培养学生的运算能力

1、 依靠教材中的例题，培养学生的运算能力【内容摘要】目前初中生的计算能力有所下降，原因是多方面的，既有学生的因素，也有老师的因素，更有教材的原因。教师从课堂教学出发，依靠教材的例题为材料，按运算的要求对学生进行正确性、迅速性、灵活性和创新性教育，从概念算理、学生的品质，学生的书写出发提高学生运算的正确性；从记忆、练习的角度出发提高学生运算的迅速性；从观察、解题方法的指导为突破点提高学生运算的灵活性。通过这样一些方面尝试和训练，使学生运算能力得以提高。【关键词】 数学例题 运算品质 运算能力一、问题提出 数学离不开计算，学生进入初中学习以后，好多学生尤其是成绩好的学生总是和老师抱怨：老师啊，这次考

2、试卷上的题目我都会做，可考出来的成绩不理想，都是计算时算错。不是这里粗心，就是那里大意。还有学生向老师说：数学还是平面几何好学，只要思路想清楚，就不会有计算这方面的麻烦了。在办公室呢，我们也经常听到教师之间在埋怨学生：这班学生怎么连这么简单的计算都算错，运算能力怎么这么差的。面对学生和老师的牢骚，作为老师的我们又应该怎么办呢！学生的运算的错误是怎样产生的？我们应如何培养学生的运算能力，怎样提高学生计算的兴趣呢？作为教学的主阵地课堂中教师又应该如何有效解决这个问题呢？二、产生错误的一些因素 通过研究认为：学生产生的错误是多方面的，主要表现在三个方面的因素。学生的因素： 1、对运算的法则，运算律的

3、不理解。现象1：计算 现象2：计算 现象3：计算 已知 求的值。 解： 现象4： 已知 解析式的图像如图所示， 求的取值范围。 解： 12 1 或 2 解得 2a2 或 24a a1 a a的取值范围是a1 之所以出现以上的几种现象，就在于学生对运算的法则及运算律的不理解。现象1中分数线上的分子是一个整体，隐含着一个括号。现象2中学生受到乘法分配律的负迁移，既然乘法可以分别乘以括号里的每一项，当然除法也可以除以括号里的每一项。现象3中3A减去B的时候，B是一个整体，学生对去括号的法则没有很好的理解。现象4中抛物线的开口方向向下，必然字母a是小于0的，因而不等号的方向是要变号的。此外对算理不清和

4、概念模糊也造成运算的错误。2、学生的的个性也影响着学生的运算能力。有的学生学习习惯较好，面对计算题能观察细致，并能进行有效的思考，也能自觉坚持进行计算练习，计算能力通过努力可以得到较大的提高。而有的学生习惯较差，性格比较急躁，做事匆忙、缺乏责任心，其行为方式必然表现为粗心大意、不仔细认真等。所以在计算时，往往只感知数据、符号的本身而较少考虑其实质意义，对相似、相近的数据或符号容易产生感知失真，造成差错。字迹潦草不清楚，书写不规范也是造成运算不正确的一个原因。如有些学生在书写中往往把负号丢掉，7书写成1，6书写成8，题目抄错。运算过程中漏项，加了前面忘记后面。这些学生的注意力极不稳定性且注意分配

5、能力较差。所以容易在计算时出现分心的现象。而在计算过程中，学生既要看，又要算，还要写，需要经常转移注意，把注意同时分配在不同的对象上。此时有些注意力差的学生往往顾此失彼，丢三落四。老师的因素： 现象5 （课堂中，教师出示一个例题，然后引导学生对例题展开讨论，列出几种不同的解法后，）教师： “通过同学的积极发言和讨论，我们已经得出几种不同的解法，由于时间的关系，老师的课件中只有一种解题过程，其他求解的过程我们就由同学们在课余时间自己去完成。”教师： “现在我们来看这道例题解题过程”学生： （学生看课件上的解题过程）教师： （几分钟后）“看好了吗，没有看好的同学可以另外看书，现在我们来看下道例题。

