14圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)及其练习

1、圆周角和圆心角的关系一知识讲解根底【学习目标】1. 理解圆周角的槪念，了解圆周角与圆心角之间的关系：2. 理解圆周角定理及推论；学生合3. 熟练掌握圆周角的立理及貝推理的灵活运用：通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，开展 情推理能力和演绎推理能力.【要点梳理】 要点一、圆周角1. 圆周角定义：像图中ZAEB、ZADB、ZACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3. 圆周角定理的推论：推论1 :同弧或等弧所对的圆周角相等：推论2 :直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.要点诠

2、释：1圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上：角的两边都和圆相交2 圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.3圆心与圆周角存在三种位巻关系：圆心在圆周角的一边上：圆心在圆周角的内部；圆心在圆周 的外部.如以下图要点二、圆内接四边形1.圆内接四边形定义：四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆2?圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补？如图，四边形 ABCD是00的内接四边形？那么ZA+ZC=180 , ZB+ZD二180°?D要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补【典型例题】 类型一、圆周角.圆心角.弧、弦

3、之间的关系及应用 矽1.如图，在00中，AB = AC,Z5 = 70 ? 求ZA的度数.【答案与解析】v S = 2c,AB = Aa :.= 70 °:.AA 二 180。- 0 +ZC = 40 °【总结升华】 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等.举一反三：【变式】如以下图，正方形 ABCD内接于00,点E在劣弧AD上，那么ZBEC等于A. 45B? 60C. 30D. 55I AB=BC=CD=DA,? AB = BC = CD = DA = 90(a)(b)fc)(d):.ZBEC=45 ?类型二、圆周角定理

4、及应用【思路点拨】根据圆周角的左义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角【答案与解析】Z1顶点在O0内，两边与圆相交，所以 Z1不是圆周角；(b) Z2顶点在圆外，两边与圆相交，所以 Z2不是圆周角；(c) 图中Z3、Z4、ZBAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以Z3、Z4、ZBAD是圆周角.(d) Z5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以Z5不是圆周角；(e) Z6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的泄义知Z6不是圆周角.【总结升华】 紧扣左义，抓住二要素，正确识别圆周角.3. (?台州)如图，四边形ABCD内接于00点E在对角线AC上，EC=BC=DC.(

5、1) 假设 Z CBD=39；求 Z BAD 的度数：(2) 求证：z仁Z2.【答案与解析】(1)解：？ ？ BC=DC,/. Z CBD=Z CDB=39%?/ Z BAC=Z CDB=39 Z CAD=Z CBD=39%?Z BAD=Z BAC+Z CAD=39+39°=78 ；(2)证明：？ EC=BC,/. Z CEB二Z CBE,而 Z CEB=Z 2+Z BAE, Z CBE=Z 1+Z CBD,/. z 2+z BAE=z 1+Z CBD,T Z BAE=Z CBD,/. z l=z 2.【总纟止升华】此题主要考查了圆周角圮理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问

6、题的关键如图，AB是00的直色BD是00的弦，延长 BD到C使AC二AB, BD与CD的大小有什么关系?为什么？【思路点拨】BD二CD，因为AB二AC所以这个AABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD,证 明AD是高或是ZBAC的平分线即可.【答案与解析】BD 二 CD?理由是：如图，连接ADTAB是00的直径?ZADB二 90。即 AD 丄 BC又 VAC=AB, ?BDC CD?【总纟占升华】解题的关键是正确作岀辅助线 举一反三:【变式】(？安顺)如图，00的直径AB垂直于弦CD垂足为E, Z A=22.5,°C=4, CD的长为(sEDD? 8C. 4V2提示：V

7、 ZA=22. 5 °A ZB0C=2ZA=45 °? ? 00的直径AB垂直于弦 CD, .? .CE二DE, AOCE为等腰直角三角形 ?(E£2)C 二 2 伍，2Z.CD=2CE=4V2?应选：c.类型三.圆内接四边形及应用仇圆内接四边形 ABCD的内心ZB： ZC=>: 3： 4,求如度数.【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值.再根据四边形的内角和为 360。，从而求 得ZD 的度数.【答案与解析】解：？ ？圆内接四边形的对角互补，? ZA ZB： ZC:ZD=2:3:4：3设 ZA=2x,贝U ZB=3x, ZC=4x, ZD二

8、3x,2x+3x+4x+3x=360 ,?x=30 ?ZD二 90 ° ?【总納升华】 此题考査圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用.举一反三:【变式】如图，00中，四边形ABCD是圆内接四边形，ZB0D二110°那么ZBCD的度数是A. 110 B. 70 C.55°D. 125 °C【 D.第 64 ° 第 3B? 48如图，弦题图Cd相交于e点，%. 37 °B. 74第4 题图那么90 °BCBaoECD38AEB70°A. Z1>Z2>Z3 B. Z3>Z1>

