初三数学相似三角形复习

1、学习必备欢迎下载初三数学相似三角形复习本次我们一起来复习初二几何中的相似三角形, 这一部分知识在中考中占有很重要的地位 , 而几乎所有初三同学复习到此内容时往往都感到非常困难 , 希望同学们认真复习这一部分知识 , 找出规律 .一、基本知识及需要说明的问题:( 一) 比例的性质1.比例的基本性质 : acadbcbd此性质非常重要 , 要求掌握把比例式化成等积式、把等积式转化成比例的方法 .2. 合、分比性质 : aca bc d 或 aca bc dbdbdbdbd注意 : 此性质是分子加（减）分母比分母, 不变的是分母 .如: 已知 ac , 求证 :abda b证明 : ac bdbda

2、c3. 等比性质 : 若 acebdf4. 比例中项 : 若 a b 即b 2bc( 二) 平行线分线段成比例定理1. 平行线分线段成比例定理例 .已知 l 1 l 2l 3,A D l B E lccd ab cdaccacabdm (b d fn 0) 则 a c em a .nbdfn ba c则 b是 a,c 的比例中项 .,: 三条平行线截两条直线 , 所得的对应线段成比12CFl3可得 ABDE或 ABDE或BCEF 或BCEF或 ABBC 等.BCEF ACDF ABDF ACDF DEEF2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成

3、比例 .ADEBC由 DEBC可得： ADAE 或 BD EC 或 AD AE . 此推论较原定理应用DBECADEAABAC更加广泛 , 条件是平行 .学习必备欢迎下载3. 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 . 那么这条直线平行于三角形的第三边 .此定理给出了一种证明两直线平行方法 , 即：利用比例式证平行线 .4. 定理 : 平行于三角形的一边 , 并且和其它两边相交的直线 , 所截的三角形的三 边与原三角形三边 对应成比例 . A DEBC说明 : 此定理和平行线分线段成比例定理的异同相同点 : 都是平行线不同点 : 平行线分线段成比

4、例定理的推论是两条平行线截其它两边所成的对应线段成比例 , 即 AD与 AE,DB与 EC,AB与 AC这六条线段 , 而此定理是三角形的三边对应成比例. 即ADDE 或AEDE 或ADAE，只要有图形中的DE,ABBCACBCABACBC它一定是 ADE的三边与 ABC的三边对应成比例 .注意 : 条件 ( 平行线的应用 ) 在作图中 , 辅助线往往做平行线 , 但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比 .如: 如图（ 1），已知 BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FCAFAAEFE GFEBDCBDCBD GC图（ 1）图（ 2）图（ 3）辅助线当然

5、是添加平行线。 但如图（2），如果过 D 作 DGBF,则在 FC中插入了 G点 , 不利求结论 AF:FC；如图（ 3）如果过 F 做 FGAD交 CD于 G 时, 在 CD上插入G,条件 BD:DC=2:3就不好用了。因此应过 D 做 DG AC交 BF 于 G,此辅助线做法既不破坏 BD:DC,又不破坏 AE:ED,还不破坏 AE:FC.解: 过 D做 DGAC交 BF于 GBD:DC=2:3BD:BC=2:5A则 DG:CF=2:5xxF设 DG=2 CF=5AE:ED=3:4 AF:DG=3:4 AF:2x =3:4G EAF=1.5 x AF:FC=1.5 x :5 x =3:10

6、B DC( 三) 相似三角形1 、相似三角形的判定两角对应相等的两个三角形相似 ( 此定理用的最多 ); 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 ; 三边对应成比例的两个三角形相似 ;学习必备欢迎下载直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.2、直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似 .3 、相似三角形的性质相似三角形对应角相等、对应边成比例 .相似三角形对应高、 对应角平分线、 对应中线、 周长的比都等于相似比( 对应边的比 )二、本次练习 :(一)判断题:1.已知 ac (ab0, cd0), 则abc.()bdacd2.已知 ac (ab, cd ),

7、则 abcd .()bdabcd3.若 a 1,b51 ,c3 5 , 则 b是 a, c 的比例中项 . ( )224.如图 :DEBC,EFAB,则 DEEF ()ABCABDEBFC5.在 RtABC中, ACB=90°,CDAB于 D,则 AC 2AD.( )BC 2BD6. 有一组邻边对应成比例的两个矩形相似 . ( )7. 如图已知 DEBC,CD,EB交于 O,AS POE:S COB=4:9,则 AE2.()DEEC1B C8. 已知 ABC中, BAC=Rt ,ADBC,AB=2AC,则 AD:BC=2:5. ( )9. 所有的等腰直角三角形都相似 . ( )10.

