湖南省师大附中高三数学上学期月考试题一理含解析

1、6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3

2、3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5湖南省师大附中湖南省师大附中 20192019 届高三数学上学期月考试题届高三数学上学期月考试题（一一）理理（含解析含解析）时量：120 分钟满分：150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设复数zxyi，其中x，y是实数，i 是虚数单位，若y1ixi，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(d)a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【解析】由已知

3、，y(1i)(xi)x1(1x)i，则yx1，且 1x0，即x1，y2.所以zxyi12i，所对应的点(1，2)位于第四象限，选 d.2已知向量a a与b b的夹角是3，且|a a|1，|b b|4，若(3a ab b)a a，则实数的值为(b)a.32b32c.23d23【解析】由已知，(3a ab b)a a0，即 3a a2b ba a0，所以 320，即32，选 b.3下列说法中正确的是(c)a若样本数据x1，x2，xn的平均数为 5，则样本数据 2x11，2x21，2xn1的平均数为 10b用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加某项活动，若抽取的学号为 5，16，27，38，4

4、9，则该班学生人数可能为 60c某种圆环形零件的外径服从正态分布n(4，0.25)(单位：cm)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为 5.6 cm，则这批零件不合格d对某样本通过独立性检验，得知有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有 95%的人可能患肺病【解析】对于 a，若x1，x2，xn的平均数为 5，则 2x11，2x21，2xn1 的平均数为 25111，所以说法错误；对于 b，由抽取的号码可知样本间隔为 11，则对应的人数为 11555 人若该班学生人数为 60，则样本间隔为 60512，所以说法错误对于 c， 因为4，0.5， 则(u3，u3)(2

5、.5， 5.5)， 因为 5.6(2.5， 5.5)，则这批零件不合格，所以说法正确对于 d，有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：“吸烟与患肺病有关系”有 95%的正确性，所以说法错误选 c.4已知2x21xn(nn n*)的展开式中各项的二项式系数之和为 128，则其展开式中含1x项的系数是(a)a84b84c24d24【解析】由已知，2n128，得n7，所以tr1cr7(2x2)7r1xr(1)r27rcr7x143r.6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c

6、 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3

7、 5 f 3 7 5令 143r1，得r5，所以展开式中含1x项的系数为(1)5275c5784，选 a.5.已知函数f(x)是定义在 r r 上的奇函数，且f(x)在 r r 上单调递增，若a，b，c成等差数列，且b0，则下列结论正确的是(a)af(b)0，且f(a)f(c)0bf(b)0，且f(a)f(c)0cf(b)0，且f(a)f(c)0df(b)0，且f(a)f(c)0【解析】由已知，f(b)f(0)0.因为ac2b0，则ac，从而f(a)f(c)f(c)，即f(a)f(c)0，选 a.6设x为区间2，2内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y值落在区间12，3内的概率为(c

8、)a.34b.58c.12d.38【解析】因为当x2，0时，y2x14，1；当x(0，2时，y2x1(1，5所以当y12，3时，x1，1，其区间长度为 2，所求的概率p2412，选 c.7已知函数f(x)sin 2x2sin2x1，给出下列四个结论：(b)函数f(x)的最小正周期是 2； 函数f(x)在区间8，58上是减函数； 函数f(x)的图象关于直线x8对称；函数f(x)的图象可由函数y 2sin 2x的图象向左平移4个单位得到其中正确结论的个数是a1b2c3d4【解析】f(x)sin 2xcos 2x 2sin2x4 .因为2，则f(x)的最小正周期t，结论错误当x8，58时，2x42，

9、32，则f(x)在区间8，58上是减函数，结论正确6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f

10、 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5因为f8 2为f(x)的最大值，则f(x)的图象关于直线x8对称，结论正确设g(x) 2sin 2x，则gx4 2sin 2x4 2sin2x2 2cos 2xf(x)，结论错误，选 b.8.已知命题p：若a2 且b2，则abab；命题q：x0，使(x1)2x1，则下列命题中为真命题的是(a)apqb(綈p)qcp(綈q)d(綈p)(綈q)【解析】若a2 且b2，则1a12且1b1

11、2，得1a1b1，即abab0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，o为坐标原点，若双曲线上存在点m满足|mf1|2|mo|2|mf2|，则双曲线的离心率为(c)a6b3c. 6d. 3【解析】过点m作x轴的垂线，垂足为a，因为|mo|mf2|，则a为of2的中点，所以|af2|c2，|af1|3c2.设|mf2|m，则|mf1|2m.在 rtmaf1中，|ma|24m294c2.在 rtmaf2中，|ma|2m2c24，则 4m294c2m2c24，即 3m22c2.因为|mf1|mf2|2a，则m2a，所以 3(2a)22c2，即c26a2，所以eca 6，选c.12对于给定的正整数n，设

