高中数学 第一章 数列章末综合检测 北师大必修5

1、1第一章第一章 数列数列章末综合检测(一)(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知实数1，x，y，z，2 成等比数列，则xyz等于()A4B4C2 2D2 2解析：选 C.因为xz(1)(2)2，y22，所以y 2(y 2不合题意，舍去)，所以xyz2 2.2有穷数列 1，23，26，29，23n6的项数是()A3n7B3n6Cn3Dn2解析：选 C.此数列的次数依次为 0，3，6，9，3n6，为等差数列，且首项a10，公差d3，设 3n6 是第x项，3n60(x1)3，所以xn3.故选 C

2、.3某种细胞开始有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1个，3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个， 按此规律进行下去，6 小时后细胞存活的个数是()A33 个B65 个C66 个D129 个解析：选 B.设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为an则a12，an12an1，即an11an12.所以an112n1，an2n11，a765.4等差数列an的公差不为零，首项a11，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前 10 项之和是()A90B100C145D190解析：选 B.设公差为d，所以(1d)21(14d)，因为d0，所以d2，从而S

3、10100.5已知Sn是等差数列an的前n项和，下列选项中不可能是Sn的图像的是()2解析：选 D.因为Sn是等差数列an的前n项和，所以设Snan2bn(a，b为常数，nN N)，则其对应函数yax2bx的图象是过原点的一条曲线 当a0 时， 该曲线是过原点的直线，如选项 C；当a0 时，该曲线是过原点的抛物线，如选项 A，B；选项 D 中的曲线不过原点，不符合题意选 D.6设yf(x)是一次函数，若f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)f(4)f(2n)等于()An(2n3)Bn(n4)C2n(2n3)D2n(n4)解析：选 A.设ykxb(k0)，因为f(0)

4、1，所以b1.又因为f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，所以(4k1)2(k1)(13k1)，所以k2，所以y2x1.所以f(2)f(4)f(2n)(221)(241)(22n1)2(242n)n2n22nnn(2n3)故选 A.7已知Sn是数列an的前n项和，log2Snn(n1，2，3，)，则数列an()A是公比为 2 的等比数列B是公差为 2 的等差数列C是公比为12的等比数列D既非等差数列，也非等比数列解析：选 D.因为 log2Snn，所以Sn2n，则a12.当n2 时，anSnSn12n2n12n1.因为a12 不适合上式，所以an既非等差数列，也非等比数列8数列an满足递推

5、公式an3an13n1(n2)，又a15，则使得an3n为等差数列的实数等于()A2B5C12D12解析：选 C.a15，a223，a395，令bnan3n，3则b153，b2239，b39527，因为b1b32b2，所以12.9已知等差数列an的前n项和为Sn，若a10a1110，则lnS20ln110()A1B2C1D2解析：选 D.在等差数列an中，S20（a1a20）20210(a1a20)10(a10a11)100，所以lnS20ln110ln 100ln 101ln 100ln 10lg 1002.故选 D.10设数列an是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，bn是以 1 为首项

6、，2 为公比的等比数列，则ab1ab2ab10等于()A1 033B1 034C2 057D2 058解析：选 A.由已知可得ann1，bn2n1，于是abnbn1，因此ab1ab2ab10(b11)(b21)(b101)b1b2b101020212910121012101 033.11设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn()AnBnC1nD1n解析：选 C.因为an1Sn1Sn，an1SnSn1，所以Sn1SnSnSn1.因为Sn0，所以1Sn1Sn11，即1Sn11Sn1.又1S11，所以1Sn是首项为1，公差为1 的等差数列所以1Sn1(n1)(1)n，所以Sn

7、1n.12对于正项数列an，定义Gna12a23a3nann为数列an的“匀称”值已知数列4an的“匀称”值为Gnn2，则该数列中的a10等于()A2 3B45C1D2110解析：选 D.因为Gna12a23a3nann，数列an的“匀称”值为Gnn2，所以a12a23a3nann(n2)，所以n2 时，a12a23a3(n1)an1(n1)(n1)，得nan2n1，所以an2n1n，n2，当n1 时，a1G13 满足上式所以an2n1n，a102110.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13 若数列an满足：a11，an12an(nN N)， 则a5_； 前 8 项的和S8_(用数

