二次函数重点难点总结

1、学习必备欢迎下载初中二次函数知识点总结一、二次函数概念：1二次函数的概念： 一般地，形如y ax2bx ca ，b ，c是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数。这（里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而 b ，c 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数 y ax2 bx c 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2 a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：yax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

2、a00 ，0x0 时， y 随 x 的增大而增大；x 0 时， y 随向上y 轴x 的增大而减小； x0 时， y 有最小值 0 a00 ，0x0 时， y 随 x 的增大而减小；x 0 时， y 随向下y 轴x 的增大而增大； x0 时， y 有最大值 0 2. y ax2 c 的性质：上加下减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0 ，cy 轴x0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随x 的增大而减小； x 0时， y 有最小值 c a0向下0 ，cy 轴x0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 c

3、 3. ya x2的性质：h左加右减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ，0X=hxh 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随x 的增大而减小；x h 时， y 有最小值 0 a0向下h ，0X=hxh 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随x 的增大而增大；x h 时， y 有最大值 0 24.ya xhk 的性质：学习必备欢迎下载a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0h ，kxh 时， y 随 x 的增大而增大；x h 时， y 随向上X=hx 的增大而减小；x h 时， y 有最小值 k a0h ，kxh 时， y 随 x 的增大而减小；x

4、 h 时， y 随向下X=hx 的增大而增大；x h 时， y 有最大值 k 三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h2h ，k；k ，确定其顶点坐标 保持抛物线 y ax2 的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移 ”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： yax 2bxc 沿y轴平移 向上（下）平移m 个单位， yax 2bxc 变成:yax 2bx cm （或 yax 2bx cm ） yax 2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， yax

5、 2bxc 变成ya( xm)2b(xm)c （或 ya(xm) 2b( x m)c ）四、二次函数 ya x2k 与 y ax2bxc 的比较h从解析式上看，ya xh2ax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前k 与 yb24acb2b ，k4ac b2者，即 y a x，其中 h2a4a2a4a五、二次函数 y ax2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式 y a(xh) 2k ， 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0，c 、以及0 ，c 关于对称

6、轴对称的点2h，c 、与 x 轴的交点x1 ，0 ， x2，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点 .六、二次函数yax2bxc 的性质学习必备欢迎下载1. 当 a0时，抛物线开口向上，对称轴为xb，顶点坐标为b ，4ac b22a2a4a当 xb时， y 随 x 的增大而减小；当xb时， y 随 x 的增大而增大；当xb时， y 有最小2a2a2a值 4ac2b4a2. 当 a0时，抛物线开口向下， 对称轴为 xb，顶点坐标为b ，4acb 2当 xb 时， y 随2a2a4a2ab 时， y

7、随 x 的增大而减小；当 x时， y 有最大值 4ac2x 的增大而增大；当 xbb2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：yax2bx c （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；2.顶点式：ya(xh)2k （ a ， h ， k 为常数， a0 ）；3.两根式：ya(xx1 )( xx2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b24ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函

8、数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数y ax2bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 当 a0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当 a0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下，当 b0时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时，b0，即抛物线对

9、称轴在y 轴的右侧2a 在 a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时，b0，即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置学习必备欢迎下载bab 的符号的判定：对称轴x在 y 轴左边则 ab0 ，在 y 轴的右侧则 ab0 ，概括的说就是2a“左同右异”总结：3. 常数项 c 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；

10、 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象

11、的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称y2b x 关c于 x 轴对称后，得到的解析式是yax2bxc ；a xya x2ya xh2hk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是k ；2. 关于 y 轴对称y2b xcyax2bxca x；关于 y 轴对称后，得到的解析式是ya x2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是ya xh2k ；h3. 关于原点对称y2b x关c于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc ；a xya x2kyaxh2hk；关于原点对称后，得到的解析式是4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y2b xc2

12、b2a xyaxbxc；关于顶点对称后，得到的解析式是2aya x2k 关于顶点对称后，得到的解析式是yaxh2hk 5. 关于点 m，n 对称2k 关于点2y a x hm，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变求学习必备欢迎下载抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二

13、次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax2bx c 0 是二次函数 y ax2bxc 当函数值 y0时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数： 当20 时，图象与 x 轴交于两点 A x1 ，0 ，B x2 ，0( x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次b4ac2bxc0 a 0 的两根这两点间的距离ABx2 x1b24ac方程 ax.a 当0时，图象与 x 轴只有一个交点； 当0时，图象与 x 轴没有交点 .1'当 a0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 ；2'当 a0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 2

14、. 抛物线 yax2bxc 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c) ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2x 的二次函数；ax bx c(a 0) 本身就是所含字母下面以 a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x 轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0抛物线与x 轴只二