初三数学二次函数与圆知识点总结

1、学习必备欢迎下载1. 一元二次方程的一般形式 : a 0 时， ax 2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b 、 c ； 其中 a 、 b, 、 c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法 : 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单， 但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少 .3.一元二次方程根的判别式 :当 ax 2+bx+c=0 (a 0) 时，=b

2、2-4ac叫一元二次方程根的判别式. 请注意以下等价命题：0 <=>有两个不等的实根；=0 <=>有两个相等的实根；0 <=>无实根；0 <=>有两个实根（等或不等） .4.一元二次方程的根系关系：当 ax2+bx+c=0(a 0) 时，如 0，有下列公式：(1) x1,2bb 24acx 1x2bx 1xc2a； (2)，2.aa 5 当 ax2+bx+c=0 (a0)时，有以下等价命题：( 以下等价关系要求会用公式x 1x2b，x1x 2c；2分析，不要求背记 )aa=b -4ac（ 1）两根互为相反数b = 0且 0b = 0且 0；a（

3、2）两根互为倒数c =1 且 0a = c且 0；a（ 3）只有一个零根c = 0 且b 0c = 0且 b0；aa（ 4）有两个零根c = 0 且b = 0c = 0且 b=0；aa（ 5）至少有一个零根c =0c=0；c 0a（ 6）两根异号a、 c 异号；a（ 7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值c 0 且b 0a 、c 异号且 a、 b 异号；aa（ 8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值c 0 且b 0a 、c 异号且 a、 b 同号；aa（ 9）有两个正根c 0，b 0 且 0a 、 c 同号， a 、b 异号且 0；aa（ 10）有两个负根c 0，b 0 且 0a、 c 同号，

4、 a 、b 同号且 0.aa6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0 时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x 2 )或 ax 2+bx+c= a xbb 24acxbb24ac .2a2a7求一元二次方程的公式：2）x + xx= 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.x - （ x +x21218平均增长率问题-应用题的类型题之一（设增长率为x）：(1)第一年为a ,第二年为 a(1+x) ,第三年为 a(1+x) 2.（ 2）常利用以下相等关系列方程：第三年 =第三年或第一年 +第二年 +第三年 =总和 .9分式方程的解法：(1)两边同乘最简验增

5、根代入最简公分母（或原方程的每个分母），值 0.去分母法公分母凑元，设元，（2）换元法验增根代入原方程每个分母，值0 .换元 .10. 二元二次方程组的解法：（ ）代入消元 法方程组 中含有一个二元一次方程;1（ ）分解降次法方程组 中含有能分解为 （）（）0的方程;2(3)注意：(1)(2)0(1) 0(2) 0(1) 0 (2) 0应分组为(3) 0(4) 0.(3)(4)0(4) 0 (3) 011几个常见转化：(1)22(x 1x 2 )22x1 x 2；( x1x 2 )2( x1x2 )24x 1x；x21(x12；x1x22x2)2x或x21(x12；x1x 2(x 1 x 2

6、)2(x 1x 2 ) 24x 1x 2(x 1x 2 )；x 2)2(x 1x 2 ) 2(x 1x 2 ) 24x1 x 2(x1x 2 )xx 1x 21. 分类为 x1x 22 和 x1x 22(2)22.两边平方为（ x1 x24；2）x 14x1216(1)分类为x 14和x14(3)( 或x 23x 23；x 23x 22)9(2)两边平方一般不用 ,因为增加次数 .(4)如 x 1sin A ,x 2sin B且AB90时 ,由公式 sin 2 Acos2 A1, cos Asin B可推出x 12x 221.注意隐含条件 : x 1 0,x 20.(5)x1 , x 2若为几

7、何图形中线段长时 , 可利用图形中的相等关系 ( 例如几何定理，相似形,面积等式, 公式 )推导出含有x 1,x 2 的关系式 . 注意隐含条件 :x1 0,x 20.(6) 如题目中给出特殊的直 角三角形、三角函数、 比例式、等积式等条件 , 可把它们转化为某些线段的比，并且 引入“ 辅助未知元 k”.(7) 方程个数等于未知数个 数时 , 一般可求出未知数的值 ; 方程个数比未知数个数 少一个时，一般求不出未知数的值 , 但总可求出任何两个未 知数的关系 .1. 垂径定理及推论 :几何表达式举例：如图：有五个元素， “知二可推三” ；需记忆其中四个定理， CD 过圆心即“垂径定理” “中径

8、定理”“弧径定理” “中垂定理” . CDABC平分优弧 AE=BEO过圆心AC= BCE垂直于弦AD= BDAB平分弦D平分劣弧2. 平行线夹弧定理：几何表达式举例：圆的两条平行弦所夹的弧相等 .AB AB CDOCD AC=BD3. “角、弦、弧、距 ”定理：（同圆或等圆中）几何表达式举例：“等角对等弦” ； “等弦对等角” ；B(1) AOB= COD“等角对等弧” ； “等弧对等角” ；AE AB=CD“等弧对等弦” ；“等弦对等 ( 优，劣 ) 弧”；(2) AB=CDO“等弦对等弦心距” ；“等弦心距对等弦” .CF AOB= CODD学习必备欢迎下载7切线长定理 :从圆外一点引圆

