导数与微分PPT课件

1、第二章导数与微分函数的导数函数的导数 当函数的自变量作微小当函数的自变量作微小变化时，因变量相对于变化时，因变量相对于自变量变化快慢的程度。自变量变化快慢的程度。瞬时变化率瞬时变化率一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义五、函数的可导性与连续性的关系五、函数的可导性与连续性的关系四、单侧导数四、单侧导数第一节导数及其运算 第二章 一、引进导数概念的两个问题一、引进导数概念的两个问题1.1.直线运动的速度：直线运动的速度：).()( 00tvtttfs速速度度时时的的瞬瞬时时，求求物物体体在在间间的的关关系系是是已已知知物物体体的的位位置置与与时时物物体

2、体作作变变速速直直线线运运动动， 0tso)(0tf)(0ttf tt 0时时，变变化化到到当当时时间间由由ttt 00.tsv ),()(00tfttfs 所以物体在这段时间的平均速度所以物体在这段时间的平均速度物体的位移物体的位移tstvt 00lim)( 即即.平均速度平均速度则瞬时速度则瞬时速度如果物体作匀速运动，如果物体作匀速运动， .00时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度平平均均速速度度近近似似附附近近的的，可可用用物物体体在在但但如如果果物物体体作作变变速速运运动动tt.)( 0tstv 即即.度度变变化化不不大大）（常常识识：在在短短时时间间内内速速越越小小误误差差越越小小）t (为

3、了得到瞬时速度的精确概念，把瞬时速度为了得到瞬时速度的精确概念，把瞬时速度理解成当时间段无限缩小时平均速度的极限理解成当时间段无限缩小时平均速度的极限. .)()(lim000ttfttft 2.2.切线问题切线问题 T0 xxx 0oxy)(xfy CNM.)(,()(00处处的的切切线线方方程程在在点点求求曲曲线线xfxMxfy . ）割割线线（，作作直直线线附附近近取取一一点点在在曲曲线线上上点点MNNM有有一一个个极极限限位位置置，时时，如如果果割割线线沿沿着着曲曲线线趋趋向向于于当当点点MNMN.处的切线处的切线曲线在点曲线在点就把此极限位置理解成就把此极限位置理解成M T0 xxx

4、 0oxy)(xfy CNM相应的相应的，切线的斜率等于割线斜率的极限。，切线的斜率等于割线斜率的极限。的斜率为的斜率为割线割线MN,)()(00 xxfxxf 切切线线的的斜斜率率为为切线理解成割线的极限位置，切线理解成割线的极限位置，.)()(lim000 xxfxxfx xy xykx 0lim0 xxyo)(xfy CNTMxx 0即因变量的变化与自变量变化之比的极限即因变量的变化与自变量变化之比的极限 .注注: :如果用横轴代表时间如果用横轴代表时间, ,纵轴代表位纵轴代表位置置, , 则可发现割线斜率相当于平均速度，则可发现割线斜率相当于平均速度，:式的数学式子式的数学式子最终都归

5、结为同一个形最终都归结为同一个形的问题（物理、几何）的问题（物理、几何）以上两个来自不同背景以上两个来自不同背景由此引进函数的导数的概念由此引进函数的导数的概念.xxfxxfx )()(lim000而切线斜率相当于瞬时速度而切线斜率相当于瞬时速度. .因此两个问题的本质其实是一样的因此两个问题的本质其实是一样的. .二、导数的定义二、导数的定义).( , 000 xfdxdyyxxxxx 记作记作.)(,0 ).()(,)(00000的的导导数数）对对处处的的导导数数（或或称称为为在在点点则则称称此此极极限限为为函函数数的的极极限限存存在在时时如如果果当当相相应应的的改改变变量量时时处处改改变

6、变在在当当定定义义的的某某个个邻邻域域内内有有在在点点：设设函函数数定定义义xyxxfyxyxxfxxfyyxxxxxfy .)(0不不可可导导在在点点称称若若上上述述极极限限不不存存在在，就就xxf.)(0的的导导数数为为无无穷穷大大在在点点，也也称称若若极极限限为为xxf 另一种形式另一种形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xyyxxxx 0lim0即即xxfxxfx )()(lim000注：注：. )2(变变化化率率的的平平均均相相对对于于表表示示xyxy .lim0瞬瞬时时变变化化率率的的相相对对于于表表示示xyxyyxx （变变化化量量之之比比）函数在一点的导数仅

7、与该点附近的函数值有关，函数在一点的导数仅与该点附近的函数值有关，所以导数是一个局部概念。所以导数是一个局部概念。(1) 导数从运算上看是导数从运算上看是差的商的极限差的商的极限，所以，所以导数又称为导数又称为微商微商。物体运动的瞬时速度等于位移对时间的导数。物体运动的瞬时速度等于位移对时间的导数。曲线在一点的切线斜率等于函数在该点的导数。曲线在一点的切线斜率等于函数在该点的导数。求导步骤求导步骤: :);()( )1(00 xfxxfy 求增量求增量;)()( )2(00 xxfxxfxy 算比值算比值.lim )3(0 xyyx 取极限取极限用导数的语言，用导数的语言，. tdsdv 即即

