导数的概念与几何意义又一篇

1、导数的概念与几何意义. 教学内容导数的概念与几何意义1. 导数的概念设函数 y f(x)在 x0及其近旁有定义，用x 表示 x 的改变量，于是对应的函数值改变量为 y f (x0x) f (x0 ) ，如果极限 lixmy0xlim f (x0x) f (x0)lixm0x 存在极限，则称函数yf(x)在点 x0 处可导，此极限值叫函数f(x)在点 x0处的导数， 记作 f (x0)或 yx x0f (x0x) f (x0)x x 称为函数 yf(x)在x0到 x0x 之间的平均变化率，函数2.f (x) 在点 x0 处的导数即平均变化率当x 0 时的极限值。导数的几何意义函数 y f(x)在

2、一点 x0的导数等于函数图形上对应点(x0 ,f(x0 ) 的切线斜率，即tanf (x0) ，其中 是过 P0(x0 , y0) 的切线的倾斜角，过点P0(x0 , y0) 的切线方程为y y0 f (x0)(x x0)3. 导数的物理意义即瞬时变化率， 若函数 f(x)函数 y f (x)在 x0的导数是函数在该点处平均变化率的极限，表示运动路程，则 f (x0) 表示在 x0 时刻的瞬时速度。4. 导函数的概念如果函数 f (x) 在开区间 (a , b)内每一点都可导，就说 f(x)在 (a , b)内可导，这时，对于 开区间 (a ,b) 内每个确定的值 x0都对应一个确定的导数 f

3、 (x0) ，这就在 (a, b)内构成一个新 的函数，此函数就称为 f ( x)在(a , b)内的导函数，记作 f (x)或 y(或yx)，即 f (x) lim f(x x) f (x)x 0 x而当 x取定某一数值 x x0 时的导数是上述导函数的一个函数值。f(x0x) f(x0)f (x0) lim 0 0 导数与导函数概念不同，导数是在一点处的导数 0 x 0 x ，导函数是某一区间 (a , b)内的导数，对 x (a ,b)f (x) lim f (x x) f (x) x 0 x导函数是以 (a ,b) 内任一点 x为自变量，以 x处的导数值为函数值的函数关系，导函数反 映

4、的是一般规律，而 x 等于某一数值时的导数是此规律中的特殊性。典型例题】1112 f (x0 )f (x0121 x) f(x0)x例 1 已知函数yf (x) 在x0 处存在导数 f (x0) a ，求 x 0limf(x012 x)f(x0) 1( 12)x01x2解： 上式f(x012 x)f(x0)11limx2x02t1x0时，t0令2，当x例 2 已知 f (x) x ，求导函数 f (x)解： y x xxy x xx(xx) x 1xxx( xx x) x x xf (x)limx 0 x12x注： 利用定义求导数的步骤yf(x0x) f(x0 )( 2)求平均变化率 xxli

5、m y( 3)取极限 x 0 x3 已知曲线 C： y 3xx 及点 P(2, 2) ，则过点 P 可向 C 引切线条数为(A. 0B. 1C. 2D. 3例1)求函数增量 y f (x0 x) f (x0 )解： 设切点 Q(x0 , y0)则切线 l 的方程为：2y y0 (3 3x0 )(x x0 )即 y 3x0 x03 (3 3x02 )(x x0)y (3 3x02 )x 2x0323 由点 P(2, 2) 在直线 l 上，故 2 (3 3x0 ) 2 2x032 x0 3x0 2 02(x0 1)( x02 2x0 2) 0x01 或 x01 3 或 x0所以过点 P向 C 可引

6、三条切线y模拟试题】21. 抛物线 y x 在点 P( 1 , 1)处的切线的倾斜角是()arctanA. arctan2B. arctan(2)C.2 D.arctan22. 与直线y4x1平行的曲线y3 xx 2 的切线方程是()A. 4xy0B.4xy40C. 2xy20D.4xy 0或 4x y 4023. 某物体运动规律是 s t 4t 5 ，则在 t 时的瞬时速度为 0。24. 已知 f(x) x ，若 f (x) f(x)，则 x 。25. 已知 f(x) ax2 bx c，满足 f ( 1)3， f (0)1， f(1) 1，则 ab， c。6. 曲线 y x 3x 4在点 x 1处的切线与 x轴， y 轴的交点分别是 与 。327. 平行于直线 7x 4y 48 0且与曲线 y x 2x x 2 相切的直线方程是 。328. 垂直于直线 2x 6y 1 0 且与曲线 y x 3x 5相切的直线方程是。9. 已知 A、B 是抛物线 y x 上横坐标分别为 x1 2，x2 3的两点， 求抛物线的平行于割 线 AB 的切线方程 。2，求切点坐标10. 若抛物线 y x 的切线与直线 3x y 1 0 的夹角为 45试题答案】1. D2. D 3. 2 4. 0