12、集合xn1，2，3，n，axn，且a记i(a)为集合a中的最大元素，当a取遍xn的所有非空子集时，对应的所有i(a)的和记为s(n)，则s(2 018)(d)a2 01822 0181b2 01822 0171c2 01722 0171d2 01722 0181【解析】对于集合xn，满足i(a)1 的集合a只有 1 个，即1；满足i(a)2 的集合a有 2 个，即2，1，2；满足i(a)3 的集合a有 4 个，即3，1，3，2，3，1，2，3；满足i(a)n的集合a有 2n1个，所以s(n)122322n2n1.由错位相减法，得s(n)(n1)2n1，所以s(2 018)2 01722 018

13、1，选 d.二、填空题，本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知 cos3 13，则 sin26 _79_【解析】sin26 sin23 2 cos 23 2cos23 179.14如图，在abc中，ad13dc，p是线段bd上一点，若apmab16ac，则实数m的值为_13_【解析】因为ad13dc，则ac4ad，所以apmab23ad.因为b，p，d三点共线，则m231，所以m13.15已知函数f(x)|2x1|a，若存在实数x1，x2(x1x2)，使得f(x1)f(x2)1，则a的取值范围是_(1，2)_【解析】令f(x)1，则|2x1|a1.据题意，直线ya1 与函数y

14、|2x1|的图象两个不同的交点，由图可知，0a11，即 1a2.16设数列an的前n项和为sn，已知a11，且sn412n an(nn n*)，则数列an6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d

15、 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5的通项公式是an_n2n1_【解析】当n2 时，ansnsn112n1an112n an，则22n an12n1an1，即annan12（n1），所以数列ann是首项为 1，公比为12的等比数列，则ann12n1，即ann2n1.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过

16、程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：60 分17(本小题满分 12 分)如图，在平面四边形abcd中，ab4，ad2，bad60，bcd120.(1)若bc2 2，求cbd的大小；(2)设bcd的面积为s，求s的取值范围【解析】(1)在abd中，因为ab4，ad2，bad60，则bd2ab2ad22abadcosbad1642421212，所以bd2 3.(3 分)在bcd中，因为bcd120，bc2 2，bd2 3，由bcsincdbbdsinbcd，得sincdbbcsinbcdbd2 2sin 1202 3

17、22，则cdb45.(5 分)所以cbd60cdb15.(6 分)(2)设cbd，则cdb60.在bcd中，因为bcsin（60）bdsin 1204，则bc4sin(60)(8 分)所 以s12bdbcsin cbd 43 sin(60 )sin4 332cos12sinsin3sin 22 3sin23sin 2 3(1cos 2)3sin 2 3cos 2 32 3sin(230) 3.(11 分)因为 060，则 30230150，12sin(230)1，所以0s 3.故s的取值范围是(0， 3(12 分)18(本小题满分 12 分)如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，ab2，a

18、c4，bac120，d为bc的中点(1)求证：adpb；6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9

19、1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5(2)若二面角apbc的大小为 45，求三棱锥pabc的体积【解析】(1)在abc中，由余弦定理得bc2416224cos 12028，则bc2 7.因为d为bc的中点，则bdcd 7.(2 分)因为ad12(abac)，则ad214(abac)214(ab2ac22abac)14(416224cos 120)3，所以ad 3.(4 分)因为ab2ad2437bd2，则aba

20、d.(5 分)因为pa底面abc，则paad，所以ad平面pab，从而adpb.(6 分)(2)解法一：因为ad平面pab，过点a作aepb，垂足为e，连结de.则depb，所以aed为二面角apbc的平面角(8 分)在 rtdae中，由已知，aed45，则aead 3.(9 分)在 rtpab中，设paa，则pbab2pa2 4a2.(10 分)因为abappbae，则 2a 4a2 3，即4a23(4a2)，解得a212，所以paa2 3.(11 分)所以vpabc13sabcpa131224sin 1202 34.(12 分)解法二：分别以直线ab，ad，ap为x轴，y轴，z轴建立空间直

21、角坐标系，如图设paa，则点b(2，0，0)，d(0， 3，0)，p(0，0，a)所以bd(2， 3，0)，bp(2，0，a)(8 分)设平面pbc的法向量为m m(x，y，z)，则m mbd0，m mbp0，即2x 3y0，2xaz0.取x 3，则y2，z2 3a，所以m m3，2，2 3a.(9 分)因为n n(0，1，0)为平面pab的法向量，则|cosm m，n n|cos 4522，即|m mn n|m m|n n|22.所以2712a222，解得a212，所以paa2 3.(11 分)所以vpabc13sabcpa131224sin 1202 34.(12 分)19(本小题满分 1

22、2 分)有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪 80 元，送餐员每单抽成 4 元；乙公司无底薪，40 单以内(含 40 单)的部分送餐员每单抽成 6 元，超过 40 单的部分6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3

