1998考研数学三真题和详解

1、1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题(此题共5小题，每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上.)(1)设曲线f(x) xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(n,0),那么lim f ( n)In x】dx 差分方程2yt 1 10yt 5t 0的通解为100设矩阵代B满足A*BA 2BA 8E ,其中A 020 , E为单位矩阵，A*为A001的伴随矩阵，那么B.2 2 设X1.X2.X3.X4是来自正态总体 N 0,2 的简单随机样本，X a X1 2X2b 3X3 4X4 2.那么当a,b 时，统计量X服从 2分布,其自由度为、选择题(此题共5小题，每题3分，共1

2、5分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设周期函数f x在内可导，周期为4.又limx 02x1,那么曲线x在点5,f 5处的切线的斜率为(B)(C)(D)设函数flimn(A)不存在间断点(C)存在间断点X讨论函数f的间断点，其结论为齐次线性方程组X1X2(B)(D)2X3I存在间断点X存在间断点xX30,0,0的系数矩阵记为 A.假设存在三阶矩阵B 0使得AB0,那么()(A)2且| B| 0(B)2且| B| 0(C)1 且| B| 0(D)1 且| B| 0X2X3设n n 3阶矩阵b b1 ,2-31-22-53-2a a !7 !

3、7A c1 aa Laa 1a LaA a a1 La ,M MMMa aa L1右矩阵A的秩为n 1,那么a必为()(A) 1(B)1(C)1(D)11 nn 15设Fjx与F2x分别为随机变量X1与X2的分布函数.为使 F xaF1 (x) bF2(x)是某一变量的分布函数,在以下给定的各组数值中应取()二、此题总分值设 z (x22、y )ey arctanZx2z,求dz与x y四、此题总分值x, y x,求 ，xdxdy.D五、此题总分值6分设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在假定t0就售出，总收入为Ro元.如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售,t年末总收入为 R Re5 .假定银行的年利

4、率为r ,并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求r 0.06时的t值.六、此题总分值6分设函数 f x在a, b上连续，在a,b内可导，且f x 0.试证存在，a, b,使得b af ee _e .f b a七、此题总分值6分1 1设有两条抛物线 y nx2和y n 1x2,记它们交点的横坐标的绝对值为nn 1anS求级数 -的和n 1 an八、(此题总分值7分)设函数f(x)在1,)上连续假设由曲线y f(x),直线x 1,x t(t 1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为v(t)3 t2 f (t) f(1) 2试求y f (x)所满足的微分方

5、程，并求该微分方程满足条件y x 22的解9九、(此题总分值9分)设向量 佝®丄,a-)T,(6,5丄,b-)T都是非零向量，且满足条件T 0.记n矩阵A T.求：(1)A2 ；(2)矩阵A的特征值和特征向量十、(此题总分值7分)1 0 1设矩阵A0 2 0 ,矩阵B (kE A)2,其中k为实数，E为单位矩阵求对角矩阵1 0 1,使B与 相似，并求k为何值时，B为正定矩阵 十一、(此题总分值10分)一商店经销某种商品，每周进货的数量 X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间10,20上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润1000元；假设需求量超过了进货量，商

6、店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为 500元试计算 此商店经销该种商品每周所得利润的期望值十二、(此题总分值9分)设有来自三个地区的各 10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份(1) 求先抽到的一份是女生表的概率p ；(2) 后抽到的一份是男生表 ，求先抽到的一份是女生表的概率q.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析、填空题【答案】(此题共15小题，每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上.)【解析】曲线ynn 1x 1xx 1nxxn在点(1,1)处的切线斜率 yx 1式,切线方程

7、为:n(x1).【答案】【解析】0,代入yim f( n)Cx由分部积分公式In x 1 , dxn(xIimn分部In1),那么 xlim(1nIn x 1In x 1【相关知识点】分部积分公式：假定u11,即在x轴上的截距为nnlim(1 丄)xdxIn x-d(In x xdxu(x)与 v1)In x 1In x 1：dxxC.xv(x)均具有连续的导函数，那么uv dx uv u vdx,或者 udv uvvdu.【答案】y C( 5)t fl(t5【解析】首先把差分方程改写成标准形式yt 1 5ytt,其齐次方程对应的特征方程及特征根分别为r 50,r5,故齐次方程的通解为 Y c

