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文档简介

1、模块综合检测(时间:120 分钟,满分:150 分)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知 i 为虚数单位,则 zi12i在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析:选 B.zi12ii(12i)1(2i)22i52515i,其对应的点25,15 位于第二象限2(2019高考全国卷)设,为两个平面,则的充要条件是()A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C,平行于同一条直线D,垂直于同一平面解析:选 B.对于 A,内有无数条直线与平行,当这无数条直线互相平行时,与可能相交,所以 A 不正确;对

2、于 B,根据两平面平行的判定定理与性质知,B 正确;对于 C,平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,所以 C 不正确;对于 D,垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行,如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面,但它们是相交的,所以 D 不正确综上可知选 B.3如图所示的直观图,其平面图形的面积为()A3B6C3 2D.3 22解析:选 B.由直观图可得,该平面图形是直角边边长分别为 4,3 的直角三角形,其面积为 S12436.4在 120 个零件中,一级品 24 个,二级品 36 个,三级品 60 个,用分层随机抽样法从中抽取容量为 20 的样本,则在一级品中抽取的比例为()A.1

3、24B.136C.15D.16解析:选 D.由题意知抽取的比例为2012016,故选 D.5从某校高三年级随机抽取一个班,对该班 50 名学生在普通高校招生体验中的视力情况进行统计,其结果的频率分布直方图如图所示,若某专业对视力要求在 0.9 及以上,则该班学生中能报该专业的人数为()A10B20C8D16解析:选 B.由频率分布直方图,可得视力在 0.9 及以上的频率为(1.000.750.25)0.20.4,人数为 0.45020.故选 B.6一组数据的平均数、众数和方差都是 2,则这组数可以是()A2,2,3,1B2,3,1,2,4C2,2,2,2,2,2D2,4,0,2解析:选 D.易

4、得这四组数据的平均数和众数都是 2,所以只需计算它们的方差就可以第一组数据的方差是 0.5;第二组数据的方差是 2.8;第三组数据的方差是 0;第四组数据的方差是 2.7已知 a(1,0),b(1,1),且(ab)a,则()A2B0C1D1解析:选 D.因为 ab(1,0)(,)(1,),所以(ab)a(1,)(1,0)1.由(ab)a 得 10,得1,故选 D.8从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是()A.49B.13C.29D.19解析:选 D.个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数,所以可以分两类:(1)当个位为奇数时,有 54

5、20 个,符合条件的两位数(2)当个位为偶数时,有 5525 个,符合条件的两位数因此共有 202545 个符合条件的两位数, 其中个位数为 0 的两位数有 5 个, 所以所求概率为 P54519.9甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能得到冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为()A.12B.35C.23D.34解析:选 D.设 Ai(i1,2)表示继续比赛时,甲在第 i 局获胜,B 事件表示甲队获得冠军法一:BA1 A1A2,故 P(B)P(A1)P(A1)P(A2)12121234.法二:P(B)1P(A1A2)1P(A1)P(

6、A2)1121234.10如图,在ABC 中,AD23AC,BP13BD,若APABAC,则的值为()A3B3C2D2解析:选 B.因为AD23AC,所以BP13BD13(ADAB)29AC13AB.所以APABBP23AB29AC,又APABAC,所以23,29,从而3,故选 B.11 如图是由 16 个边长为 1 的菱形构成的图形, 菱形中的锐角大小为3, aAB, bCD,则 ab()A5B1C3D6解析:选 B.设菱形中过 A 点的两邻边对应的向量分别表示为 i,j,且 i 的方向水平向右,则|i|j|1, i,j60,从而 ij12.因此 ai2j,b3i2j,所以 ab(i2j)(

7、3i2j)3i24ij4j2312411124121,故选 B.12如图,在矩形 ABCD 中,EFAD,GHBC,BC2,AFFGBG1.现分别沿EF,GH 将矩形折叠使得 AD 与 BC 重合,则折叠后的几何体的外接球的表面积为()A24B6C.163D.83解析:选 C.由题意可知,折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱柱,底面等边三角形外接圆的半径为231212233.因为三棱柱的高 BC2,所以其外接球的球心与底面外接圆圆心的距离为 1,则三棱柱外接球的半径为 R332122 33,所以三棱柱外接球的表面积 S4R2163.故选 C.二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分134

8、,4,6,7,7,8,9,9,10,10 的 30%分位数为_,75%分位数为_解析:因为 1030%3,1075%7.5,所以 30%分位数为x3x426726.5,75%分位数为 x89.答案:6.5914同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得 100 分、100 分、200 分,答错或不答均得零分假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于 300 分的概率是_解析:设“同学甲答对第 i 个题”为事件 Ai(i1,2,3),则 P(A1)0.8,P(A2)0.6,P(

9、A3)0.5,且 A1,A2,A3相互独立,同学甲得分不低于 300 分对应于事件 A1A2A3A1A2A3 A1A2A3发生,故所求概率为 PP(A1A2A3A1A2A3 A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P( A2)P(A3)P( A1)P(A2)P(A3)0.80.60.50.80.40.50.20.60.50.46.答案:0.4615如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,AA1底面 ABC,ABBC,AA1AC2,直线 A1C与侧面 AA1B1B 所成的角为 30,则该三棱柱的侧面积为_解析:连接 A1B.因为

