函数单调性与凸性的判别法(2)课件

1、第九节第九节 函数单调性与凸性的判别法函数单调性与凸性的判别法一、单调性的判别法一、单调性的判别法二、凸性及其判别法二、凸性及其判别法一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法 1、单调性的判别法、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA定理定理 ( (函数单调性的判定法函数单调性的判定法) ):, ),()(, ,)(则则有有并并且且设设函函数数baDxfbaCxf 上上单单调调增增加加；在在则则函函数数有有如如果果）（,)(,0)(, ),(1baxfxfbax .,)(,0)(, ),(2上上单单调调减减少少在在则则函函数数有有如如果果

2、）（baxfxfbax ., )(,定理结论仍成立定理结论仍成立包括无穷区间包括无穷区间间间换成其他各种类型的区换成其他各种类型的区把区间把区间如果如果ba备注备注证证,2121xxxxba 且且上上任任取取两两点点在在)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上上单单调调增增加加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上上单单调调减减少少在在baxfy 得得理理上应用拉格朗日中值定上应用拉格朗日中值定在在,21x

3、x例例1 1解解.1的的单单调调性性讨讨论论函函数数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y;0 ,(上单调减少上单调减少函数在函数在,), 0(内内在在 , 0 y.), 0上上单单调调增增加加函函数数在在 注意注意 函数的单调性是一个区间上的性质，要函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一用导数在这一区间上的符号区间上的符号来判定，而不能用来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性性).,( fDyxo1 xeyx2、单调区间求法、单调区间求法定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间

4、内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间，这时也称，这时也称函数是该区间的单调函数函数是该区间的单调函数. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的间的分界点分界点求函数的单调区间的求函数的单调区间的方法方法: :.)(,)()(0)(间的单调性间的单调性在各部分区在各部分区从而确定函数从而确定函数内导数的符号内导数的符号然后判断各区间然后判断各区间的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxfxf 例例2 2解解.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xxx

5、xf. ),( fD12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx,0)(得得令令 xf. 2, 121 xx时时，当当1 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在1 ,(时时，当当21 x, 0)( xf上上单单调调减减少少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在), 2 函数的函数的单调增加单调增加区间为：区间为：, 1 ,( ;), 212xoy12. 2 , 1函数的函数的单调减少单调减少区间为：区间为：例例2 2解解.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xxxxf. ),( fD12186)(2 xxxf)2)(1(6

6、xx,0)(得得令令 xf. 2, 121 xxx)(xf )(xf)1,(2001)2,1(),2( 21函数的函数的单调增加单调增加区间为：区间为：, 1 ,( ;), 2. 2 , 1函数的函数的单调减少单调减少区间为：区间为：12xoy12yxo说明说明: : 1) 单调区间的分界点除驻点外单调区间的分界点除驻点外, ,也可以是导数也可以是导数 不存在的点不存在的点. . 32xy 例例3 3.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf 2) 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, , 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性. .例例4 4.)(3的单调区

7、间的单调区间确定函数确定函数xxf yox3xy 例例5 5解解.sin)(的单调性的单调性讨论函数讨论函数xxxf ,0cos1)( xxf, 0)(,)(2 xfZkkx外外除除了了 上上单单调调增增加加；在在),()( xf3) 注意注意 若区间内导数为零的点只是若区间内导数为零的点只是孤立点孤立点, , 则不则不影响区间的单调性影响区间的单调性, ,即函数在区间内仍是单调的即函数在区间内仍是单调的. .例如例如,3xy ,0,0 yx时时但但.),(上上单单调调增增加加在在 . 00sin xRxx唯唯一一的的根根上上只只有有在在由由此此定定理理可可证证明明方方程程, 00 xy3、利

8、用单调性可以证明不等式、利用单调性可以证明不等式例例6 6.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),()()(1stepxgxfxF 构构造造辅辅助助函函数数., )(3step写出结论写出结论求初始值求初始值aF,),()(, )(2step的的单单调调性性在在判判断断求求baxFxF :),()()()()(的的步步骤骤或或证证明明baxxgxfxgxf .32)(,4step步步、重复重复对对若前三步得不出结论若前三步得不出结论xF 例例7 7.sin61,03xxxxx 试试证证时时当当例例7 7证证.sin61,03xxxxx 试试证证时时当当xxxxgsin61)(3 设