8、字作答)解析：由a11，an12an(nN N)知an是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，由通项公式及前n项和公式知a5a1q416，S8a1（1q8）1q1（128）12255.答案：1625514数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6_解析：由an13Sn，得Sn1Sn3Sn，即Sn14Sn，所以数列Sn是首项为 1，公比为 4 的等比数列，所以Sn4n1，所以a6S6S54544344768.答案：76815数列an满足an111an，a82，则a1_解析：因为an111an，所以an111an1111an11an11an111an1an111an151

9、111an21(1an2)an2，所以周期T(n1)(n2)3.所以a8a322a22.而a211a1，所以a112.答案：1216已知a，b，ab成等差数列，a，b，ab成等比数列，则通项为an82an2bn的数列an的前n项和为_解析：因为a，b，ab成等差数列，所以 2baab，故b2a.因为a，b，ab成等比数列，所以b2a2b，又b0，故ba2，所以a22a，又a0，所以a2，b4，所以an82an2bn84n24n2n（n1）21n1n1 ， 所以an的前n项和Sn2(11212131n1n1)211n1 2nn1.答案：2nn1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1

10、7(本小题满分 10 分)已知等差数列an(nN N)满足a12，a36.(1)求该数列的公差d和通项公式an；(2)设Sn为数列an的前n项和，若Sn2n12，求正整数n的取值范围解：(1)由题意得da3a122，所以ana1(n1)d2n，nN N.(2)Sna1an2nn2n，由Sn2n12，解得n4 或n3.所以n4 且nN N.18(本小题满分 12 分)已知an为等差数列，且a36，a60.(1)求an的通项公式；6(2)若等比数列bn满足b18，b2a1a2a3，求bn的前n项和解：(1)设等差数列an的公差为d.因为a36，a60，所以a12d6，a15d0，解得a110，d2

11、.所以an10(n1)22n12.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2a1a2a324，b18，所以8q24，即q3.所以数列bn的前n项和为b1（1qn）1q4(13n)19 (本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn， 数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.设cnan1，(1)求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式解：(1)证明：因为anSnn，所以an1Sn1n1.得an1anan11，所以 2an1an1，所以 2(an11)an1，所以an11an112，所以an1是等比数列又a1a11，所以a112，因为c1a11，所以c112.又cnan

12、1，所以cn是以12为首项，12为公比的等比数列(2)由第一问可知cn12 12n112n，所以ancn1112n.所以当n2 时，bnanan1112n 112n112n112n12n.又b1a112代入上式也符合，所以bn12n.20(本小题满分 12 分)某地现有居民住房的面积为am2，其中需要拆除的旧住房面积占了7一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以 10%的住房增长率建新住房(1)如果 10 年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少(可取 1.1102.6)?(2)在(1)的条件下过 10 年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总

13、面积的百分比是多少(保留到小数点后第 1 位)?解：(1)根据题意，可知 1 年后住房总面积为 1.1ax；2 年后住房总面积为 1.1(1.1ax)x1.12a1.1xx；3 年后住房总面积为 1.1(1.12a1.1xx)x1.13a1.12x1.1xx；10 年后住房总面积为1110a1.19x1.18x1.1xx1.110a1.11011.11x2.6a16x.由题意，得 2.6a16x2a.解得x380a(m2)(2)所求百分比为a2380a102a1166.3%.即过 10 年未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是 6.3%.21(本小题满分 12 分)设数列1an是等比数列

14、，Sn是an的前n项和，若a11，a2a3a464.(1)求数列an的通项公式；(2)当数列Sn也是等比数列时，求实数的值解：(1)因为数列1an是等比数列，所以数列an也是等比数列设等比数列an的公比为q，则a33a2a3a464，解得a34.所以q2a3a14，解得q2 或q2.当q2 时，数列an的通项公式为an2n1；当q2 时，数列an的通项公式为an(2)n1.(2)当q2 时，Sn12n1222n11，当且仅当10，即1 时，数列Sn是首项为 2，公比为 2 的等比数列8同理当q2 时，Sn1（2）n1（2）23(2)n113，当且仅当130，即13时，数列Sn是首项为23，公比为2 的等比数列所以的值为 1 或13.22(本小题满分 12 分)设等差数列an的前n项和为Sn，且Sn12nananc(c是常数，nN N)，a26.(1)求c的值及数列an的通项公式；(2)设bnan22n1，数列bn的前n项和为Tn，若 2Tnm2 对任意nN N恒成立，求正整数m的最大值解：(1)因为Sn12nananc，所以当n1 时，S112a1a1c，解得a12c.当n2 时，S2a2a2c，即a1a2a2a2c.