复变函数的极限和连续(2)课件

1、11-4 复变函数的极限和连续一、复变函数的极限二、复变函数的连续性2. )( , )(,0 ),0(0)( , 0 . , 0 )( 0000为极限以时，趋向于当则称那末有时使得当总存在任意给定的若对是一个复常数内定义域的某个去心邻在设复变函数AzfzzAzfzzAzzzzfw1 1 定定义义)()()(lim 00zzAzfAzfzz 或或记记作作注意注意: : . 0的方式是任意的的方式是任意的定义中定义中zz 一、一、 复变函数的极限复变函数的极限3定理定理1 1 定理定理2 2 设设 ， ， ， ，则有，则有0|)(|lim)(lim00AzfAzfzzzzayxuAzfyyxxzz

2、),(lim)(lim000iyxz000yixzbiaAiyxvyxuzf),(),()(byxvyyxx),(lim00 复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论一点的极限来讨论4定理定理3 3 设设 ，则有，则有1 1）2 2）3 3）当）当 时，时，) 2 , 1()(lim0kAzfkkzz2121)()(lim0AAzfzfzz2121)()(lim0AAzfzfzz2121)()(lim0AAzfzfzz02A 5证明证明.)0( )( , 0 : 极极限限不不存存在在的的函函数数时时当当证证明明 zzzzfz1 1例例 ,

3、 趋趋于于零零时时沿沿直直线线当当kxyz ikikikxxikxxzfkxyxz 11lim)(lim00 , 值的变化而变化值的变化而变化该极限值随该极限值随 k . )(lim 0不存在不存在所以所以zfz6二、函数的连续性二、函数的连续性 . )( )()(lim )(1 20000处连续在则称的某邻域内有定义，且在）设（zzfzfzfzzfzz 定定义义 . )( , )( 2 内连续区域在称则内的每一点连续在区域）如果（DzfDzf.,)( 上即可或限制在只要把上述定义中的念上连续的概和闭区域在连续曲线关于DCzDCzf7.) ,( ),( ),()( ),(),()( 00000

4、处连续处连续在在和和连续的充分必要条件是连续的充分必要条件是在在则函数则函数，设设yxyxvyxuiyxzzfyxivyxuzf 1 1定理定理举例说明如下：举例说明如下：),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22续续处连处连在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处yxyxu 因此因此在复平面内处处连续在复平面内处处连续 , ),(22yxyxv . )(处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处zf8. ) ( )( )( 000处处仍仍连连续续在在不不为为零零分分母母在在积积、商商差差、的的和和、和和连连续续的的两两个个函函数数在在zzzgzfz2 2定定理

5、理. )( , )()( , )( 0000处处连连续续在在那那末末复复合合函函数数连连续续在在函函数数连连续续在在函函数数设设zzgfwzghhfwzzgh 3 3定定理理. ),( ),( ),(),()( 在一起在一起的连续性问题密切联系的连续性问题密切联系和和实函数实函数连续性问题与两个二元连续性问题与两个二元的的该定理将复变函数该定理将复变函数yxvyxuyxivyxuzf 9,)(2210nnzazazaazPw (1) 多项式多项式 ; 都是连续的都是连续的在复平面内的所有点在复平面内的所有点 z(2) 有理分式函数有理分式函数,)()(zQzPw , )( )( 都是多项式都是

6、多项式和和其中其中zQzP在复平面内使分母不为零的点也是连续的在复平面内使分母不为零的点也是连续的.)()(, 0.)()()()( MzfCDzMCDzfCDzf 时，时，或或当当即存在即存在上有界上有界或或在在上连续，则上连续，则线线或有限长连续曲或有限长连续曲在有界闭区域在有界闭区域设设4 4定理定理10例例 2 2. )( , )( : 00处处也也连连续续点点在在那那末末连连续续在在如如果果证证明明zzfzzf证证 ),(),()( yxivyxuzf 设设 ),(),()( yxivyxuzf 则则 , )( 0连续连续在在由由zzf,) ,( ),( ),( 00处处都都连连续续

7、在在和和知知yxyxvyxu ,) ,( ),( ),( 00处连续处连续也在也在和和于是于是yxyxvyxu . )( 0连连续续在在故故zzf11例例 3 3. 0)(, 0)( , )( : 000 zfzzfzzf的的某某个个邻邻域域，使使得得则则必必存存在在且且连连续续在在如如果果证证明明证证 ),(),()( 0点点连连续续，在在由由zyxivyxuzf 因此因此处都连续处都连续在在和和知知 ,) ,( ),( ),( 00yxyxvyxu,) ,( ),(),( ),(0022处处连连续续在在yxyxvyxuyxf , 0)(, 0)(00由二元函数连续性由二元函数连续性所以所以

8、因因 zfzf. 0)(, 0)(),(00 zfzfyx因而因而的某个邻域，使得的某个邻域，使得必存在必存在12与数学分析中的连续函数一样，我们可类似地证与数学分析中的连续函数一样，我们可类似地证得以下定理得以下定理定理定理5 5 函数函数 在简单曲线在简单曲线 （包括两端点）或（包括两端点）或者有界闭区域者有界闭区域 上连续，则上连续，则 在在 或者或者 为连续；为连续； 在它上能取到最大值与最小值；在它上能取到最大值与最小值； 在它上一致连续，即对任意的在它上一致连续，即对任意的 , ,存存在在 ，使当，使当 或者或者 且且 时，有时，有 )(zf| )(|zf)(zf| )(|zf00