9、设xxxgcos211)(2 则则,), 0)(上上单单调调减减少少在在 xg时，时，当当0 x),0()(gxg .sin,0 xxx 时时先证当先证当.sin61,03xxxx 时时再再证证当当0sin)( xxxg0)0()( gxg.sin61,03xxxx 时时即即当当综上综上例例证证.,exxeex 时时证明：当证明：当xexxfln)( 设设)(ex 时，时，当当ex 0)( ef0)()( efxf,ln,xexex 时时即当即当.exxe 即即.ee 由此可证明：由此可证明：, 01)(, xexfex时时当当4、利用单调性可以证明根的唯一性、利用单调性可以证明根的唯一性例例

10、8 8.)1 , 0(12有有且且仅仅有有一一个个实实根根在在证证明明方方程程 xx此种题型应先证明根的存在性，再证明唯一性此种题型应先证明根的存在性，再证明唯一性.5、小结、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式程实根的个数和证明不等式.二、函数的凸性及其判别法二、函数的凸性及其判别法 1. 函数凹凸的定义函数凹凸的定义xyo)(xfy xyo)(xfy

11、 问题问题:如何用数量方法来刻划曲线的弯曲方向如何用数量方法来刻划曲线的弯曲方向?1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方定义定义: :, )1 , 0(),(,)(2121恒有恒有及对任一及对任一若对任意两点若对任意两点内有定义内有定义在区间在区间设设 xxIxxIxf),()()1()1(2121xfxfxxf :, )1 , 0(),(,2121恒恒有有任任一一及及对对若若对对任任意意两两点点 xxIxx),()()1()1(2121xfxfxxf .)(,)(函函数数在在该该定定义义区区间间

12、内内是是凸凸则则称称函函数数的的在在定定义义区区间间内内是是凸凸如如果果函函数数xfxf)()(凹凹凹凹;)convex()(内内是是凸凸的的在在则则称称函函数数Ixf. )concave()(内内是是凹凹的的在在函函数数则则称称Ixf.)(,)(内内称称为为下下凸凸曲曲线线在在区区间间则则曲曲线线内内是是凸凸的的在在定定义义区区间间如如果果函函数数IxfyIxf .)(,)(内内称称为为上上凸凸曲曲线线在在区区间间则则曲曲线线内内是是凹凹的的在在定定义义区区间间如如果果函函数数IxfyIxf 2. 函数凹凸性的判别法函数凹凸性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(x

13、f abBA0 y递递减减)(xf 0 y:, ),(,),(,)(有有若对若对二阶导数二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxbabaxf .)()(,)()(,)()(凹凹的的内内是是凸凸的的在在那那么么函函数数或或单单调调减减少少内内单单调调增增加加在在且且导导函函数数设设IxfIxfIDxf 判别法判别法2 2判别法判别法1 1;,)(,0)()1(上上是是凸凸的的在在函函数数则则baxfxf .,)(,0)()2(上上是是凹凹的的在在则则函函数数baxfxf 例例1 1.3的的凹凹凸凸性性判判断断函函数数xy 解解,32xy ,6xy ,0时时当当 x,0 y,0时时当

14、当 x,0 y.)0 , 0(时改变了上下凸性时改变了上下凸性曲线经过点曲线经过点注意到注意到,.), 0内是凸的内是凸的函数在函数在,0 ,(内内是是凹凹的的函函数数在在 yox3xy 例例2 2.4的的凹凹凸凸性性判判断断函函数数xy 解解,43xy ,122xy ,0时时当当 x,0 y,0时时当当 x,0 y.),(内是凸的内是凸的函数在函数在xyo4xy 说明说明: :若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 , ,在其两侧二阶导数不在其两侧二阶导数不变号变号, ,则函数的凹凸性不变则函数的凹凸性不变 . .3 3、曲线的拐点及其求法、曲线的拐点及其求法1) 1) 定义定义注意注意

