可降阶高阶微分方程(3)课件

1、第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第四节第四节 高阶线性微分方程解的结构高阶线性微分方程解的结构第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 本节介绍通过变量代换将特殊的高阶微分方程化成一阶微分方程的降阶法.两边积分:连续积分n次得出含有n个任意常数的通解.一一. 型方程型方程)()(xfyn)()(xfyn1)1()(Cdxxfyn再积分:21)2()(CdxCdxxfyn例:xxy sin)3(逐次积分得:122cosCxxy ,6sin213CxCxxy32214224cosCxCxCxxy如果二阶方程不显含 y,),(pxfp 二二. 型方程型方程),(y

2、xfy 令 ,则py pdxdpy 方程变为:解出这个一阶方程的通解:),(1Cxp则原方程的通解为:21),(CdxCxy例:yyyx ln令 ,则py dxdpy ppdxdpxln方程变为:dxxppdp1ln解得:xCep1xCey12111CeCyxC例:3|, 1|,2)1 (002 xxyyyxyx令 ,则py dxdpy xpdxdpx2)1 (2dxxxpdp212)1 (21xCpy, 3|0 xy因为31C)1 (32xy则233Cxxy, 1|0 xy因为12C所求特解为:133xxy如果方程不显含 x,),(pyfdydpp三三. 型方程型方程),(yyfy 令 ,p

3、y 方程变为:解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解:),(1Cyyp则原方程的通解为:21),(CxCydy例:02 yyy,dydppdxdydydpdxdpy 则令 ,py ,dydppy 则02 pdydpyp方程变为:即:0 pdydpy或者0p0 pdydpy的通解为:yCp1yCy1其通解为:xCeCy120p即0 y其通解为:Cy xCeCy12例:12 yy令 ,py ,dxdpy 则12 pdxdp方程变为:即:dxpdp12此题看作类型二和类型三皆可,经过尝试用前者简单)tan(1cxp)tan(1cxy21| )cos(|lnccxy练习的特解满足求2)0(, 1)0

4、()(2. 12 yyyyyy.4tan,4)tan(arctan,d1d1dd. 121, 11,d2d11).0() 1(2dd),(2dddd 21)0(2222121212xyCCxyCxyxyyyxyCyyyCyyCpyyppppypyppypypyppypyy故微分方程的特解为：积分得：分离变量得：，则方程化为：代入上式得：时，把初始条件，即：两端积分并化简得：分离变量得：，否则与已知条件矛盾即：，原方程可化为：，则令的通解求1)(2. 22 yyyx.132, 11,d1d12, 1dd2dd 223111122CxCCyxCyxCpxxppppxpxpxpypy：积分得微分方程

5、通解为，即：简得：等式两端同时积分并化分离变量得：原方程可化为：，则令第四节第四节 高阶线性微分方程解的结构高阶线性微分方程解的结构一般形式:) 1 (),()()()()2(2)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 当 时,0)(xf当 时,0)(xfn阶线性非奇次方程0)()()()2(2)1(1)( yxPyxPyxPynnnnn阶线性奇次方程下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构.一一. 二阶线性奇次方程解的结构二阶线性奇次方程解的结构一般形式:)2(, 0)()( yxQyxPy显然, y = 0 是(2)的解.平凡解讨论非平凡解:定理1. 如果 是(2)的两个解,则

6、 也是(2)的解,其中 为任意常数.)(),(21xyxy)()(2211xyCxyCy21,CC证明:)(),(21xyxy由于 是(2)的两个解,所以0)()(111 yxQyxPy0)()(222 yxQyxPy)()(2211xyCxyCy将 代入(2)的左端:)()(221122112211yCyCxQyCyCxPyCyC 21111)()(CyxQyxPyC )()(222yxQyxPy 000则 也是(2)的解.)()(2211xyCxyCy11212211)2(CyyCCyCyCy注意: 不一定是通解.2211yCyCy例如:1y是(2)的解, 则 也是(2)的解.12y此时不

7、是通解函数的线性相关和线性无关设 为定义在 I 上的 n 个函数,nyyy,21 02211 nnykykyknkkk,21 如果存在n个不全为零的常数 ,使得线性相关否则,线性无关例如:线性相关在任意区间I上:xx22sin,cos, 1取, 1, 1321kkk0sincos122xx2, 1xx线性无关要使 ,必须02321xkxkk. 0321kkk对于两个函数:如果它们之比为常数,则线性相关;否则,线性无关定理2. 如果 是(2)的两个线性无关的特解,则 )(),(21xyxy2211yCyCy21,CC是(2)的通解, 为任意常数.例如:0 yyxyxysin,cos21是它的特解

8、,xCxCysincos21线性无关通解二二. 二阶线性非奇次方程解的结构二阶线性非奇次方程解的结构一般形式:)3(),()()(xfyxQyxPy 定理3. 如果 是(3)的一个特解, 是(3)对应的奇 次方程(2)的通解,则 y2211yCyCYyYy是(3)的通解.yYy则 是(2)的通解.而 是(3)的一个特解y证明: 由于Y是(2)的的通解,所以0)()( YxQYxPY)()()(xfyxQyxPy)()( yYxQyYxPyY)()(0 xfxf将 代入(3)的左端:yYy )()(YxQYxPY)()(yxQyxPy注意: Y 中含有两个任意 常数,因此 y 是通解.注:当(3)式的自由项为几项之和时,特解如何求出?证明:定理4. 如果 分别是 )(),(21xyxy的特解,则 是方程)()()(2xfyxQyxPy )()()(1xfyxQyxPy )4()()()()(21xfxfyxQyxPy 的特解.)()(21xyxy将 代入(4)的左端:)()(21xyxy)()(212121yyxQyyxPyy )()(111yxQyxPy)()(222yxQyxPy )()(21xfxf)()(21xyxy则 是(4)的解.3212211321221