9、)( |21zz|)()(|21zfzfCzz21,CDDCDzz21,13定义定义：如果对于任给定常数如果对于任给定常数 ，存，存在在 ，使当，使当 ， 时，有时，有 则称当则称当z z在在E E 中趋于中趋于 时时 趋于无穷大趋于无穷大 ，记作记作)(zf0)(AEz |00zzAzf |)(|0z)(lim0,zfzzEz0A14定义定义：如果对于任给定常数：如果对于任给定常数00 ，存，存在在 ，使当，使当 且且 时，有时，有 则称当则称当z z 在在E E 中趋于无穷大中趋于无穷大 时时 趋趋于于 ，记作，记作0)(Ez | z|)(|zf)(lim,zfzEz)(zf15函数在某点

10、处连续性的判别函数在某点处连续性的判别基本解法：基本解法：(1)把函数把函数f(z)化为形式化为形式f(z)=u(x,y)+iv(x,y)(2)利用教材利用教材24页定理页定理2判别判别u(x,y)和和v(x,y)在点在点(x0,y0)处是处是否连续否连续n若都连续，则若都连续，则f(z)在在z0连续连续n若不连续，则若不连续，则 f(z0)无意义，即无意义，即u(x0,y0), v(x0,y0)至少一个不存在至少一个不存在)(lim0zfzz不存在或存在但不存在或存在但)()(lim00zfzfzz只需验证只需验证 在某方向上在某方向上0zz )()(lim00zfzfzz或存在某方向或存在

11、某方向 时，有时，有),(),(00yxyx),(),(lim0000yxuyxuyyxx或或),(),(lim0000yxvyxvyyxx16证明证明argz在原点和负实轴不连续在原点和负实轴不连续由于由于 是分段定义的二元函数是分段定义的二元函数)0(arccos)0(arccosarg2222yyxxyyxxz当当y0或或y0时有时有00arccosarccoslim22002200 xxyxxyxx0arccoslim2200yxxyxx即当即当 且且 时，函数的极限值等于在点时，函数的极限值等于在点(x0,0)处处的函数值，此二元函数在点的函数值，此二元函数在点(x0,0)处连续，因

12、此处连续，因此argz在在正实轴连续。正实轴连续。0 xx 0y17(2) argz在在z=0点无意义，因此不连续点无意义，因此不连续所以分段定义的二元函数所以分段定义的二元函数argz在在y=0且且x0这些点处不连续这些点处不连续000arccosargxxz(3) 在在y0，x0的半直线上的半直线上) 1arccos(arccoslim2200yxxyxx可是可是综上所述，综上所述，argz在出去负实轴和原点的整个复平面上处处在出去负实轴和原点的整个复平面上处处连续。连续。f(z)=|z|的连续性？的连续性？ 是复变实值函数，是是复变实值函数，是x,y的二元连续函数，的二元连续函数，因此在

13、整个复平面上连续。因此在整个复平面上连续。22)(yxzfP26,4证明函数证明函数f(z)=ln|z|+iarg(z)在原点和负实在原点和负实轴上不连续性。轴上不连续性。18函数极限的求法和极限不存在的判别法函数极限的求法和极限不存在的判别法方法方法1： 当容易看出当容易看出f(z)在在z0点连续时，可用函数在一点连续时，可用函数在一点处连续的定义来求极限。即点处连续的定义来求极限。即)()(lim00zfzfzz方法方法2： 当不能判断当不能判断f(z)在在z0点是否连续时，点是否连续时，首先，把首先，把f(z)写成写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的形式。的形式。然后，利用教材然

14、后，利用教材24页定理页定理2，分别求两个函数，分别求两个函数u(x,y)和和v(x,y)的极限，即的极限，即),(lim),(lim)(lim)(lim0000000yxviyxuzfzfyyxxyyxxyyxxzz例例因为因为|z|z|在整个复平面上连续在整个复平面上连续|lim00zzzzP27,619复复数数平面表示法平面表示法定义表示法定义表示法三角表示法三角表示法曲线与区域曲线与区域球面表示法球面表示法复数表示法复数表示法指数表示法指数表示法复数的运算复数的运算共轭运算共轭运算代数运算代数运算乘幂与方根乘幂与方根本章主要内容本章主要内容向量表示法向量表示法20复数运算和各种表示法复

15、数运算和各种表示法 复数方程表示曲线以及不等式表示区域复数方程表示曲线以及不等式表示区域本章注意两点本章注意两点21第一章第一章 完完221707.4.151707.4.15生于瑞士，巴塞尔生于瑞士，巴塞尔1783.9.181783.9.18卒于俄罗斯，彼得堡卒于俄罗斯，彼得堡L. EulerL. Euler( (欧拉欧拉) )简介简介 EulerEuler是是1818世纪的数学世纪的数学巨星；是那个时代的巨人，巨星；是那个时代的巨人，科学界的代表人物。历史上科学界的代表人物。历史上几乎可与几乎可与ArchimedesArchimedes、NewtonNewton、GaussGauss齐名齐名。 他在微积分、几何、数论、变分学等领域有巨他在微积分、几何、数论、变分学等领域有巨大贡献。可以说大贡献。可以说 NewtonNewton、LeibnizLeibniz发明了微积分，发明了微积分，而而