8、).( 0 xfk 即即解解: : y )1(xxy 4 )2()4(limlim )3(00 xxyxx 4)( 22 xx 22)( xx或或. 4)4(lim0 xx的高阶无穷小的高阶无穷小x .2 . 12的导数的导数在在求函数求函数例例 xxyxxx 2202)(2limxxxx 20)(4lim2)(4xx 4 222)(2 x内内可可导导。在在开开区区间间则则称称都都可可导导，内内的的每每一一点点在在开开区区间间如如果果函函数数Ixfxxf)()( . . 22的的导导数数在在任任意意给给定定点点求求函函数数例例xxy 解解: :22)( )1(xxxy xxxy 2 )2()2

9、(limlim )3(00 xxxyxx .2)( 2xxx 的导函数。的导函数。，称为，称为导数记作导数记作)( )( xfxf .2x 2)(2xxx 三、导数的几何意义三、导数的几何意义oxy)(xfy T0 xM,)(,()()(000处处的的切切线线的的斜斜率率在在点点曲曲线线的的导导数数表表示示在在点点xfxMxfxxfy 切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy )()(1000 xxxfyy 思考：思考：呢？呢？如果如果 )( 0 xf).( 0 xfk 即即)0)(0 xf.)4 , 2( . 32程程处处的的切切线线方方程程和和法法线线方方在在点

10、点求求例例xy 解：解：由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为2 xyk22)( xx22 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),2(44 xy),2(414 xyoxy22xy 注意错解：注意错解：).2(24 xxy.)4, 0( . 42的的切切线线方方程程的的经经过过点点求求曲曲线线例例 xy解：解：,20 x所求切线方程为所求切线方程为).(2000 xxxyy ),2(44 xy).0(02)4( xy),(00yx设切点为设切点为则切线的斜率为则切线的斜率为,2上上切切点点在在曲曲线线xy .200 xy ，切切线线经经过过点点)4

11、, 0( ).0(240020 xxx , 2 0 x解得解得所求切线方程为所求切线方程为. 40 y).2(44 xy或或解解:错错oxy2xy 导数的符号和大小反映什么？导数的符号和大小反映什么？.),()( ),(, 0)( 递增递增在在则则如果如果baxfbaxxf .),()( ),(, 0)( 递减递减在在则则如果如果baxfbaxxf 所以函数的导数符号反映函数的单调性。所以函数的导数符号反映函数的单调性。导数的绝对值越大，曲线越陡，说明导数的绝对值越大，曲线越陡，说明 y相对于相对于 x变化得越快。变化得越快。根据导数的几何意义，由图形可看出：根据导数的几何意义，由图形可看出：

12、0 f0 f . 2xy 如如前前例例oxy2xy 2.2.右导数右导数: :四、单侧导数四、单侧导数1.1.左导数左导数: :000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 性质性质: : 导数存在的充要条件是左右导数都存在导数存在的充要条件是左右导数都存在且相等。且相等。;)()(lim000 xxfxxfx ;)()(lim000 xxfxxfx （导数是一个极限）导数是一个极限）可用于判断分段函数在分界点的导数是否存在可用于判断分段函数在分界点的导数是否存在.例例5 5.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解:

13、:xy xyo )0(fxxx0lim ),0()0( ff.0点点不不可可导导在在函函数数 xxy)0( f)0( f. 1lim0 xxx. 1lim0 xxx0)0()(lim0 xfxfx五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系函数连续不一定可导函数连续不一定可导（上例），（上例），.)()(00连连续续在在可可导导，则则在在点点性性质质：如如果果xxfxxf但可导必连续但可导必连续. .几何几何：可导函数的图形是一条光滑的曲线。可导函数的图形是一条光滑的曲线。也就是说，不连续一定不可导，或者说，也就是说，不连续一定不可导，或者说，可导一定连续，但并不意味着连续函数肯可导一定连续，但并

14、不意味着连续函数肯定可导。可见，函数连续是函数可导的必定可导。可见，函数连续是函数可导的必要条件而非充分条件。要条件而非充分条件。概念理解概念理解 函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别区别:)(xf 是函数是函数 ,)(0 xf 是数值是数值;联系联系:.)(0 xxxf )(0 xf 注意注意:有什么区别与联系有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数与导函数.)( )(00的导数的导数不要读作不要读作xfxf 要点要点:引进导数概念的两个问题：引进导数概念的两个问题： 1.1.瞬时速度：瞬时速度： 2.2.曲线切线曲线切线: :瞬时速度理解为当时间段无限缩小瞬时速度理解为当时间段无限缩小时平均速度的极限时平均速度的极限. .切线理解为割线的极限位置。切线理解为割线的极限位置。导数的定义：导数的定义： 导数的实质导数的实质: :瞬时变化率瞬时变化率. .导数的几何意义导数的几何意义: : 切线的斜率切线的斜率. .第一节 导数的概念 差商的极限差商的极限. .xyyxx 0limxxfxxfx )()(lim000.)()(lim000 xxxfxfxx 0 xxyo)(xfy CNTMxx 0可导与