可降阶的高阶微分方程(21)课件

1、第六节第六节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 三、三、 型的微分方程型的微分方程 四、小结四、小结)()(xfyn ),( yxfy ),( yxfy 一、一、 型的微分方程型的微分方程)()(xfyn 解法解法例例1：xxycos 解：解： 两边积分可得：两边积分可得： xdxxycos1cossincxxx 再积分一次得：再积分一次得：21sin2coscxcxxxy 这种方程的通解可经过积分这种方程的通解可经过积分 次而求得。次而求得。n求特解时求特解时,一般应在每次积分后确定一个常数一般应在每次积分后确定

2、一个常数.解解 )(txx 设设 表示在时刻表示在时刻 时质点的位置时质点的位置,t根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律,质点运动的微分方程为质点运动的微分方程为）（tFdtxdm 22由题设由题设,0)0(0FFt 时时， , 且力随时间的增大而均且力随时间的增大而均匀地减小匀地减小; 所以所以;)(0ktFtF 例例2 质量为质量为 的质点受力的质点受力 的作用沿的作用沿 轴作直线轴作直线运动运动.设力设力 仅是时间仅是时间 的函数的函数: .在开始时在开始时刻刻 时时 ,随着时间随着时间 的增大的增大,此力此力 均均匀地减小匀地减小,直到直到 时时, .如果开始时质点如果开始时质点位于原点位

3、于原点,且初速度为零且初速度为零,求质点在求质点在 时的运时的运动规律动规律.)(tFF mFOxFt0 t0)0(FF tFTt 0)( TFTt 0, 0)(, TFTt时时又又当当从而从而)1()(0TtFtF 方程为方程为)1(022TtmFdtxd 初始条件为初始条件为0|, 0|00 ttdtdxx两端积分得两端积分得120)2(CTttmFdtdx 代入初始条件代入初始条件00|10 Cdtdxt得得于是方程变为于是方程变为)2(20TttmFdtdx 再积分一次得再积分一次得2320)62(CTttmFx 将条件将条件 代入上式代入上式,得得0|0 tx02 C于是于是,所求质

4、点的运动规律为所求质点的运动规律为TtTttmFx 0)62(320二、不显含未知函数二、不显含未知函数 的二阶微分方程的二阶微分方程y形式为形式为 的微分方程。的微分方程。),( yxfy 解法：解法：,py 令令, py 则则),(pxfp 故故有有此时，该二阶微分方程变为一阶微分方程，求出此时，该二阶微分方程变为一阶微分方程，求出一阶微分方程的通解后再两边积分即可。一阶微分方程的通解后再两边积分即可。例例3的特解。的特解。满足初始条件满足初始条件求微分方程求微分方程3|, 1|2)1(00 2 xxyyxyyx解：解：代代入入方方程程并并分分离离变变量量有有设设,py dxxxpdp21

5、2 两边积分得到两边积分得到cxp )1ln(ln2)1(21xcyp 即即)(1cec 得得由由条条件件, 3|0 xy31 c)1(32xy 所所以以两边再积分得两边再积分得233cxxy 得得又又由由条条件件, 1|0 xy12 c于是所求方程的特解为：于是所求方程的特解为：133 xxy三、不显含自变量三、不显含自变量 的二阶微分方程的二阶微分方程x的的微微分分方方程程。形形如如),( yyfy 解法：解法：的的导导数数，即即化化为为对对把把法法则则并并利利用用复复合合函函数数的的求求导导令令yypy , dydppdxdydydpdxdpy 这时方程变为一阶微分方程：这时方程变为一阶

6、微分方程：),(pyfdydpp .02的的通通解解求求方方程程 yyy解解,dydPpy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1ycP 可可得得.12xcecy 原方程通解为原方程通解为,1ycdxdy 例例 4四、小结四、小结解法解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解通过代换将其化成较低阶的方程来求解.一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: : 1 1、xxey ； 2 2、21yy ； 3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. . 二、二、 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、0,1,01113 xxyyyy； 2 2、1,0,0002 xxyyyay； 3 3、2,1,300 xxyyyy. . 三、三、 试求试求xy 的经过点的经过点)1,0(M且在此点与直线且在此点与直线12 xy相切的积分曲线相切的积分曲线 . . 练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、32123CxCxCexeyxx ； 2 2、21)cos(lnCCxy ； 3