2022版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线方程学案含解析新人教A版

1、高考复习资料第8章 平面题目解析几何课程标准命题解读1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2.掌握直线方程的几种形式，能根据两条直线的斜率及直线方程判定这两条直线平行或垂直3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离4.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程5.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系6.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质7.了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们简单的几何性质.考查形式：一般为两个选择题或填空题和一个解答题考查内容：直线和圆的位置关系，圆锥曲线标准方程的求解，椭圆、双曲线离心率的计算等几何

2、性质，直线与圆锥曲线的位置关系，最值与范围问题，定点与定值问题，探索性问题或证明问题备考策略：(1)熟练掌握直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线方程的求法(2)深刻理解圆锥曲线的定义，并能应用定义解决相关问题(3)在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，要加强运算的训练，重视“设而不求”的思想方法的应用(4)掌握最值和范围、定点与定值、探索性问题等的一般解法和思想核心素养：数学抽象、数学运算.第一节直线方程一、教材概念·结论·性质重现1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，

3、我们规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线的倾斜角的取值范围为0°a180°.2斜率公式(1)我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan .(2)倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率(3)若p1(x1，y1)，p2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则直线l的斜率k.斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换就是说，如果分子是y2y1，那么分母必须是x2x1；反过来，如果分子是y1y2，那么分母必须是x1x2.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点

4、斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式axbyc0(a2b20)所有的直线都适用(1)求直线方程时，若不能判断直线是否具有斜率，应对斜率存在与不存在加以讨论(2)“截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率(×)(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大(×)(3

5、)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等(×)(4)不经过原点的直线都可以用1表示(×)(5)经过任意两个不同的点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()2直线xy10的倾斜角为()a30°b45° c120°d150°b题目解析：由题得，直线yx1的斜率为1.设其倾斜角为，则tan 1.又0°180°，故45°.故选b.3如果ac<0，且bc<0，那么直线axbyc0不经过()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限c题目解析：

6、由已知得直线axbyc0在x轴上的截距>0，在y轴上的截距>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限4已知a(3,5)，b(4,7)，c(1，x)三点共线，则x_.3题目解析：因为a，b，c三点共线，所以kabkac，所以，所以x3.5过点p(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为_3x2y0或xy50题目解析：当纵、横截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5，直线方程为xy50.考点1直线的倾斜角与斜率基础性1若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有()ak1<k2<k3bk3<k1<k2

7、ck3<k2<k1dk2<k3<k1d题目解析：由图可知k1>0，k2<0，k3<0，且直线l3的倾斜角大于直线l2的倾斜角，所以k3>k2.综上可知k2<k3<k1.故选d2直线l经过点a(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率k的取值范围是()a bc(，1) d(，1)d题目解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y2k(x1)，直线在x轴上的截距为1.令3<1<3，解不等式得k<1或k>.3已知直线的方程为xsin y10，r，则直线l的倾斜角的取值范围是()abc db题目解析：因为直线

8、l的方程为xsin y10，所以yx，即直线的斜率k.由1sin 1，得k.又直线的倾斜角的取值范围为0，)，由正切函数的性质可得，直线的倾斜角的取值范围为.4若直线l经过a(3,1)，b(2，m2)(mr)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是_题目解析：直线l的斜率k1m21，所以ktan 1.又ytan 在上单调递增，因此<.1倾斜角与斜率k的函数关系ktan ，求倾斜角或斜率范围时，可结合图象解题2斜率的两种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率(2)公式法：若已知直线上两点a(x1，y1)，b(x2，y2)，一般根据公式k(x1x2)求斜率

9、考点2求直线的方程基础性根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0<)从而cos ±，则ktan ±.故所求直线方程为y±(x4)即x3y40或x3y40.(2)由题设知纵、横截距不为0.设直线方程为1.又直线过点(3,4)，从而1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x50，满足题意当斜率存

10、在时，设斜率为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy105k0.由点到直线的距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.求直线方程的方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程求适合下列条件的直线方程：(1)求过点a(1,3)，倾斜角是直线yx的倾斜角的的直线方程；(2)经过点a(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍；(3)经过点b(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形解：(1)因为yx的斜率为k，其倾斜

