复数的几何意义及四则运算

1、 （1）； （2） i 复数复数z=a+bi (ar， br )把实数把实数a，b叫做叫做 复数的复数的实部实部和和虚部虚部。1、定义定义:形如形如a+bi（ar，br）的数叫）的数叫复数复数,其中其中i叫叫虚数单位虚数单位。全体复数所组成的集合叫复数集，记作全体复数所组成的集合叫复数集，记作c。注意注意:复数通常用字母复数通常用字母z表示，即复数表示，即复数a+bi （ar，br)可记作可记作:z =a+bi （ar，br），），把这一表示形式叫做把这一表示形式叫做复数的代数形式复数的代数形式。 biaz ),(rbra其中其中 称为虚数单位。称为虚数单位。i观察复数的代数形式观察复数的代数

2、形式2 2、复数、复数a+bia+bi0)00)0)00)babbab实数(纯虚数(，虚数(非纯虚数(，3.复数集，虚数集，实数复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关集，纯虚数集之间的关系？系？思考？思考？复数集复数集虚数集虚数集实数集实数集纯虚数集cr 复数相等的定义复数相等的定义 根据两个根据两个复数相等复数相等的定义的定义，设设a, b, c, dr，两个复数两个复数a+bi和和 c+di 相等规定相等规定为为a+bi = c+di acbd 如果两个复数的实部和虚部分别相等如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就我们就说这两个说这两个复数相等复数相等. 两个复数不能比较大小两个复数不

3、能比较大小，只能由定义判断它们相只能由定义判断它们相 等或不相等等或不相等。在几何上，在几何上，我们用什么我们用什么来表示实数来表示实数?想一想？想一想？类比类比实数的实数的表示，可以表示，可以用什么来表用什么来表示复数？示复数？实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示。上的点来表示。实数实数 数轴数轴上的点上的点 (形形)(数数)一一对应一一对应 回忆回忆复数的一般形式？z=a+bi(a, br)实部!虚部!一个复数一个复数由什么唯由什么唯一确定？一确定？复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点z(a,b)xyobaz(a,b) 建立了平面直角建立了

4、平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴（数）（数）（形）（形）-复数平面复数平面 (简称简称复平面复平面)一一对应一一对应z=a+bi(a)在复平面内，对应于实数的点都在实在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；轴上；(b)在复平面内，对应于纯虚数的点都在在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；虚轴上；(c)在复平面内，实轴上的点所对应的复在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；数都是实数；(d)在复平面内，虚轴上的点所对应的复在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。数都是纯虚数。例例1.辨析：辨析：1下列命题中的假命题是（下列命题

5、中的假命题是（ ）d例例2 2 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数对应的点位于第二象限，求实数m m允许的取值范围。允许的取值范围。 表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的问题复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问题代数问题)一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想020622mmmm解：由1223mmm或得)2 , 1 ()2, 3(m复数复数z=a+bi直角坐标系中的

6、点直角坐标系中的点z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量oz 一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaz(a,b)z=a+bi小结xoz=a+biy复数的绝对值复数的绝对值 (复数的模复数的模) 的的几何意义几何意义:z (a,b)22ba 对应平面向量对应平面向量 的模的模| |，即，即复数复数 z=z=a+ +bi i在复平面上对应的点在复平面上对应的点z(a,b)到原点的到原点的距离。距离。oz oz | z | = | |oz 小结1.复数加减法的运算法则：复数加减法的运算法则：(1)(1)运算法则运算法则: :设复数设复数z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+d

7、i,=c+di, 那么：那么：z z1 1+z+z2 2=(a+c)+(b+d)i=(a+c)+(b+d)i; ; z z1 1-z-z2 2=(a-c)+(b-d)i=(a-c)+(b-d)i. .即即: :两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是实部与就是实部与实部实部, ,虚部与虚部分虚部与虚部分 别相加别相加( (减减).).( , , ,)a b c dr(2)(2)复数的加法满足复数的加法满足交换律交换律、结合律结合律, ,即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3c,c,有有z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1, ,(z(z1 1+z+z2 2

8、)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3).).2.复数的乘法与除法复数的乘法与除法(1)(1)复数乘法的法则复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似复数的乘法与多项式的乘法是类似的的, ,但必须在所得的结果中把但必须在所得的结果中把i i2 2换成换成-1,-1,并且把实部合并并且把实部合并. .即即: :(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)(2)复数乘法的运算定理复数乘法的运算定理 复数的乘法满足复数的乘法满足交换律交换律、结合律结合律以以及乘法对加法的及乘法对加法的分配律分配律. .即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3有有z z1 1z z2 2=z=z2 2z z1 1; ;(z(z1 1z z2 2)z)z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3););z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3. .(3)(3)复数的除法法则复数的除法法则 先把除式写成分式的形式先把除式写成分式的形