8、 两个相似多边形的面积比为5, 周长比是 m,则 55.( )(二)填空题:m1.已知 abc 且 a b c12,则a b c 的第四比例项是 _.789, ,2.如图 : ABC=CDB=90° ,AC=a, BC=b,C当 BD=时 , ABC CDB. A DB3. 若 2xy1 , 则 x : y _.3xy3D E B F学习必备欢迎下载4.已知在 Rt ABC中, C=90°,CD AB于 D,若 CD=6,AB=13,则 CD分 AB所成的两条线段是 _.AD5.矩形 ABCD中,E 是 DC上一点 ,BEAF,2FE若 BE=10cm,AF=4cm,则 S

9、 矩形 =_cm.BC6. 如图 :EFBC,若 SAEF=S四边形 , 则 AE =_. A ABEFB C7. 两个相似三角形面积之比是 9:25, 较大的三角形的周长是 20cm,则较小的三角形的周长是 _cm.8. 将一个矩形纸片对折 , 得到的矩形与原矩形相似 , 则原矩形的长 : 宽=_.9. 如图 :BC=120,高 AD=80, ABC的A内接矩形 EFGH中 ,EH:EF=2:1, 则矩形 EFGH的周长是 _.EMHBFDGC10. ABC中,D,E 分别是 AB,AC上的点 ,A且 BD=CE,DE的延长线交 BC延长线于 F, 若 AB:AC=3:5, EF=12cm,

10、 则 DF=_cm.C11. 如图 : ABC中 ,EFBC,AE:EB=1:2, D A S ADE=S,则 SAEF=_S.EFBC12.如图 BD:CD=2:3,DE AC,ADFAB,SABC=S,则 S AEF=_S.FEBDC(三)单选题:1. 如图 :PQBC,若 SAPQ=3,AS PQB=6,则 SCQB等于 :PQA.20B.18C.16D.9B C2. ABC中,BD,CE 分别是 AC,AB边上的中线 A 并且 BDCE,BD=4,CE=6,则 S ABC等于 :A.12B.14C.16D.18学习必备欢迎下载EDBC3. 在ABCD 中,AF:FD=1:3,E 是 A

11、B中DC点 EF 交 AC于 M,则 AM:MC等于 :F MA E4. 如图 :DEBC,EFAB,在下面的比例式中 , 正确的有 : ADBF ADDEADBFCDBBC ADBF EFDEDEABBCABBC AEBF BDBFB FCACBCADCFA. B.C.D.(四)证明题:1.D是 ABC的 AC上一点 ,E 是 BC延长线上一点 ,ED 交 AB于 F, 且 AC:BC=EF:FD求证 :AD=EB.FADEBC2.如图 :E 是梯形 ABCD上底 DC中点 ,BE交 AC于 F 交 AD的延长线于 G求证 :EF·GB=BF·GEDEGCFAB3. 已知

12、 : 在 ACB中, ACB是 Rt ,M 是AAB中点 ,MD AB交 AC于 E,BC的延长线于 DM求证 :AB2=4ME· MDEBC D4.AD 是 ABC(AB>AC)的角平分线 ,AAD 的中垂线和 BC的延长线交于点 E求证 :DE2=BE·CEBD CE5.AD,BE 是 ABC的高 ,A D,B E,AA是 ABC的高 , 且 ABA'B',CC 'ADA' D'求证 :AD·BE=AD·BEEE学习必备欢迎下载BD C BDC6.如图 :AH 是 RtABC的斜边 BC上的高 , DAE以 AB和 AC做等边三角形 ABD和等边 ACE,连结 DH,EH求证 : AEH BDHB HC7.如图 : 已知四边形 ABCD是正方形 ,A EDE是 AD中点 ,BF=3AF,EGCF于 G,求证 :EG2=FG·CGFGBC三、本次练习答案(一)判断题:1. 2.3.4.×5.6.7.8.9.10. (二)填空题:1. 1442.b23.44.9 和 4 5.406.2 : 27a37.12 8.2: 19.144010.20 11.212.67325(三)选择题:1.B 2.C 3.C 4.D(四)证明题:1. 过 D做 DGBC交 AB