15、拐点处若存在切线，拐点处若存在切线，则必在拐点处穿过曲线则必在拐点处穿过曲线. .的的一一个个是是曲曲线线则则称称点点上上凸凸与与下下凸凸弧弧的的分分界界点点是是连连续续曲曲线线如如果果点点)( ,)()(,(00 xfyxfyxfx .拐点拐点)(,(00 xfxyox, )()(0两两边边变变号号在在则则xxfxf ,)(,(00是拐点是拐点又又xfx,)(0取取得得极极值值在在xxf ,条件条件由可导函数取得极值的由可导函数取得极值的. 0)(0 xf有有定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx内存在二阶导内存在二阶导 数数, ,则点则点 )(,00 xfx是拐点的必要条件

16、是是拐点的必要条件是0)(0 xf. . 2) 2) 拐点的求法拐点的求法证证,)(二二阶阶可可导导xf,)(存在且连续存在且连续xf 求拐点的方法求拐点的方法: :,0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)()(,(,)()1(000的的拐拐点点即即为为曲曲线线则则点点变变号号点点左左右右邻邻域域内内xfyxfxxfx ;)()(,(,)()2(000的的拐拐点点不不为为曲曲线线则则点点不不变变号号点点左左右右邻邻域域内内xfyxfxxfx 例例3 3.14334拐点及凹凸的区间拐点及凹凸的区间的的求曲线求曲线 xxy解解, ),( fD,1212

17、23xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),(32 ), 0(32032)(xf )(xf 00凸凸凹凹凸凸拐点拐点拐点拐点)1 , 0(),(271132, 0,), , 0 ,(3232向向上上凸凸在在区区间间向向下下凸凸曲曲线线在在区区间间 32) 1 , 0(),(271132.),( , )1 , 0(271132均为曲线的拐点均为曲线的拐点点点例例4 4.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3231 xy,3594 xy.,0不不存存在在时时yx x)(xf )(xf0)0,(),0( 不存在不存在0 凸凸凹凹, 0,0

18、 ,(向向上上凸凸在在区区间间向向下下凸凸曲曲线线在在区区间间 .)0 , 0(为曲线的拐点为曲线的拐点点点oxy3xy .)()(,(,)(000的的拐拐点点是是连连续续曲曲线线也也可可能能点点不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意: :结论：结论：若曲线若曲线 y=f (x) 在点在点 x0 连续连续 , 0)(0 xf或不存在或不存在,但但 在点在点 x0 两侧两侧异号异号,)(xf 则点则点 是曲线是曲线)(,(00 xfxy=f (x) 的一个拐点的一个拐点.求拐点的步骤：求拐点的步骤：step1 求二阶导数等于零和不存在的点求二阶导数等于零和不存在的点 x0 .step2 判断

19、二阶导数在这些点的左右两侧是否异号判断二阶导数在这些点的左右两侧是否异号.step3 写出拐点写出拐点 .)(,(00 xfx4 4、利用函数的凸性证明不等式、利用函数的凸性证明不等式babababa 充分必要条件是充分必要条件是其中不等式成为等式的其中不等式成为等式的证明证明是任意两个正数，是任意两个正数，设设例例 )1(, 10,512ln)(lnln:, 0,6yxyxyyxxyx 证证明明设设例例例例 证明证明:20 x当当时时，.2sinxx 有有证明证明:xxxF 2sin)( 令令, 0)0( F, 则则)(xF )(xF 2, 0)( 在在xF上是上是凹凹函数函数 , )(xF

20、即即.2sinxx )20( x,0)2( F,2cos xxsin 0 )2(),0(min FF,0 2ln)(lnln:, 0,6yxyxyyxxyx 证明证明设设例例证证tttfln)( 设设)0( t,)(0为凸函数为凸函数时，时，当当tft ,1ln)(,0 ttft时时当当,01)( ttf,)()(21)2(yfxfyxf 故有故有2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即有有5、小结、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凸性凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;函数凹凸性的判定函数凹凸性的判定曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别例例证证.11)1ln(,022xxxx