6、”教师： （打出下一个例题的课件）这种现象在课堂上并不少见，有些教师比较着重解题方法和思路的引导，而忽视对运算过程的合理性、简捷性的必要指导。他们上课时往往为了赶进度，对于某些题目缺乏必要的板演，或者没有给予学生充分的时间让他们在课堂上演算，认为把有限的上课时间用在题目的计算上，实在是太浪费时间了。老师对计算不重视导致学生误以为运算是数学学习中一个无关紧要的问题。久而久之，学生的运算能力差，经常做错，老师又不断的批评学生，埋怨学生。这样的教学学生的运算能力会提高吗？况且教师在上课时不重视计算，把计算放在课外让学生自己练，那么学生真的课外时间去做吗？运算能力作为一种能力是需要培养的，是需要训练出

7、来，教师不重视能力的训练，导致学生的计算能力差，计算能力差又导致学生害怕计算，从而致使学生形成心理负担，更加讨厌计算，形成恶性循环。教材的因素：学生的运算能力的减弱与现在的教材也是相关的。以本地浙教版的初中数学与以往的老教材相比，有关对计算的课时减少了，直接给学生的公式也减少了，以前的二次三项式的因式分解、十字相乘法也取消了。数学新课程标准解读指出：降低运算的复杂性、技巧性和熟练程度的要求。具体来说降低笔算要求，降低有理数运算及有理式运算和变形。有关运算方面的课时减少导致学生对运算训练的时间减少，必然使学生的运算能力不可避免的减弱了。计算器引入是新课程中特色，符合新时代的要求。但计算器的使用对

8、数学思维和心理素质的影响较大。使用不当，对学生就有害了。过多地使用科学计算器，学生就会不愿花时间进行思考，做规范的运算，从而草率从事。久而久之，思考没有条理、混乱，运算逐渐生疏，在计算中依赖计算器。而且养成了粗心、马虎的不良习惯，缺乏意志和毅力的磨练。同时也造成了有些学生只习惯于单向、单层次的运算，习惯于顺向计算，不习惯于多向、多层次的运算，更不习惯于逆向运算。这也减弱了学生的运算能力。三、提高运算能力的重要性新课标标准指出：“体会数和运算的意义，掌握数的基本运算”，“重视口算，加强估算，提倡算法多样化，逐步形成运算技能并能综合运用所学的知识和技能解决实际问题。”虽然就整体而言，涉及到计算的课

9、时是减少了，但计算的要求却是没有降低了，要求能用适当的方法计算，在熟练程度上比以前有所降低，但运算的思维要求却是提高了。“能够判定不同的算术运算，有能力进行计算，并具有选择适当的方法（心算、笔算、使用计算器）实施计算经验”“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。”学生运算能力的高低直接影响着学生学习的质量，因为数学中有些概念的引入需要通过运算来进行；数学应用题的解题思路、步骤、结果也要通过运算来落实。几何知识的教学要涉及周长、面积、体积的求法，这些公式的推导与运用同样离不开运算，至于简易方程、比例和统计图表等知识也无不与运算密切相关。可见学生的运算能力是至关重要的，直接

10、关系到学生的数学成绩以及学好数学的兴趣和信心。四、提高运算能力的理论依据     学生运算能力的发展是与数学概念的掌握紧密联系着的。数学课程标准明确指出：运算是以理解数学概念为基础条件的；而数学概念又是要通过运算的实践才能获得巩固和发展的。     学生的运算能力主要指两个方面：一是运算法则的掌握；二是运算技能的形成。     运算法则是运算方法的高度概括，它是运算方法规律性的反映。学生掌握运算法则不仅要懂得按照法则如何运算，而且还要懂得为什么要这样运算。所以理解是掌握运算法则的关键，而运算技能形成的主要

11、标志是正确迅速。     所谓技能是顺利完成任务的一种动作或心智活动方式。数学技能是顺利完成某一数学任务时所必备的一系列动作的协调和活动方式的自动化。这种协调的动作和自动化的活动的方式是在已有数学知识经验基础上经过反复练习而形成的。     运算技能就是这样的数学技能中的一种数学心智技能，是一种借助于内部言语进行的认知活动。运算技能包括感知、记忆、思维和想像等犀利成分，并且以思维为其主要活动成分。它是在掌握运算法则的基础上经过多次练习而形成的，不是学生先天就有的。学生的运算能力主要依赖于教师的培养，才能得以提高。五、提高运算能力方法和