10、AA1底面 ABC,则 AA1BC,又 ABBC,AA1ABA,所以BC平面 AA1B1B,所以直线 A1C 与侧面 AA1B1B 所成的角为CA1B30.又 AA1AC2,所以 A1C2 2,BC 2.又 ABBC,则 AB 2,则该三棱柱的侧面积为 2 222244 2.答案:44 216在矩形 ABCD 中,AB2,AD1.边 DC 上的动点 P(包含点 D,C)与 CB 延长线上的动点 Q(包含点 B)满足|DP|BQ|,则PAPQ的最小值为_解析:以点 A 为坐标原点,分别以 AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设 P(x,1),Q(2,y),由题意知

11、 0 x2,2y0.因为|DP|BQ|,所以|x|y|,所以 xy.因为PA(x,1),PQ(2x,y1),所以PAPQx(2x)(y1)x22xy1x2x1x12234,所以当 x12时, PAPQ取得最小值为34.答案:34三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)已知 a,b,c 是同一平面的三个向量,其中 a(1, 3)(1)若|c|4,且 ca,求 c 的坐标;(2)若|b|1,且(ab)a52b,求 a 与 b 的夹角.解:(1)因为 ca,所以存在实数(R),使得 ca(, 3),又|c|4,即2324,解得2.所以 c(2,2 3)或 c(2

12、,2 3)(2)因为(ab)a52b,所以(ab)a52b0,即 a232ab52b20,所以 43221cos520,所以 cos12,因为0,所以3.18(本小题满分 12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 C6,a2,ABC 的面积为 3,F 为边 AC 上一点(1)求 c;(2)若 CF 2BF,求 sinBFC.解:(1)因为 SABC12ab sin C122bsin6 3,所以 b2 3.由余弦定理可得 c2a2b22ab cos C412222 3cos64,所以 c2.(2)由(1)得 ac2,所以 AC6,ABCAC23.在BCF 中由正弦定理

13、得CFsinCBFBFsinBCF, 所以 sinCBFsin6CFBF.又因为 CF 2BF,所以sinCBF22,又因为CBF23,所以CBF4,所以 sin BFCsin(CBFBCF)sin46 2 64.19 (本小题满分 12 分)如图所示, 凸多面体 ABCED 中, AD平面 ABC, CE平面 ABC,ACADAB1,BC 2,CE2,F 为 BC 的中点(1)求证:AF平面 BDE;(2)求证:平面 BDE平面 BCE.证明:(1)取 BE 的中点 G,连接 GF,GD,因为 AD平面 ABC,CE平面 ABC,所以ADEC,且平面 ABC平面 ACED.因为 GF 为三角

14、形 BCE 的中位线,所以 GFECDA,GF12CEDA1.所以四边形 GFAD 为平行四边形,所以 AFGD,又 GD平面 BDE,AF平面 BDE,所以 AF平面 BDE.(2)因为 ACAB1,BC 2,所以 AC2AB2BC2,所以 ABAC.所以 F 为 BC 的中点,所以 AFBC.又 GFAF,BCGFF,所以 AF平面 BCE.因为 AFGD,所以 GD平面 BCE.又 GD平面 BDE,所以平面 BDE平面 BCE.20(本小题满分 12 分)某超市随机选取 1 000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“”表示购买, “”表示未购买

15、商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?解:(1)从统计表可以看出,在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 0000.2.(2)从统计表可以看出,在这 1 000 位顾客中,有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2 种商品所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为

16、1002001 0000.3.(3)法一:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 0000.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003001 0000.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 0000.1.所以如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大法二:从统计表可以看出,同时购买了甲和乙的顾客,也都购买了丙;同时购买了甲和丁的顾客,也都购买了丙;有些顾客同时购买了甲和丙,却没有购买乙或丁所以,如果顾客购买了甲,那么该顾客同时购买丙的可能性最大21(本小题满分 12 分)为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召 n 名义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组织,现把该

17、组织的成员按年龄分成 5 组,第 1 组20,25),第 2组25,30),第 3 组30,35),第 4 组35,40),第 5 组40,45,得到的频率分布直方图如图所示,已知第 1 组有 5 人(1)分别求出第 3,4,5 组志愿者的人数,若在第 3,4,5 组中用分层随机抽样的方法抽取 6 名志愿者参加某社区的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者?(2)在(1)的条件下,该组织决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 3 组至少有 1 名志愿者被抽中的概率解:(1)由题意,因为第 1 组有 5 人,则 0.015n5,n100,所以第 3 组有 0

18、.06510030(人),第 4 组有 0.04510020(人),第 5 组有 0.02510010(人)所以利用分层随机抽样在第 3,第 4,第 5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人(2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1,则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共 15 种其中第 3 组的 3 名志愿者 A1,A2,A3至

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