(m，n)在rtpam中，tan ，在rtpfm中，tan 2.因为tan 2，所以，所以2(ma)(cm)(ma)2n2，所以2(ma)(cm)(ma)2b2，所以2m22(ca)m2acm22amc2恒成立所以所以e2.1本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几何性质寻找a，c的关系式2基于课程标准，解答本题要熟练