8、( 5)t,c为常数.将方程右边的5t改写成-t 1t,此处“1不是特征根，故令非齐次方程的一个特解为2 2ytAt B,从而yt 1 A(t1) b,代入原方程，得5A(t 1) B 5(At B) -t,5 6A -, A 6B 0,2故A ,B.1272于是通解为yt Y ytC( 5)t (t -).12 62 0 0【答案】o 4 o0 0 2【解析】由题设A*BA 2 BA 8E ,由于A 20,所以A可逆.上式两边左乘 A,右乘A 1,得* 1 1 1AA BAA 1 2ABAA 1 8AA 1A B 2AB 8E利用公式：AA |AE,AA1 EA B 2AB 8E移项AE 2

9、A B8E矩阵乘法的运算法那么1将A2代入上式，整理得：E A B E.由矩阵可逆的定义，知E A ,B均可逆,且2001200200B14 E A 14 0104 010040 .0020010022【答案】1，丄,220100【解析】由于X1,X2,X3, X4相互独立,均服从N 0, 22,所以由数学期望和方差的性质得2 2 2E(X1 2X2)0,D(X1 2X2) 1 22220,所以(X1 2X2)： N(0,20),同理(3X3 4X4)： N (0,100).又因为X1 2X2与3X3 4X4相互独立，且1 伙 2X2)： N(0,1) ;1(3X3 4X4)： N(0,1),

10、、20 1002由 分布的定义，当a20,b110020(X12X2)21100(3X34X4)2:2 (2).112即当a ,b时，X服从 分布，其自由度为2.201001 1严格地说，当a 0,b时，X: 2(1)；当a ,b 0时，X: 2(1)也是正确的.10020【相关知识点】1、对于随机变量 X与Y均服从正态分布，那么X与Y的线性组合亦服从正态分布假设X与Y相互独立，由数学期望和方差的性质，有E(aX bY c) aE(X) bE(Y) c，2 2D(aX bY c) a D(X) b D(Y)，其中a，b，c为常数2、定理：假设 X : N( ，2)，那么 X：N(0,1).3、

11、2分布的定义：假设 乙丄，Zn相互独立，且都服从标准正态分布 N(0,1)，那么乙22(n).二、选择题(此题共5小题，每题3分，共15分.每题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】根据导数定义:lirfx 0X) f(x)Xlim f(1) f(1 X) llim f(1 X) f(1)!f(1)x 0 2x2x 0x2所以f (1) lim f(1 X) f(1)2.X 0x因为f(x)周期为4, f (X)的周期亦是4,即 f(X)f (X 4)，所以 f (5) f (1 4) f (1)2.所以曲线y f (x)在点

12、5, f (5)处的切线的斜率为 f (5) f (1)2.选(D).【答案】(B)后再讨论f (x)的性质不能隔着极限号去讨论【解析】现求f (x)的(分段)表达式:f(x)limn1x2nlimn2n 1 x x2nx2n2nlim xn1 2nxlimx2nf(x)limn2n1 xlimn2n1 1f(x)limn1x2nlimn2nf(x)limnlim 1n由此,f(x)0,0,11,0,x,x2n当x 当x 当 x 当x 当xlim 1n1,1,1,1,1.再讨论函数f (x)的性质：在xlim f xx 1lim 1 xx 12nx2nx0,1处,1或 x 1,f(x)0,1,

13、lim fx 1x,1,1.1 0,所以，lim f x lim f1x 0,函数f(x)在1处连续，不是间断点在x 1处,lim f xx 1lim 00 ； lim fx 1x 1lim 1 x 2 ；x 1所以lim f xx 1lim f xx 1,函数f (x)在x 1处不连续,是第一类间断点应选(B).(3)【答案】(C)【解析】方法1:由AB0 知 r(A) r(B) 3,又 A 0,B0,于是 1 r(A) 3,1 r(B) 3,故 A 0, B0,即1211111A100(1)20,得 1.应选(C).方法2:由AB 0知r(A)r(B)3,又A0, B0,于是 1 r(A)

14、3, 1r(B) 3,故B 0.显然,1 时 A 111 ,有 1 r(A) 3,故应选(C).作为选择题，只需在2与1中选择一个，因而可以用特殊值代入法评注：对于条件AB 0应当有两个思路：一是B的列向量是齐次方程组 Ax 0的解；二是【答案】(B)【解析】1aaLa1aaLaa1aLaa1 1a0L0Aaa1LaUPa101aL0MMMMMMMMaaaL1a100L1a1(n1)aaaLa01a0L0001 aL0MMMM000L1 a秩的信息，即r(A) r(B)n,要有这两种思考问题的意识其中(1)变换：将1行乘以(-1)再分别加到其余各行;变换：将其余各列分别加到第1列.1由阶梯形矩

