27闭区间上连续函数的性质

1、第七节一一、最大值最小值定理、最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理 闭区间上连续函数的性质 第二二章 定定义义对对于于在在区区间间 上上有有定定义义的的函函数数如如果果有有使使得得对对于于任任一一都都有有则则称称是是函函数数在在区区间间 上上的的最最大大 小小 值值0000( ),( )()( ( )()()( )().if xxixif xf xf xf xf xf xi例如例如, ,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2,0上上在在 ; 0min y, 1max y一一、最大值

2、最小值定理、最大值最小值定理定理定理2.18( (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在在闭区间闭区间上连续的上连续的即即: 设设, ,)(bacxf xoyab)(xfy 则则, ,21ba 使使).()(min1 fxfmbxa )()(max2 fxfmbxa 记记函数在该区间上一定有最大函数在该区间上一定有最大值和最小值值和最小值. .).()()(,21 fxffbax 有有使得使得12(证明略证明略) 1 若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2 若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.注注xyo)(xfy 211xyo2

3、)(xfy f (x)在在0, 2上无最大值和最小值上无最大值和最小值 推论推论 (有界性定理有界性定理) 在闭区间上连续的函数在该区在闭区间上连续的函数在该区 间上一定有界间上一定有界.例例1证证( )1f xa( )f xayxoaa -1a +1- xx.),()()(lim),()(上有界上有界在在存在，则存在，则内连续，且内连续，且在在证明：若证明：若 xfxfxfx存在，存在，)(limxfx ，则，则设设axfx )(lim，使得，使得对于对于0, 1 x 时，有时，有当当xx axf 1)(即即内连续内连续在在又又),()(xf上有界上有界上连续，从而在上连续，从而在在在,)(

4、xxxxxf )(xfy 1( ),f xmxx x ( ).f xm ，使得，使得故存在常数故存在常数01 m，则，则取取1,max1amm ，均有，均有),( x.),()(上有界上有界在在即即xf定理定理2.19 ( 零点定理零点定理 )，且，且若若,)(bacxf 至少存在一点至少存在一点, ),(ba 使使.0)( f0)()( bfaf( 证明略证明略 )定义定义 如果如果, 0)(0 xf则称则称0 x为为 f (x) 的零点的零点.二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理.),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf 定定2.20 ( 介值定理介

5、值定理 )设设 , ,)(bacxf 且且,)(aaf ,)(babbf 则对则对 a 与与 b 之间的之间的任一数任一数 c , 至少有一点至少有一点, ),(ba 证证 作辅助函数作辅助函数cxfx )()( 则则,)(bacx 且且)()(ba )(cbca 0 故由零点定理知故由零点定理知, 至少有一点至少有一点, ),(ba 使使,0)( 即即.)(cf 使使.)(cf 推论推论 在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数必取得介于最大值必取得介于最大值 m与最小值与最小值 m 之间的一切值之间的一切值 .例例2 ,4,0)(上上连连续续在在闭闭区区间间xf13 xex至少有一个不超过

6、至少有一个不超过 4 的的 证证证明方程证明方程令令，1)(3 xexxf且且 )0(f13 e )4(f1434 e0 e 3由零点定理由零点定理 , 知知, )4,0( ,0)( f原命题得证原命题得证 .显然显然正根正根 .0 使使4, 0 x例例3证证bxxxabaxfn 21,)(上上连连续续在在若若由于由于 f (x)在在a, b上连续上连续,)(1上上连连续续在在nxxxf使使得得试试证证：, ,1nxx .)()()()(21nxfxfxffn ,21bxxxan ,1baxxn 上上,1nxx有最大值有最大值 m 和最小值和最小值 m，故故 f (x) 在在nxfxfxfn)

7、()()(21 m,m 由介值定理的推论知，由介值定理的推论知，,1nxx ),()(1nxxxmxfm 即即)(max),(min2,12,1xfmxfmxxxxxx 其其中中，令令nxfxfxfn)()()(21 则则mm 使得使得)( f .)()()(21nxfxfxfn 内容小结内容小结则则设设, ,)(bacxf 在在)(. 1xf上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的一切上可取最大与最小值之间的一切值值; ;4. 当当0)()(bfaf时时, ),(ba使使. 0)(f必存在必存在,ba上有界上有界;在在)(. 2xf,ba在在)(. 3xf,ba1.