12、手段运算能力是思维能力与运算技能的结合，是解决问题的一种必备能力。学生运算能力的差异，主要表现在运算心理的四种品质，即运算的正确性、迅速性、灵活性和创新性上。因此，培养学生的运算能力，必须从培养、训练、协调、发展运算的各能力因素入手。（一）运算的正确性-基本要求运算能力的强弱，主要表现在运算的正确与否和速度的快慢上，其中正确又是迅速的前提，如果是错误的运算，再快也没有实际意义.因此在教学过程中，教师要不断引导学生思考如何才能做到运算正确.1、重视概念之间的区别，培养严谨思维基础知识是算理的依据，对运算具有指导意义，基础知识混淆、模糊、不过硬，往往是引起运算错误的根本原因.因此，在学习过程中，要

13、求学生重视数学概念、定义、运算法则的学习。.如：“在学习单项式乘以多项式定义时，必须理解“单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加”，而“在学习多项式除以单项式时要理解多项式中的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加”。这两者之间有什么联系和区别呢？在教学中，前后的知识点要加以比较，防止学生在概念上的混淆。在做运算题时，既要让学生知道“怎样运算”，更应明确“为什么这样运算”，做到步步有据，理由充分，老师讲过的便是要做到真懂，即将题目适当变换后还会做，能举一反三。例一：整式的除法教材的编排顺序：单项式的乘法 多项式的乘法 整式的除法（多项式除以单项式） 分式的乘除。并没有单项式除以多项式的

14、教学内容，正因为缺乏专项训练，故学生很容易出现现象2中出现的问题，因而我在教整式的除法对教材的内容进行补充。教案如下：教师：（出示例题）例2 计算（见七下整式的除法）（1） (14a3-7a2) ÷(7a) (2)(15x3y5-10x4y4-20x3y2) ÷(-5x3y2) =(14a3)÷(7a)+(-7a2)÷(7a) =(15x3y5)÷(-5x3y2)+( -10x4y4)÷(-5x3y2) = 2a2-a +(-20x3y2)÷(-5x3y2) =-3y3+2xy2+4 教师：这两道题都是多项式除以单项式，若出

15、现单项式除以多项式怎么办？（教师出示课件）请同学们看阅读材料。教师虽然没有解决单项式如何除以多项式，但通过类比思想，由有理数的运算类比到有理式运算，在这一节课中内容补充基本上预防和解决了现象2中错误了。2、培养良好的运算品质。要培养学生的耐心，信心和决心。好多学生告诉我，我不怕几何证明，就怕代数运算。某些同学对数学的解题思路想的头头是道，但一遇到列式后的计算却烦之又烦，害怕运算，要告诉学生运算是学好数学的基本功。要知难而上，要有信心、耐心和决心。 培养学生的检验结果是否正确的习惯。检验的方法多种多样，比如方程题的检验方法是将解代入原方程，左右两边相等就证明解对了。估算也是检验的好办法。有的题算

16、前可先估一下结果会在哪个范围内，再与计算后的结果对比，也可达到检验的目的。在应用题中联系实际检验法数学中的应用题是根据人们在生产实际、生活中的具体事实经过加工而成的，所以，根据应用题的条件求出的结果也应与实际数量相符，否则有误。如求得敬老院老人的平均年龄是岁，每公顷产小麦千克，汽车每小时行千米等，就与实际相距甚远，可判断计算结果是错误的。3、清楚规范的书写是运算正确的保证要培养学生要有认真的学习态度。要有“一看”、”二想”、“三落笔”。“一看”要看清题目，把好审题关，看清数字，看清符号；“二想”要想清楚如何运算，分几层运算，先算什么，再算什么，有什么技巧，隐含什么条件；“三落笔”就是要求同学规

17、划好书写的步骤，在计算过程中要求学生书写工整，格式规范，上下之间数字不要抄错。教师要有规范的板书，要给学生做好示范。现在的教学设备都比较先进，大都采用课件上课，这在提高课堂的效率，减轻教师的板书，增强学生的兴趣等方面都与原课堂教学风格相比，简直是焕然一新。为了提高课堂效率，很多的题目的解题的主要过程的书写都事先在课件上打好，然后在投影给学生看。这样以来，不同的学生的接受能力是不一样的，有快有慢，慢的同学还没有看好、理解好，幻灯片已经下一张了。更何况幻灯片上的主要步骤不能放映出运算过程的一些细节，因而失去运算步骤的书写锻炼，以及运算过程的技巧的模仿和掌握。书写的不规范导致运算错误的增加。我在课堂