15、阵知，当1 (n 1)a0,即a时，有r(A) n 1,故应选(B).1 n【答案】(A)【解析】根据分布函数的性质lim F(x) 1,即x1 lim F(x) F( ) aF1() bF2() a b.x在所给的四个选项中只有(A)满足a b 1,故应选(A).【相关知识点】分布函数F x的性质：(1) F x单调不减; lim F(x) F(x)0, lim F(x) F(x)1; F x是右连续的【解析】2 2y ) (x三、(此题总分值5分)ey arcta n _x2 xdx2ydy(x2y2)d(y arcta n)xey arcta n Lx2 xdx2ydy(x2y2)1dC

16、)xy )1(与xey arcta n _x2 xdx2ydyx2xdy ydx2xearcta n x(2xy)dx(2yx)dyd(x2y arcta n 二 dz e xy arcta n-i y2)d(e x)yarcta n由全微分与偏微分的关系可知，其中dx的系数就是一，即一 (2x y)e x .再对y求偏x x导数，得arcta ntx(2x y)earcta n x1 12-1 x2xx2xy2yx2arctan 丄e x四、(此题总分值5分)【解析】D (x, y)x表示圆心为1,0,半径为21的圆及其内部，画出区域D ,如右图2方法1:D (x,y) |0 x 1,. x

17、xdx,所以,.xdxdyD1_x x20xdxxx2dy2 x x x2dx01x10上式,t3 t5435t2, dx 2tdt , t:10 所以021 221(1 t2)t ( 2t)dt 4 0t2(1 t2)dt方法2:引入极坐标系x r cos , y rsin ,于是D (r, )|,0 r cos2 2xdxdy 2 dD2cos.r cos rdr. cos2 cos d_ 023r2dr3 cos815其中倒数第二步用了华里士公式:2 cosn01,其中n为大于1的正奇数.五、(此题总分值6分)【分析】根据连续复利公式,在年利率为的情况下，现时的A(元)在t时的总收入为A

18、(t) R(t)e rt,将R&e訂代入即得到总收R(t) Aert ,反之,t时总收入为R(t)的现值为入的现值与窖藏时间t之间的关系式，从而可用微分法求其最大值【解析】由连续复利公式知，这批酒在窖藏t年末售出总收入 R的现值为A(t) Re rt ,而由题A(t)Re " R0t rt e5,令dAd 55 frt51Roe5rt1Rd e=r0 ,dtdt5,t得惟驻点t t0125r2d2Ad dAd2 trt 1dt2dt dtdtRoe55.t r2d- ftrt12f rt d1-Roe5dt5、trRoe5dt5、t r2 f rtRoe512r2 t rtR

19、oe515.t10.t32 t rtRoe51215t10 t3d2A12R°e25r (12.5r3) 0.dt tto设,t年末的总收入RR°e5,据此可列出A(t):根据极值的第二充分条件，知：t t。是A(t)的极大值点，又因驻点惟一，所以也是最大值1点故窖藏t 2年出售，总收入的现值最大25r2当 r 0.06 时,t 12100 11(年).25 0.069【相关知识点】极值的第二充分条件：设函数f(x)在X)处具有二阶导数且 f (x0) 0 ,f (X0) 0,当f (X0) 0时，函数f (X)在X0处取得极大值；当f(X0) 0时，函数f(x)在X0处取

20、得极小值六、(此题总分值6分)【分析】此题要证的结论中出现两个中值点和，这种问题一般应将含有和 的项分别移到等式两边后再用微分中值定理，为此此题只要证f ( )(b a) (eb ea) f ( )e .【解析】方法1：函数f (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，满足拉格朗日中值定理的条件对函数f (x)在a，b上用拉格朗日中值定理，有f (b) f (a) f ( )(b a)，a b.又函数f (x)与ex满足柯西中值定理的条件，将函数f (x)与ex在a，b上用柯西中值定理有f(b) f(a)bae ef()，aeb，即 f (b) f(a)b(eea)f().e从而有f ( )(

21、b a)/ ba、(ee)-fe()，即 f(b)ea ee ，(a，b).)ba方法2：题中没有限制，因此取，即成为要去证存在b(a，b)使aee在a，b上对函数ex用拉格朗日中值定理，存在 (a，b)使1.b a再取，原题得证.e e e b a【相关知识点】1.拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足在闭区间a,b上连续，在开区间 a,b内可导，那么在 a,b内至少有一点 (ab),使等式 f(b) f(a) f ( )(b a)成立.2.柯西中值定理：如果函数f(X)及F(X)满足(1) 在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a,b)内可导；对任一 x (a,b), F (x)0,那么