8、 任给一张面积为任给一张面积为 a 的纸片的纸片(如图如图), 证明必可将它证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片一刀剪为面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图建立坐标系如图.xoy则面积函数则面积函数,)(cs因因,0)(sas)(故由介值定理可知故由介值定理可知:, ),(0.2)(0as使)(s则则, 2,0)(acxf, )2()0(aff证明至少存在证明至少存在, ,0a使使. )()(aff提示提示: 令令, )()()(xfaxfx则则, ,0)(acx 易证易证0)()0(a2. 设设一点一点备用题备用题例例2-1证明方程证明方程01423 xx证证 显然显

9、然, 1 ,014)(23cxxxf 又又,01)0( f02)1( f故据零点定理故据零点定理, 至少存在一点至少存在一点, )1 ,0( 使使. 0)( f即即在区间在区间)1 ,0(内至少有一个根内至少有一个根 .例例2-2证证), 0(, 001110为为奇奇数数naaxaxaxannnn 证明任一奇数次代数方程至少有一个实根证明任一奇数次代数方程至少有一个实根.设奇数次代数方程为设奇数次代数方程为,)(1110nnnnaxaxaxaxf 记记, 00 a且且不不妨妨设设由于由于 )(limxfx)(lim10nnnxxaxaax , , 01 x故故存存在在. 0)(1 xf使使得得

10、 )(limxfx又又)(lim10nnnxxaxaax , , 02 x故故存存在在使使得得,)(21上上连连续续在在闭闭区区间间因因为为xxxf由零点定理知由零点定理知,),(21xx 使使得得即方程至少有一个实根即方程至少有一个实根., 0)( f. 0)(2 xf. 0)(1 xf使使得得证明方程证明方程bxax sin，其中，其中,0,0 ba 至少有一个正根，并且它不超过至少有一个正根，并且它不超过ba . 例例2-3证证令令( )( sin),0,f xxaxb xab , 1)sin(1 ba若若.为为所所给给方方程程的的根根bax 0)()0( baff由零点定理，知由零点定

11、理，知 (0, a + b), 使使( )0.f 0)( baf则则, 1)sin(2 ba若若则则上连续，且上连续，且在在则则, 0)(baxf , 0)0( bf)sin(1)(baabaf , 0)( baf证证令令 ( )( ),f xf xx 则则在在上上连连续续( ) , ,f xa b而而( )( )f af aa , 0 由零点定理由零点定理, ,使使),(ba , 0)()( ffbbfbf )()(, 0 即即( ).f 设设函函数数在在区区间间上上连连续续 且且证证明明使使得得( ) , ,( ),( ).( , ),( ).f xa bf aaf bba bf 例例2-

12、4上连续上连续 , 且且恒为正恒为正 ,例例2-5)(xf在在,ba证明证明:对任意的对任意的, ),(,2121xxbaxx 必存在一点必存在一点, ,21xx 使使.)()()(21xfxff 分析分析)()()(21xfxff 0)()()(212 xfxff 证证 令令)()()()(212xfxfxfxf , 则则,)(bacxf )(1xf)()()()(21222xfxfxfxf )()()(2112xfxfxf )()()(211xfxfxf )()()(122xfxfxf )()(21xfxf)()(21xfxf 221)()(xfxf 0 使使,0)( xf,0)()(21

13、 xfxf故由零点定理知故由零点定理知, , ),(21xx ,0)( f即即.)()()(21xfxff 当当)()(21xfxf 时时,取取1x 或或，2x 则有则有；即即)()()(21xfxff )()(21xfxf)()(21xfxf 221)()(xfxf 0 )()()()(212xfxfxfxf , 0)( f当当)()(21xfxf 时时,例例2-6证证令令( )( )(1),0,1f xf xf xxn (01)f00()(1).f xf x上连续，且上连续，且在区间在区间函数函数设设, 0)(,nnxfn )()0(nff ).1()(, 0000 xfxfnx，使，使证

14、明存在点证明存在点时，时，当当11 n)1()0(ff 由条件由条件，使，使知知, 000nx 时，时，当当22 n.1, 0)(上连续上连续在在则则 nxf方法方法1 (用反证法用反证法)假设：假设：，有，有1, 0 nx, 0)1()0()0( fff则则, 0)1()()( xfxfxf(0)(1)ff , 0)1()0()0( fff不妨设不妨设上连续，上连续，在在1, 0)( nxf.1, 0(, 0)( nxxf可以断定：可以断定：11(0,1,()00,(0,1)( )(0,)()0.xnf xxnf xxxf x 否否则则，若若使使，则则在在上上对对用用零零点点定定理理，得得知知，使使，这这与与假假设设矛矛盾盾, 0)1( f从而从而(1)(2)ff (2)0,f (2)(3)ff (1)0,f n(1)( )f nf n),()1(nff 故故这与题设条件这与题设条件)()0(nff 矛盾！矛盾！方法方法2( )( )(1),0,1f xf xf xxn (0)(0)(1