18、教学采取的方法是，但遇到新的内容，新的题目，尽可能的在黑板上书写出比较规范的步骤，让学生模仿我的书写，尽可能的避开因书写而带来的错误。 （二）运算的迅速性较高要求从理解有关运算的基本知识到形成这种运算的技能，总是要经过“先慢后快”、“先死后活”的过程.随着运算技能的形成，逐渐简化运算步骤，灵活运用法则、公式，逐步培养学生合理选择简捷运算途径的意识和习惯.1、适当的记忆可提高运算的速度。先死后活，该死记必须死记。小学中的乘法口诀必须死记下去，为乘除运算提供便利，在初中里，也象小学那样对一些常用的数据进行死记也为我们的运算提供便利，是我们算得即快又准确。例如：在教学有理数的乘方时，为了提高学生的运

19、算速度，我就要求学生记乘方表： 22=4 32=9112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 252=625 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729在教学有理数的开方时，同样我也要求学生记： 这些数据死记下去对学生今后运用平方差公式，勾股定理中的有关计算帮助是很大的，对培养学生的估算能力也是有很大的帮助的。ABC11在比如直角三角形中，学生都有两块三角板，如图：2ACB1 要求学生记住这两块三角板的三边之比，这样，学

20、生在运算这样的题目时就不需要借助勾股定理或者是三角函数的运算了，例如：对于30度、60度的直角三角形来说，已知三角形的斜边则除以2就是较短的直角边，较短的直角边乘以 就是较长的直角边。同理，已知较短的直角边则乘以就是较长直角边，乘以2就是斜边。此外，如3，4，5；6，8，10；5，12，13勾股数的记忆也可以提高我们的运算速度和增强我们的推测判断能力。 2、适量的练习是提高学生运算能力的必要途径。能力是靠训练出来的，新课标降低了运算的繁杂，反对题海战术，也就是反对大量的机械的重复的练习，但必要的练习还是必需的，熟能生巧。多做题目能够使你养成数学思想和思路，提高解答正确率与速度。多做题目可以使你

21、养成正确的推理过程分析，能做到看到题目知道问题切入口。练习要注意以下几点：（1）要有针对性的练习。认知心理学认为，不是教师传授得多，学生就学习的越多，掌握得就越牢固。同样，不是学生做的题目越多，运算能力就越强。选择适当的训练方法，训练的素材就显得十分重要。我们不能盲目地练，教师应该科学地对学生运算能力进行训练，应该根据学生的错误设计有针对性的练习，就是哪些题该训练，哪些题一定要在课堂上呈现或者需要反复地练习，教师一定要做到心中有数。因而我在教学中专门为自己准备了一本错误题本，里面记载了以往同学在运算中出现的问题。同时也要求学生为自己准备一本针对自己的错误的订正本。要结合教材的要求、大纲的要求进

22、行训练。不要过高拔高要求，认为越难越好，越复杂越体现水平。现在的中考早已与“偏、难、怪”分离，“能力考查”转而成为了中考命题的基本原则和重要取向。（2）要结合教材，在不同的章节中进行反复练习。应使学生能熟练的且自觉地应用公式、运算律。我们经常发现，教材中的平方差公式、完全平方公式、运算律学生都背得非常熟练，但学生不会自觉使用，除非题目中出现用简便方法计算时，才想起运用法则、公式。而其他时候，用公式法则运算既快又准确，可就是想不到，还是用老方法死算。因而我很注意在适当的时候提醒学生，训练学生，使学生能自觉使用。例如，我在教学平方差公式时，就是随教材的变化，在不同的章节中进行反复训练。在七年级下册

23、第五章中（5.4）节。例题：用平方差公式计算 103×97=（100+3）（100-3）=1002-32=9991 初学平方差公式，学生懂得利用公式，知道相同数的平方减去相反数的平方。相应的课后的练习题有 （2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1在八年级上册第二章中勾股定理（2.6）1节例1 已知在ABC中，C=RT,BC=15,AB=17,求AC的长。由勾股定理得，AC=172-152=(17-15)(17+15)=2×32=64这里借用这道例题巩固平方差公式，防止学生出现 AC=172-152=289-225=64在八年级下册第一章二次根式中（1.3）2节例题

