立体几何复习讲义

1、 中小学个性化辅导专家 圆梦教育1对1个性化辅导讲义学员姓名 学校年级及科目 教师课 题空间点、直线、平面之间的位置关系 授课时间教学目标掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理教学内容【基础知识回顾】1平面的基本性质公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过 的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 过该点的公共直线2直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫做异面

2、直线a，b所成的角(或夹角)范围：.3直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行6等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补【方法指导】两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面三个作用(1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线

3、共面”的方法(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线【考点自测】1下列命题是真命题的是()A空间中不同三点确定一个平面B空间中两两相交的三条直线确定一个平面C一条直线和一个点能确定一个平面D梯形一定是平面图形2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线3(2013·浙江)下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都

4、垂直于平面4(2014·武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A12对 B24对 C36对 D48对5两个不重合的平面可以把空间分成_部分6给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行；若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1、l2互相平行；若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数()A1B2 C3 D47若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成()A5部分B6部分 C7部分D8部分8如下图所示，点P，Q，R，S分别在正

5、方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()9三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为_5如下图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小【考点探究】考点一平面的基本性质例1 正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是()A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条

6、件，可以更快的确定交线的位置【训练1】 下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_考点二异面直线例2 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由【训练2】 在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)考点三异面直线所成的角例3 (2014·宁波调研)正方体ABCD-A1B1C1D1中(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分

7、别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小【训练3】 A是BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角例4 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点【训练4】 如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点【作业】知能演练一、选择题1已知a，b是异面直线，直线c直线a，则c与b()A一定是异面直线 B一定是

8、相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线2四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线()A互不相交 B至多有两条直线相交C三线相交于一点 D两两相交有三个交点3若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D过点P有且仅有一条直线与l、m都异面4正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.二、填空题5如图所示，在三棱锥CABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD2AB4，EFAB，则EF与CD所成的角是_

9、6在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是_(写出所有正确结论的编号)矩形不是矩形的平行四边形有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体每个面都是等边三角形的四面体每个面都是直角三角形的四面体三、解答题7有一矩形纸片ABCD，AB5，BC2，E，F分别是AB，CD上的点，且BECF1，如下图(1)现在把纸片沿EF折成图(2)形状，且CFD90°.(1)求BD的距离；(2)求证：AC，BD交于一点且被该点平分高考·模拟·预测1正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为()A2 B3

10、C4 D52已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A. B.C. D.3已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.4空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD1，则AC的取值范围是_立体几何知识点：1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥

11、60;几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：  几何特征：上下底面是相似的平行多边形  侧面是梯形    侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点

12、；侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线） （3）柱体、锥体、台体的体积公式 （4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=1、平面及基本性质公理1

13、 公理2 若,则且公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）2、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线3、异面直线（1）对定义的理解：不存在平面，使得且（2）判定：反证法（否定相交和平行即共面）（3）求异面直线所成的角：平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形. 向量法 （注意异面直线所成角的范围）（4）证明异面直线垂直，通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；向量法 （5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.9.2 直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系2、直线与平面

14、平行的判定（1）判定定理: (线线平行，则线面平行)（2）面面平行的性质： (面面平行，则线面平行)3、直线与平面平行的性质 (线面平行，则线线平行)4、直线与平面垂直的判定（1）直线与平面垂直的定义的逆用 （2）判定定理： （线线垂直，则线面垂直）（3）（4）面面垂直的性质定理： （面面垂直，则线面垂直）（5）面面平行是性质：5、射影长定理6、三垂线定理及逆定理 线垂影线垂斜9.3 两个平面的位置关系1、空间两个平面的位置关系 相交和平行2、两个平面平行的判定（1）判定定理： （线线平行，则面面平行）（2） 垂直于同一直线的两个平面平行（3） 平行于同一平面的两个平面平行 3、两个平面平行的性质（1）性质1：（2）面面平行的性质定理： （面面平行，则线线平行）（3）性质2：4、两个平面垂直的判定与性质（1）判定定理： （线面垂直，则面面垂直）（2）性质定理：面面垂直的性质定理： （面面垂直，则线面垂直）9.4 空间角1、异面直线所成角2、斜线与平面所成的角 （1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.（2）向量法：设平面