9、的两条切线，A它们的切线长相等；圆心和这一P点的连线平分两条切线的夹角 .OB8弦切角定理及其推论:（ 1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（ 2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（ 3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. （如图）DAFCEABDCB9相交弦定理及其推论:（ 1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（ 2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.DCA几何表达式举例： PA 、 PB是切线 PA=PBPO过圆心 APO = BPO几何表达式举例：（ 1） BD是切线， BC是弦 CBD = CAB（ 2

10、） EF = AB ED， BC是切线 CBA = DEF几何表达式举例：（ 1） PA· PB=PC· PD（ 2） AB是直径 PC AB24圆周角定理及推论:（ 1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（ 2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；( 如图 )（ 3）“等弧对等角” “等角对等弧” ；（ 4）“直径对直角” “直角对直径” ； ( 如图 )（ 5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 .( 如图 )CCAOABDBOCBA（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）5圆内接四边形性质定理:BC圆内接四边形的对角互补，并且任何一个

11、外角都等于它的内对角 .ADE6切线的判定与性质定理:如图：有三个元素， “知二可推一” ；需记忆其中四个定理 .O是 半 径（ 1）经过半径的外端并且垂直于这条BC垂 直半径的直线是圆的切线；是 切 线A（ 2）圆的切线垂直于经过切点的半径；（ 3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（ 4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例：（ 1） ACB=1 AOB2 （ 2） AB 是直径 ACB=90°（ 3） ACB=90° AB 是直径（ 4） CD=AD=BD ABC是 Rt几何表达式举例： ABCD是圆内接四边形 CDE = ABC C+A =180

12、 °几何表达式举例：（ 1） OC是半径 OC AB AB是切线（ 2） OC是半径 AB是切线 OC AB（ 3） PABOPCB10切割线定理及其推论:（ 1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（ 2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.BBAAPDCPC11关于两圆的性质定理:（ 1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（ 2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.AAO1O2O1O2B（ 1）（ 2）12正多边形的有关计算:O（ 1）中心角，半径 R ， 边心距 r，nnND边长 an ，内角

13、， 边数 n；RnnEnrn（ 2）有关计算在 RtAOC中进行 .nACBa n PC=PA·PB几何表达式举例：（ 1） PC是切线，PB是割线2 PC=PA·PB（ 2） PB、 PD是割线PA· PB=PC· PD几何表达式举例：（ 1） O1， O2 是圆心 O1O2 垂直平分 AB（ 2） 1 、 2相切 O1 、 A、 O2 三点一线公式举例：(1)n=360 ；n(2)n1802n学习必备欢迎下载几何 B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一 基本概念： 圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形

14、的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角 .二 定理：1不在一直线上的三个点确定一个圆.2任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.O3正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形 .三 公式：AB1. 有关的计算： （ 1）圆的周长 C=2 R；（2）弧长 L= n R ；（ 3）圆的面积 S= R2. 1802（ 4）扇形面积S 扇形 = n R1 LR ；（ 5）

15、弓形面积 S 弓形 =扇形面积 SAOB± AOB的面积 . （如图）CCAOAOBBOOABACB已知弦构造 Rt .已知直径构造直角 .已知弦构造弦心距 .已知切线连半径，出垂直 .DDCAAOPAOPBDCOOBCBBCPPAD圆外角转化为圆周圆内角转化为圆周角 .构造垂径定理 .构造相似形 .角 .360 22. 圆柱与圆锥的侧面展开图：（ 1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2 rh ； (r:底面半径； h: 圆柱高 )（ 2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 = 1 LR .（ L=2 r ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）2四常识：1 圆是轴对称和中心对称图形.2 圆心角的度数

16、等于它所对弧的度数.3 三角形的外心两边中垂线的交点三角形的外接圆的圆心；三角形的内心两内角平分线的交点三角形的内切圆的圆心.4 直线与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交d r；直线与圆相切d=r；直线与圆相离d r.5 圆与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到圆心的距离，其中R、r 表示两个圆的半径且Rr ）两圆外离d R+r；两圆外切d=R+r ； 两圆相交R-rd R+r；两圆内切d=R-r；两圆内含d R-r.6证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.7关于圆的常见辅助线：MMAAO2

17、BO2NN01D01CE两圆内切，构造外公两圆内切，构造外公切切线与垂直 .线与平行 .AACOO1CE02DBB两圆相交构造公共弦，两圆同心， 作弦心距，连结圆心构造中垂线 .可证得 AC=DB.BAAOOEDPBCPC一切一割出相似,并两割出相似 , 并且构造圆且构造弦切角.周角 .MMDBAAO102CO102ENN两圆外切，构造内公两圆外切，构造内公切线与平行 .切线与垂直 .ABACOEPODBCPA、 PB 是切线，构造相交弦出相似 .双垂图形和全等 .AADEBPCOBFC规则图形折叠出一双垂出相似 , 并且构造对全等，一对相似 .直角 .学习必备欢迎下载DECFHOAGB圆的外切四边形对边和相等 .