23、 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5送餐员每单抽成 7 元 现从这两家公司各随机选取一名送餐员， 分别记录其 50 天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数3839404142甲公司天数101015105乙公司天数101510105(1)从记录甲公司的 50 天送餐单数中随

24、机抽取 3 天，求这 3 天的送餐单数都不小于 40单的概率；(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同， 将频率视为概率， 回答下列两个问题：()求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；()小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由【解析】(1)由表知，50 天送餐单数中有 30 天的送餐单数不小于 40 单，记抽取的 3 天送餐单数都不小于 40 为事件a，则p(a)c330c35029140.(3 分)(2)()设乙公司送餐员的送餐单数为n，日工资为x元，则当n38 时，x386228；当n39 时，x396234；当

25、n40 时，x406240；当n41 时，x4067247；当n42 时，x40614254.所以x的分布列为x228234240247254p153101515110(7 分)e(x)228152343102401524715254110238.6.(9 分)()依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为380.2390.2400.3410.2420.139.8，(10 分)所以甲公司送餐员的日平均工资为 80439.8239.2 元，(11 分)因为 238.6b0)的一个焦点与抛物线y24 3x的焦点重合， 且直线ybax与圆x2y210 x200 相切(1)求椭圆c的方程；(2)设斜率为k

26、且不过原点的直线l与椭圆c相交于a、b两点，o为坐标原点，直线oa，ob的斜率分别为k1，k2，若k1，k，k2成等比数列，推断|oa|2|ob|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由【解析】(1)因为抛物线y24 3x的焦点为( 3，0)，则c 3，所以a2b23.(2 分)因为直线bxay0 与圆(x5)2y25 相切，则5bb2a2 5，即a24b2.(4 分)解得a24，b21，所以椭圆c的方程是x24y21.(5 分)(2)设直线l的方程为ykxm(m0)，点a(x1，y1)，b(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆方程，得x24(kxm)24，即(4k21)x28kmx4

27、m240，则x1x28km4k21，x1x24m244k21.(7 分)由已知，k2k1k2y1y2x1x2（kx1m） （kx2m）x1x2，则k2x1x2(kx1m)(kx2m)，6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9

28、1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5即km(x1x2)m20，所以8k2m24k21m20，即(14k2)m20.因为m0，则k214，即k12，从而x1x22m，x1x22m22.(10 分)所以|oa|2|ob|2x21y21x22y22x21(kx1m)2x22(kx2m)2(k

29、21)(x21x22)2km(x1x2)2m2(k21)(x1x2)22x1x22km(x1x2)2m2.544m22(2m22)2m22m25 为定值(12 分)21(本小题满分 12 分)已知函数f(x)exa(x1)，ar r，e 为自然对数的底数(1)若存在x0(1，)，使f(x0)0，求实数a的取值范围；(2)若f(x)有两个不同零点x1，x2，证明：x1x2x1x2.【解析】(1)解法一：f(x)exa.(1 分)若a0，因为 ex0，则f(x)0，此时f(x)在 r r 上单调递增当x(1，)时，f(x)f(1)e0，不合题意(2 分)若a0，由f(x)0，得 exa，即xlna

30、，则f(x)在(lna，)上单调递增，在(，lna)上单调递减，所以f(x)minf(lna)elnaa(lna1)a(2lna)(4 分)据题意，lna1，a（2lna）e2，所以a的取值范围是(e2，)(5分)解法二：当x(1，)时，由f(x)0，得 exexx1.(1 分)设g(x)exx1(x1)，据题意，当x(1，)时，ag(x)能成立，则ag(x)min.(2 分)因为g(x)ex（x1）ex（x1）2（x2）ex（x1）2(x1)，(3 分)则当x2 时，g(x)0，g(x)单调递增；当 1x2 时，g(x)0，g(x)单调递减(4分)所以g(x)ming(2)e2，故a的取值范

31、围是(e2，)(5 分)(2)由题设，f(x1)f(x2)0，即ex1a（x11） ，ex2a（x21） ，则 ex1ex2a2(x11)(x21)，即 ex1x2a2(x1x2x1x21)(7 分)要证x1x2x1x2，只要证 ex1x2a2，即证x1x22lna，即证x1e2，且x1lnax2，从而 2lnax2lna.因为f(x)在(， lna)上单调递减， 所以只要证f(x1)f(2lnax2)， 即证f(x2)f(2lnax2)(9 分)设h(x)f(x)f(2lnax)，则h(x)f(x)f(2lnax)ex2ae2lnaxexa2ex2a2exa2ex2a0，所以h(x)在 r r 上单调递增因为x2lna，则h(x2)h(lna)f(lna)f(lna)0，即f(x2)f(2lnax2)0，即f(x2)f(2lnax2)，所以原不等式成立(12 分)(二)选考题：共 10 分请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点o为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d