22、在(a, b)内至少有一点,使等式 f(b) f(a)faF(b)F(a) F (成立)七、(此题总分值6分)2【解析】(1)由y nx(n 1)x21)因图形关于y轴对称，所以,所求图形的面积为Sn2nx1 (n 1)x2n1n(n 1)dx2%n(n 1)32%3n(n 1.n(n 1)'(2)由(1)的结果知Snan4_:3 n(n1I 1)，根据级数和的定义，Snn 1 anlimnn Skk 1 ak4lim3 n4lim3n八、(此题总分值7分)【分析】此题是微分方程的几何应用问题.在题目中给出了由曲线f (X)等围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积V(t)与包含

23、函数f的一个恒等式，这正是列方程的依据t 2【解析】由绕x轴旋转的旋转体体积公式得 V (t)1 f 2(x)dx,于是,依题意得：f2(x)dx 3 t2f(t)f，即 3：f2(x)dx t2f(t) f(1).两边对t求导,化成微分方程2 23f (t) 2tf (t) t f (t),其中f (t)为未知函数.按通常以x表示自变量，y表示未知函数f (t),于是上述方程可写为x2y 3y2 2xy,即dy 3(y)22($).dx x x这是一阶齐次微分方程.令y ux,有律pl.一,那么上式化为dxu x(du) 3u2 2u, dxdux -dx3u(u 1).(*)0,那么yux

24、0,不满足初始条件1,那么yuxx,也不满足初始条件 y-,舍弃；9-,舍弃;9所以，u1.由(*)理 型，两边积分得 ju(u 1) xuCx3.从而方程(*)的通解为yxCx y,C为任意常数.再代入初值，由yx 22,得C1,从而所求的解为9yxx3y,或 yx/八彳3，(x1).1 x式别离变量得【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式： 假设F(t)(t)(t) f(x)dx,(t),(t)均一阶可导，那么 F (t)(t) f (t)(t) f (t).九、(此题总分值9分)【解析】(1)对等式 T0两边取转置，有0,即 T 0.利用T0及矩阵乘法的运算法那么，有A2即A2是n

25、阶零矩阵.ATa1a1b1a2b1 L anb1a1b2a2b2Lanb2LLLa1bna2bn .L.anbna2M anb1,b2,L ,bn不妨设 a10,b10,那么有a1b1a1b2La1bnb1b2Lbna2b1a2b2La2bna2b1a2b2La2bn(0EA)LLL1行uuiuuUluLLLanb1anb2Lanbnanb1anb2LanbnF面求A的特征向量：先将A写成矩阵形式对上式两边左乘A得A2(A )()2 ,由(1) 的结果 A20 , 得2A20, 因0, 故0( n重根),即矩阵的全部特征值为零.U行uuUU加加到U行iiuuuu2u,Luuu,unuur)b1

26、0Lb20Lbn0L于是得方程组 (0E A)x 0同解方程组 b1x1b2x2Lbnxn0 ,这样根底解系所含向量个数为 n r(0E A) n 1.(b1,0,L选 x2,L ,xn 为自由未知量 , 将它们的组值,0),(0, b.丄，0)丄(0,0, L ,bj 代入,0),L , n 1( bn,0,0, L ,b1)可解得根底解系为1( b2,b1,0,L ,0), 2( b3,0,b1,L那么A的属于 0的全部特征向量为 k,.k2 2 Lkn 1 n 1, 其中 k1,k2,L ,kn 1 为不全为零的任意常数 .十、(此题总分值7分)【分析】由于 B是实对称矩阵，B必可相似对

27、角化，而对角矩阵即B的特征值，只要求出B 的特征值即知 , 又因正定的充分必要条件是特征值全大于零 , k 的取值亦可求出 .【解析】 方法 1： 由2)(2)2,可得A的特征值是122, 30.那么，kE A的特征值是k 2,k2,k ,而 B2 2 2 2(kE A)的特征值是(k 2) ,(k2) ,k .又由题设知A是实对称矩阵，那么A A,故T2(kE A)(kE A)T 2 (kE A)2 B,即B也是实对称矩阵，故B必可相似对角化，且2(k 2)00B :0 (k 2)2000k2当k2且k 0时，B的全部特征值大于零，这时B为正定矩阵方法2：由2)(2)2,可得A的特征值是122，30.那么因为A是实对称矩阵，故存在可逆矩阵 P使P 1APB (kE A)2 (kPP 1 P P 1)2P(kE)P 11P(kE )P P(kE2)P P(kE ) P2(k 2)00即 P