21、x 试证试证时时当当,11)1ln(:22 xxxx等等价价于于证证明明,11)1ln()(22 xxxxxf设设),(,)()()(baxxhxgxf 证明证明, 0)( xh若若).()()(xgxhxf 可化为证可化为证思考与练习思考与练习)0()1()0()1()(ffffA )0()0()1()1()(ffffB )0()1()0()1()(ffffC )0()1()0()1()(ffffD 提示提示: 利用利用)(xf 单调增加单调增加 ,)10()()0()1( fff及及B 1 ,0上上,0)( xf则则, )1(, )0(ff )0()1(ff 或或)1()0(ff 的大小顺

22、序是的大小顺序是 ( )1. 设在设在解解不能断定不能断定.例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)( xxxxxf )212(1kx当当 时，时，0)212(41)( kxf kx21当当 时，时，01)( xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内， 都不单调递增都不单调递增k00 x)(xf)1,( , )1,(21212121 ee提示提示:)21(222xeyx ,2121 ),21 ,(21 及及 .21xey 的凹区间是的凹区间是凸区间是凸区间是拐点为拐点

23、为 ; ;3. 曲线曲线112 xxy有位于一直线的三个拐点有位于一直线的三个拐点.4.求证曲线求证曲线 证明：证明： y y222)1(21 xxx3223)1()133(2 xxxx32)1()32)(32)(1(2 xxxxxxx2) 1() 1(222)1( x42)1( x)22(x 22)1( x)21(2xx )1(22 xx2 令令0 y得得,11 x;)1,1(从而三个拐点为从而三个拐点为因为因为32 所以三个拐点共线所以三个拐点共线.323 x,322 x, )34831,32( )34831,32( 32 11 34831 1 1 34831 解解因因为为0)(0 xf只

24、只是是,(0 x)(0 xf为为拐拐点点 的的必必要要条条件件， 故故,(0 x)(0 xf不不一一定定是是拐拐点点.例如例如4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并并不不是是曲曲线线)(xf的的拐拐点点.求拐点方法求拐点方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例.)2 , 0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43

25、( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 一一、 填填空空题题：1 1、 函函数数7186223 xxxy单单调调区区间间为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 函函数数212xxy 在在区区间间 - -1 1, ,1 1 上上单单调调_ _ _ _ _ _ _ _ _， 在在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _上上单单调调减减. .3 3、函函数数22ln xxy 的的单单调调区区间间为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 单单减减

26、区区间间为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 确确定定下下列列函函数数的的单单调调区区间间：1 1、 xxxy6941023 ；2 2、 32)(2(xaaxy ( (0 a) )；3 3、 xxy2sin . .练练 习习 题题三、三、 证明下列不等式：证明下列不等式：1 1、 当当0 x时，时，221)1ln(1xxxx ；2 2、 当当4 x时，时，22xx ；3 3、 若若0 x，则，则361sinxxx . .四、四、 方程方程)0(ln aaxx有几个实根有几个实根. .五、五、 设设)(xf在在 ba, 上连续，在上连续，在( (ba,) )内内

27、)(xf , ,试证试证 明：对于明：对于 ba, 上任意两上任意两1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1） 0)( xf，)(xf 单增；方法单增；方法（2 2）0)( xf， 利用泰勒公式利用泰勒公式 一、一、1 1、), 3,1,( 单调增加单调增加, ,3 , 1 单调减少；单调减少；2 2、增加、增加, ,), 1 ,1,( 3 3、1,( , ,), 1 ；1 , 0(,1,(;1 , 0(),0 , 1 . .二、二、1 1、在、在), 1,21, 0(),0 ,( 内单调减少内单调减少, , 在在1 ,21上单调增加；上单调增加； 2 2、在、在),32,( aa内单调增加内单调增加, , 在在,32aa上单调减少；上单调减少；练习题答案练习题答案 3 3、在、在32,2 kk