11、角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为，所以直线方程为y3(x1)，即直线方程为xy30.(2)设直线y3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.因为tan 3，所以tan 2.又直线经过点a(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y4±(x3)所求直线的方程为xy10或xy70.考点3直线方程的综合应用综合性考向1求与最值有关的直线方程过点p(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于a，b两点，o为坐标原点(1)当aob面积最小时，求直线l的方程；(2

12、)当|oa|ob|取最小值时，求直线l的方程解：设直线l：1(a>0，b>0)因为直线l经过点p(4,1)，所以1.(1)因为12，所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立所以，当a8，b2时，aob的面积最小此时直线l的方程为1，即x4y80.(2)因为1(a>0，b>0)，所以|oa|ob|ab(ab)·5529，当且仅当a6，b3时等号成立，所以当|oa|ob|取最小值时，直线l的方程为1，即x2y60.求解与最值有关的直线方程问题的一般步骤(1)设出直线方程，建立目标函数(2)利用基本不等式、一元二次函数求解最值，得出待定系数(3)写出直线方程考向2

13、由直线方程求参数的值或范围已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24.当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a_.题目解析：由题意知直线l1，l2恒过定点p(2,2)，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积s×2×(2a)×2×(a22)a2a4.又0<a<2，所以当a时，四边形的面积最小由直线方程求参数的值或取值范围的注意事项(1)注意寻找等量关系或不等关系注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解(2)注意直线

14、恒过定点问题1如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一根电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为_米10题目解析：如图，建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y4k(x3)(k<0)，所以a，b(0,43k)，所以abo的面积s×(43k)××.因为k<0，所以9k224，当且仅当9k，即k时取等号此时，a(6,0)，b(0,8)，所以人行道的长度为10(米)2设mr，过定点a的动直线xm

15、y0和过定点b的动直线mxym30交于点p(x，y)，则|pa|pb|的最大值是_5题目解析：由直线xmy0求得定点a(0，0)，直线mxym30，即y3m(x1)，得定点b(1，3)当m0时，两条动直线垂直；当m0时，因为×m1，所以两条动直线也垂直因为p为直线xmy0与mxym30的交点，所以|pa|2|pb|2|ab|210，所以|pa|pb|5(当且仅当|pa|pb|时，等号成立)，所以|pa|·|pb|的最大值是5.已知直线l过点p(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于a，b两点，如图所示，求abo的面积的最小值及此时直线l的方程 四字程序读想算思abo的面积

16、的最小值及此时直线l的方程1.三角形面积的表达式；2以谁为变量？用适当的变量表示面积s，并求其最小值和此时的直线方程转化与化归直线过定点，且与x轴、y轴的正半轴分别交于a，b两点1.sah；2.sab·sin c；3.点的坐标作变量；4.直线的斜率作变量1.sab12；2.s122×(1212)121.均值不等式；2.三角函数的性质思路参考：设出直线的截距式方程，利用基本不等式求出ab的最小值，即可求出直线方程，得到面积的最小值解：设直线方程为1(a0，b0)将点p(3,2)代入得12，得ab24.从而saboab12，当且仅当时等号成立，这时k.从而所求直线方程为2x3y

17、120.所以abd的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x3y120.思路参考：设出截距式方程，利用三角函数的有界性求出面积的最值，进而求出直线方程解：设直线方程为1(a0，b0)，将点p(3,2)的坐标代入得1.令sin2，cos2，则a，b，所以saboab.因为0<sin221，所以sabo12，当且仅当sin221时等号成立所以当且仅当时等号成立，即k，从而所求直线方程为2x3y120.所以abd的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x3y120.思路参考：设出直线的点斜式方程，表示出abo的面积，结合基本不等式求得最值解：依题意知，直线l的斜率k存在且k0，则直线l的方程为y2k(x3)(k0)，且有a，b(0,23k)，所以sabo(23k)×(1212)12.当且仅当9k，即k时，等号成立，即abo的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.1本题考查根据具体的条件求直线的方程，基本策略是设出直线的方程，用变量表示三角形的面积，求出面积的最小值及取得最小值时的条件，得到直线的方程2本题体现了数学运算、数学抽象的核心素养3基于高考数学评价体系，本题创设了数学情境，通过知识之间的内在联系和转化，构造函数利用基本不等式或函数的性质求最值，体现了基础性和综合性过点p(2,1)的直线分别与x轴和y