高考数学大一轮复习 7.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件 理 苏教版

1、7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第七章不等式数学数学 苏（理）苏（理） 基础知识基础知识自主学习自主学习 题型分类题型分类深度剖析深度剖析 思想方法思想方法感悟提高感悟提高 练出高分练出高分1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式axbyc0在平面直角坐标系中表示直线axbyc0某一侧所有点组成的 .我们把直线画成虚线以表示区域 边界直线.当我们在坐标系中画不等式axbyc0所表示的平面区域时，此区域应 边界直线，则把边界直线画成 .平面区域不包括包括实线(2)由于对直线axbyc0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入axbyc，所得的符号都 ，

2、所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由ax0by0c的 即可判断axbyc0表示的直线是axbyc0哪一侧的平面区域.相同符号2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的 不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求 或 的函数线性目标函数关于x，y的 解析式一次最大值最小值一次可行解满足 的解可行域所有 组成的集合最优解使目标函数取得 或 的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的 或 问题线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行

3、域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.u 思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)不等式axbyc0表示的平面区域一定在直线axbyc0的上方.()(2)不等式x2y212解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z2xy，则y2xz.易知当直线y2xz过点a(k，k)时，z2xy取得最小值，即3k6，所以k2.题型一题型一 二元一次不等式二元一次不等式( (组组) )表示的平面区域表示的平面区域思 维 升 华解 析解

4、析 不等式组表示的平面区域如图所示.因此只有直线过ab中点时，思 维 升 华解 析思 维 升 华解 析二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.思 维 升 华解 析解析答案思维升华例1(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_.两直线方程分别为x2y20与xy10.由(0,0)点在直线x2y20右下方可知x2y20，又(0,0)点在直线xy10左下方可知xy10，解析答案思维升华例1(2)如图阴影部分表示的区域可用二元

5、一次不等式组表示为_.为所表示的可行域.解析答案思维升华例1(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_.为所表示的可行域.解析答案思维升华例1(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.解析答案思维升华例1(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_.解析直线axy10过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点a(1,0)，b(1，a1)，c(0,1)

6、组成的三角形的内部(包括边界)，解得a7.答案 7(2)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_.解析 边界对应直线方程为xy10，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足xy10.xy10解析答案思维升华题型二题型二 求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值例2 (1)(2014广东改编)若变量x，y且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn_.满足约束条件题型二题型二 求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值例2 (1)(2014广东改编)若变量x，y且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn_.满足约束条件画出可行域，如图阴影部分所示.由z2xy，得y

7、2xz.解析答案思维升华题型二题型二 求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值例2 (1)(2014广东改编)若变量x，y且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn_.满足约束条件a(1，1).解析答案思维升华题型二题型二 求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值例2 (1)(2014广东改编)若变量x，y且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn_.满足约束条件b(2，1).当直线y2xz经过点a时，zmin2(1)13n.当直线y2xz经过点b时，zmax2213m，故mn6.解析答案思维升华题型二题型二 求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值例2 (1)(2014广东改编)若变

8、量x，y且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn_.满足约束条件b(2，1).当直线y2xz经过点a时，zmin2(1)13n.当直线y2xz经过点b时，zmax2213m，故mn6.6解析答案思维升华线性规划问题的解题步骤：(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；题型二题型二 求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值例2 (1)(2014广东改编)若变量x，y且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn_.满足约束条件6解析答案思维升华(3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代

9、入目标函数，即可求出最值.题型二题型二 求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值例2 (1)(2014广东改编)若变量x，y且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn_.满足约束条件6解析答案思维升华解析答案思维升华例2 (2)(2013课标全国)已知a0，x，y满足约束条件最小值为1，则a_.若z2xy的例2 (2)(2013课标全国)已知a0，x，y满足约束条件最小值为1，则a_.若z2xy的作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线z2xy过交点a时，z取最小值，解析答案思维升华例2 (2)(2013课标全国)已知a0，x，y满足约束条件最小值为1，则a_.若z2xy的zm

10、in22a1，解析答案思维升华例2 (2)(2013课标全国)已知a0，x，y满足约束条件最小值为1，则a_.若z2xy的zmin22a1，解析答案思维升华例2 (2)(2013课标全国)已知a0，x，y满足约束条件最小值为1，则a_.若z2xy的线性规划问题的解题步骤：(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；解析答案思维升华例2 (2)(2013课标全国)已知a0，x，y满足约束条件最小值为1，则a_.若z2xy的(3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.解析

11、答案思维升华画出可行域如图阴影部分所示，答案4解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，例3某客运公司用a、b两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次.a、b两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求b型车不多于a型车7辆.若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备a型车、b型车各多少辆？题型三题型三 线性规划的实际应用线性规划的实际应用解 析思 维 升 华解设a型、b型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z1 600 x2 400y

12、.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为p(5，12)，q(7,14)，r(15,6).解 析思 维 升 华由图可知，当直线z1 600 x2 400y经过可行域的点p时，直线z1 600 x2 400y在y轴上的截距 最小，即z取得最小值.故应配备a型车5辆、b型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小.解 析思 维 升 华解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答.解 析思 维 升 华跟踪训练3 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用a原料3吨、b原料2吨；生产每吨乙产品