9、;Z2 C. Z2>Z1>Z3 D. Z3>Z2>Z1D. 64C. 110D. 120D. 76 °那么ZA0D等于C. 32第2題图【稳固练习】一、选择题1.如图，ZABC 内接于 00, ZA=50°ZABC二60 °, BD是? 0的直径，BD交AC于点E连结DC7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么第1题图2?如以下图，Zl, Z2, Z3的大小关系是圆周角和圆心角的关系一稳固练习根底3.如图，AC是00的直径，弦 AB CD假设 ZBAC=32°,贝卩ZA0D 等于A. 69

10、°B. 42 °C. 48 °6. ?洒泉AABC为00的内接三角形，假设 ZAOC二160 “A. 80 °B. 160 °C.100 °二、填空题AL-AA 10 H卩D6,那么 ZD 二 8. ?镇江一模在圆内接四边形 ABCD中，ZA, ZB, ZC的度数之比为3: 5:9. 如图，AB是00的直径，弦CD丄AB于H, BD/70C,那么ZB的度数是 第 9题彦第 10题图10?如图，AABC内接于 OO, AB=BC, ZBAC=30 , AD 为 00 的直径，AD=2贝U BD=11.如图，00的直径MN=10,正方形A

11、BCD四个顶点分别在半径 0队0P和00上,如图，A、B、C、D、且AC为直12.且 ZP0M=45 ,(那么 AB=?第12题图解答题13.如以下图，AB, AC是。0的弦，AD丄BC于D,交00于F, AE为00的直径，试问两弦 BE与CF的大小有何关系，说明理由第11题图14. ?睞州市一模如图？ AB是半圆0的直径，C、D是半圆0上的两点，且 OD BC, 0D与AC交于点E?(1) 假设ZD=70 °求ZCAD的度数;AB的长.CFLCD15.如图，0。中，直径月启15cm,有一条长为9cm的动弦Q在湘上滑动点C与儿点。与万不重合, 交曲于尸，DEL CD交 AB于E?1求

12、证：AEABFx假设不2在动弦Q滑动的过程中，四边形前的而积是否为立值？假设是定值，请给出证明并求这个定值是，请说明理由.1【答案与解析】、选择题1. 【答案】C;【解析】因为 ZA=50 , ZABC二 60° , BD是 00 的直径，所以 ZD=ZA=50 , ZDBC二 40° , ZABD二 60° -40 二 20° , ZACD 二 ZABD 二 20 ° ZAED=ZACD+ZD=20 +50 二 70 ° ZAEB=180 -70 二 110 °2. 【答案】D;【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.3. 【

13、答案】A：【解析】？ ？ ?弦 AB CD, ZBAC二 32° , A ZC二ZA=32 , ZA0D 二 2ZC 二 64 ° .4. 【答案】B;【解析】ZACD二 64° -27。二 37° , ZA0D=2ZACD=74 .5. 【答案】A；【解析】ZBAD二丄ZBOD二69。，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得ZDCE二ZBAX69。26. 【答案】D；【解析】如图，V ZA0C=160 ,A ZABC=izA0CAixi60 二 80 °2 2VZABC+ZAB 8180。,/.ZAB，0180 -ZABC二 180 °

14、;80 =100 °/. ZABC 的度数是：80 °或 100 ° . 应选D.二、填空题7. 【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；8. 【答案】80 °【解析】设每一份是 X那么ZA=3x, Z凸5x, ZC=6x?根据圆内接四边形的对角互补，得ZA+ZC=180 , ZB+ZD二180° ,贝U 3x+6x二180° ,解得X二20° .所以 ZD=9x - 5x=4x=80 ° ?9. 【答案】60 °10. 【答案】/3 :ii?【答案】V5:12.【解析】如图，【答案】90 °

15、:第11题设 AB二x，在 RtzJAOD 中：X2 + (2x) 2 =52 ,x=V5,即AB的长=许【解析】如图，连结 AB、BCJ那么 ZCAD + ZEBD +?ZACE=ZCBD +ZEBD?ZABE二ZABC=90 .三、解答题13.【答案与解析】BE=CF.理由：TAE为00的直径，AD丄BC,?ZABE二 90 ° =ZADC, 又 ZAEB=ZACB,? ZBAE二 ZCAF,:.BE = CF .?BE二 CF?A14?【答案与解析】解:(1) V0A=0D, ZD 二 70° , AZ0AD=ZD=70° ,A ZA0D=180 °ZOAD - ZD=40 ,TAB是半圆0的直径，AZC=90o ,?OD BC,A ZAE0=ZC=90 °即0D丄AC,? AD=CDA VAC=8, 0E 丄 AC,?AE=iAC二 4,设 OA 二 x,那么 0E=OD - DE=x - 2,?在 RtAOAE 中，OE