全等三角形几种类型

1、板块考试要求A级要求B级要求。级要求全等三角形 的性质及判 定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质， 会用全等三角形的性质和判定解决简 单问题会运用全等三角形的性 质和判定解决有关问题全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形.全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.全等多边形的对应边对应边、全等多边形的对应角相等.如下图，两个全等的五边形，记作：五边形五边形这里符号“g”表示全等，读作“全等于”.全等三角形：能够至全重1的三角形就是全等三角形.全等三角形的对应边相等，全等三

2、角形的对应角相等：反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等.全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等.全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.能够相互重合的顶点、边、 角分别叫作对应顶点、对应边、对应角.全等符号为“且”.全等三角形的性质,对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的 角平分线相等，而积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.有公共边的，公共边常是对应边.有公

3、共角的，公共角常是对应角.有对顶角的，对顶角常是对应角.(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是 对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(S4S)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2)角边角定理(421)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理O4S)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)斜边、直角边定理(4)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

4、全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程 中，注意有时会添加铺助线.判定三角形全等的基本思路：'找夹角7 SAS已知两边找直角7 HL找另一边7SSS边为角的对边一找任意一角一 A4S已知一边一角边就是角的一条边找这条边上的另一角一ASA 找这条边上的对角一 AAS 找该角的另一边一SAS已知两角，找两角的夹边-ASA 找任意一边f AAS15全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式:平移全等型对称全等型旋转全等型由全等可得到的相关定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上. 等腰

5、三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合. 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等 边）.线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.（7）和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性.角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式:1 .由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2 .过角平分线上的一点作

6、角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3.OA = OB，这种对称的图形应用得也较为普遍，三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理（以后还要学习中线长公式）， 尤其是在涉及线段的

7、等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的 基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法， 尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本行的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论， 要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表 示，即书写格式，都要在讲练中反复强化板块一、全等三角形的认识与性质【例1】 在"、AC上各取一点E、D,使=连接3。、CE相交于O再连结AO、B

8、C 9若N1 = N2,则图中全等三角形共有哪几对并简单说明理由.A【巩固】如图所示，AB = AD9 BC = DC, E、尸在AC上，AC与8。相交于P.图中有几对全等三 角形清一一找出来，并简述全等的理由.板块二、三角形全等的判定与应用【例2】（2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试）如图，AC/DE, BC EF , AC = DE.求证: AF = BD.【例3】（2008年宜宾市）已知：如图，AD = BC, AC = BD.求证：NC = ZD.【巩固】如图，AC、3。相交于。点，且AC = 5£>, AB = CD9求证：OA = OD.【例4】（哈尔滨市20

9、08年初中升学考试）已知:如图，4、E、/、C四点在同一条直线上，AB = DC9 BE = CF . ZB = NC.求证：OA = OD.【例5】 已知，如图，AB = ACf CELAB, BF LAC 9 求证：BF = CE.【例6】E、尸分别是正方形ABC。的8C、CQ边上的点，且BE = CF .求证：AELBF.匚【巩固】E、F . G分别是正方形A5CO的8C、CD、4?边上的点，GELEF9 GE = EF .求证: BG + CF = BC.【例7】 在凸五边形中，Z£? = ZE, ZC=ZD, BC = DE, M为CO中点.求证：AM LCD .板块三、截

10、长补短类【例1】如图，点M为正三角形相。的边钻所在直线上的任意一点（点3除外），作ND/WV = 60。, 射线MN与NO84外角的平分线交于点N, 0M与MN有怎样的数量关系【巩固】如图，点仞为正方形A8C。的边4?上任意一点，MN_LDW且与NABC外角的平分线交于 点N, MO与MN有怎样的数量关系【例2】如图，AD±AB9 CBLAB, DkCka , AAh , CBk , /4小75。，N6G45。,则四的长为 ()【例3】已知：如图，月比P是正方形，NFAHNFAE.求证：胆疗花【例4】如图所示，A48C是边长为1的正三角形，地七是顶角为120的等腰三角形，以。为顶点

11、作一个60的ZMZW,点M、N分别在4?、AC上，求4LMV的周长.【例5】 五边形ABC应中,AAE9 BC+D及CD, N?15dN月及1=180。,求证：AD*分乙CDE板块四、【例1】与角平分线有关的全等问题如图，已知A45C的周长是21 , OB ,。分别平分ZA3C和ZAC8, ODLBC于D,且 OD = 3,求AA5C的面积.【例2】【例3】已知A48C中,平分线.求证:AB = AC, BE、CO分别是ZA8C及ZACB CD = BE.【例4】已知A48c中,ZA = 60 r BD、CE 分别平分 ZA8C 和 ZAC3, BD、CE 交于点 O,试判在AA8C中，D为B