13、要用a原料1吨、b原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗a原料不超过13吨、b原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是_万元.解析设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z5x3y.可行域如图阴影所示.由图可知当x、y在a点取值时，z取得最大值，此时x3，y4，z533427(万元).答案27解析答案思维升华题型四题型四 求非线性目标函数求非线性目标函数的最值的最值题型四题型四 求非线性目标函数求非线性目标函数的最值的最值 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，解析答案思维升华题型四题型四 求非线性目标函数求非线性目标函

14、数的最值的最值 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，解析答案思维升华常见代数式的几何意义有题型四题型四 求非线性目标函数求非线性目标函数的最值的最值解析答案思维升华题型四题型四 求非线性目标函数求非线性目标函数的最值的最值解析答案思维升华解析答案思维升华在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，解析答案思维升华结合图形可知，在该平面区域内的点中，解析答案思维升华由点(1,0)向直线xy2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(1,0)的距离最小，解析答案思维升华由点(1,0)向直线xy2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(1,0)的距离最小，解析答案思维升华常见代数式的几何意义有解

15、析答案思维升华解析答案思维升华区域是1，平面区域2是与1关于直线3x4y90对称的区域，对于1中的任意一点a与2中的任意一点b，ab的最小值为_.解析 由题意知，所求的ab的最小值，即为区域1中的点到直线3x4y90的距离的最小值的两倍，(1)设不等式组跟踪训练4 所表示的平面画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点(1,1)到直线3x4y90的距离最小，答案 4若直线kxy20经过该可行域，则k的最大值为_.(2)设变量x，y满足解析 画出可行域如图，k为直线ykx2的斜率，直线过定点(0,2)，并且直线过可行域，若直线kxy20经过该可行域，则k的最大值为_.(2)设变量x，y满足

16、要使k最大，此直线需过b(2,4)点，1典例：(14分)变量x、y满足思 维 点 拨规 范 解 答思想与方法系列思想与方法系列10 10 利用线性规划思想求解非线性目标函数利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值的最值思 维 点 拨规 范 解 答作出(x，y)的可行域如图所示.思 维 点 拨规 范 解 答4分分 思 维 点 拨规 范 解 答7分分 z的值即是可行域中的点与原点o连线的斜率.思 维 点 拨规 范 解 答(2)设zx2y2，求z的取值范围；思 维 点 拨规 范 解 答(2)设zx2y2，求z的取值范围；思 维 点 拨规 范 解 答(2)设zx2y2，求z的取值范围；解 zx2y2的

17、几何意义是可行域上的点到原点o的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，2z29.11分分 思 维 点 拨规 范 解 答(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒解 zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到点(3,2)的距离中，dmin1(3)4，14分分 (3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围.16z64.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒(1)

18、本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法.(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义.(3)本题错误率较高.出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题.(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒方 法 与 技 巧1.平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线).3.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.方 法 与 技 巧4.利用线性规划的思想结合代数式的几何意

19、义可以解决一些非线性规划问题.失 误 与 防 范1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.234567810192345678101所表示的平面区域如图中阴影部分所示.在yx1中，令x0得y1，即直线yx1与y轴的交点为c(0,1)，解得t1或t3(不合题意，舍去).答案19345678110293456781102解析|x|y|把平面分成四部分，|x|y|表示含y轴的两个区域；|x|0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2；当a0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a1.答案2或192346781105解析画出可行域如图所示.由z2xy，得y2xz

20、，欲求z的最大值，可将直线y2x向下平移，92346781105当经过区域内的点，且满足在y轴上的截距z最小时，即得z的最大值，如图，可知当过点a时z最大，即a(5,2)，则zmax2528.答案892345781106解析作出可行域为abc(如图)，则sabc4.92345681107解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2xyz，92345681107结合图形分析可知，要使z2xy的最大值是6，直线yk必过直线2xy6与xy0的交点，即必过点(2,2)，于是有k2；平移直线2xy6，当平移到经过该平面区域内的点(2,2)时，相应直线在y轴上的截距达到最小，此时z2xy取得最

21、小值，最小值是z2(2)22.答案2298.铁矿石a和b的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的co2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表：2345671108ab(万吨)c(百万元)a50%13b70%0.5692345671108某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求co2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为_(百万元).解析设购买铁矿石a、b分别为x万吨，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，92345671108目标函数z3x6y，记p(1,2)，画出可行域可知，当目标函数z3x6y过点p(1,2)时，z取到最小值15. 答案1599.若直线xmym0与以p(1，1)、q(2

22、,3)为端点的线段不相交，求m的取值范围.解直线xmym0将坐标平面划分成两块区域，线段pq与直线xmym0不相交，则点p、q在同一区域内，2345678110910.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；234567811092345678110解 依题意每天生产的伞兵个数为100 xy，所以利润5x6y3(100 xy)2x3y300.92345678110(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？92345678110目标函数为2x3y300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0经过点a时，有最大值，92345678110最优解为a(50,50)，此时max550元.故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.9解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，234516显然a8，否则可行域无意