12、C边上的点,已知ZaM> = NG4£>, BD = CD,求证：AB = AC.断座、CD、8c的数量关系，并加以证明.【例5】如图，已知七是4c上的一点，又N1 = N2, Z3 = Z4.求证:【例6】（“希望杯”竞赛试题）长方形抽中，加4, 5（7, /屈切的角平分线交比于点E EFLED 交AB于F,则氏.【例7】 如图所示，已知A43c中，AO平分ZBAC, E、尸分别在4。、AO上.DE = CD, EV = AC.求 证：EF / AB【巩固】如图，在A45C中，AD交BC于氤D,点石是8C中点，£/；AD交C4的延长线于点F , 交AB于点G,

13、若BG = CF,求证：AO为C的角平分线.【巩固】在&WC中，AB>AC 9 AO是。的平分线.夕是AO上任意一点.求证: AB-AC>PB-PC .【例8】 如图，在AA3C中，NB = 24C , ZBAC的平分线A。交8C与。.求证：AB + BD = AC.【例9】如图所示，在A4BC中，AC>A8, M为8C的中点，AO是。的平分线，若b_LA£) 且交A。的延长线于尸，求证W = ；(AC-4B).【巩固】如图所示，AO是AA8C中C的外角平分线，COLAO于。，七是8C的中点,求证DE/AB 且OE = !(A8 + AC).2【巩固】如图所

14、示，在A4BC中，AO平分ZBAC, AD = AB, CM _LA。于M ,求证4? +AC = 2AM .【例10如图，A45c中，AB = AC9 BD、CE分别为两底角的外角平分线，AOLAO于。，AE1.CE 于E .求证：AD = AE.【巩固】已知：AO和庞:分别是ABC的NC45和/C3A的外角平分线，CD±AD9 CE人BE,求证： DE/AB； (2) DE = (AB + BC + CA).If【例11】在中，MB、NC分别是三角形的外角N4B石、NACF的角平分线，AM ±BM ,4V_LCN 垂足分别是 A/、N .求证：MN BC , MN =

15、#AB + AC + BC)【巩固】在M8C中，M3、NC分别是三角形的内角 W ZAC3的角平分线，AM±BM9 AN ±CN垂足分别是M、N.求证：MN BC , MN = ；(AB + AC-BC)【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形488中，AC平分NA43,过C作。石，48于七, 并且AE = L(A8+AO),则NA8C+NAOC等于多少【例12如图，Z4 + ZD = 180°, 8石平分ZABC, CE平分NBC。，点上在AO上. 探讨线段M、C。和3c之间的等量关系. 探讨线段席与CE之间的位置关系.版块一、倍长中线【例1】 已知：A48C

16、中，AM是中线.求证：AM <(AB + AC).【例2】如图，AA5C 中，AB<AC, AO是中线.求证：ADAC<ZDAB.【例3】如图，已知在A4BC中，AQ是3C边上的中线，石是AO上一点，延长座交AC于产， AF = EF,求证：AC = BE.【例4】已知四乙4及4C, D, £分别是.仍及月。延长线上的一点，且如片 连接应交底左于G,求证3=公【例5】【例6】在RIA4BC中，ZA = 90°,点。为BC的中点，点E、F且已知AM为M5C的中线，ZAMB9 ZAMC的平分线分别交钻于石、交AC于求证: BE + CF>EF.EDLFD

17、.以线段%、EF、/C为边能否构成一个三角形若能，该三角形是锐角三角形、 直角三角形或钝角三角形【巩固】如图所示，在AA8C中，。是8C的中点，0M垂直于ON,如果+C* = OM?+ON, 求证心三.+4小）.【例7】（2008年四川省初中数学联赛复赛初二组）在Rt&SC中，尸是斜边钻的中点，D、E分 别在边6、CB上,满足“庄= 90。.若4） = 3, 8£ = 4,则线段。上的长度为.版块二、中位线的应用【例8】A。是的中线，尸是AO的中点，旅的延长线交4c于七.求证：AE = AC.3【例9】 如图所示，在A45c中，AB = AC9延长AB到。，使BD = AB,

18、 E为4?的中点，连接CE、 CD,求证C0 = 2EC.【巩固】已知，郎中，月庆月配劭为 四的延长线，且SAAB,竺为血的池边上的中线.求证CD=2CE【例10】已知：相是凸四边形，且水X9 E、尸分别是妆 正的中点，EF交AC于M； EF交BD 于A；月。和劭交于G点.求证：NGtfV>NGM【例11在AA8C中，ZACB = 90°, AC = "C，以8C为底作等腰直角ABC。，E是CQ的中点, 2求证：AELEB且AE = BE.【例12如图，在五边形ABCDE中，ZABC = ZAED = 90° 9 BAC=/EAD9/为CO的中点.求证: BF = EF.【例13（“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题）如图所示，