24、 例5 计算 这说明有理数的平方差公式在根式中同样适用.在九年级上册第三章圆的基本性质中圆的轴对称性（3.2）1例2(题略)中计算弦心距再次用到平方差公式。最后是在九年级的下册的解直角三角形中（1.3）节课内练习中（题略）又出现可以使用平方差公式，通过这样在不的章节，不同的场合下使用平方差公式，加深学生对平方差公式的理解，强化学生对平方差公式的应用。学生在以后的解题过程中能自觉地使用平方差公式。3、减少对计算器的依赖数学运算能力是数学三大能力之一，是学习数理化等课程的基础。如今，在中小学数学教学，甚至中考考场上都引入了科学计算器，这让学生从繁复的数学运算中解脱出来，有更多的时间和精力投入实践活

25、动，开拓了思维的广度和深度，拓宽了视野，这是一种进步，但随之产生了学生数学计算能力越来越差的问题，削弱了数感，甚至丧失了主动解决问题的能力。怎样看待数学运算，这是困扰数学教师的一大问题。我认为应适量减少计算器的使用，适当得培养口算能力和笔算能力。（三）运算的灵活性-最高要求运算的灵活性是指在了解题目的基础上，通过对题目的文字语言，数学符号，图形的特征等方面的思考，抓住其本质特征，迅速抓住运算的主旨和实质，采取最佳的方法策略去解决这个运算。1、要培养学生的观察能力。 观察能力就是在有目的、有组织、有思维参与的感知过程中形成的一种稳固的认识能力，是智能构成的一个重要因素。：观察具有明确的目的性。观

26、察具有顺序性、条理性。观察具有理解性，即善于发现某种事物的特征，善于发现事物之间的联系。观察具有敏锐性，善于发现一般人所不易发现的或容易忽略的东西，独具慧眼，明察秋毫。 在教学二次根式的计算时，始终要注意被开方数是非负数。二次函数中二次项系数不能为零这些特征。在二次方程时要注意根的判别式及二次项的系数。分式要注意分母不能为零。在实际问题中还要使计算的数据符合现实生活等等。 在进行数据计算时要通过观察数据之间的关系。从而选择适当的方法运算。 如：八年级上册第四章样本与数据分析初步4.2平均数 例1： 统计一名射击员运动员在某次训练中15次射击的中靶环数,获得如下数据:6, 7, 8, 7, 7,

27、 8, 10, 9, 8, 8, 9, 9, 8, 10, 9.求这次训练中该运动员射击的平均成绩. 教材中的方法如下： 教材中使用了加权平均数的思想，固然这也是一种简便方法。但我在教学这一例题时还要求用另一种方法进行计算，我的黑板板书如下：教师的解说词教师的板书我们发现这一组数据都在8的附近，故我们可以把每个数据都减去8后变成一组新的数据原数据 6 7 8 7 7 8 10 9 8 8 9 9 8 10 9新数据 -2 -1 0 -1 -1 0 2 1 0 0 1 1 0 2 1划去互为相反数后口算出这组数据的和，再把和除以15得到商为0.2这组数据的和 3 3÷15=0.2从而得

28、到这组数据的平均数为 8+0.28.2 就这道题而言，教材中的计算方法与我所讲计算方法的所用时间差不多，但我这种计算方法向学生传递了一种数学方法，即把复杂的数据进行处理，即大数转化为小数，使计算变为简单，通过口算便能顺利完成。通过这道例题的讲解，我马上提出了一个“比一比，看谁算的快”的游戏，规定不准使用计算器。出示了本节内容中的课内练习（见教材75页做一做）某中学足球队29名队员的身高如下（单位：cm）：170 ，167，171，168，160，172，168，162，172，169，164，174，169，165，175，170，165，167，170，172.请计算这20名队员的平均身高。

29、一部分的同学很快的采用前一道题的方法：把各数据减去170后在求出平均数，然后再把求出的平均数加上170就是足球队的平均身高。由于采用竞赛的方法，学生兴趣高涨。经历了计算的乐趣。2、要指导学生用最佳的解题方法，一题多解时，这就要求我们善于选优而从。一题多解是数学中常见的问题，选择不同的思路导致解题的繁简程度不同。好的思路解题既快又准确，反之既费时间又容易计算错误。数学运算的解题方法有很多，比如观察法、画图法、列表法、转化法、代入法、特殊值法、方程法、化简法、消去法、公式法、举例法等等，每种解题方法都有自身的特点及优势，适用于不同的题型因而选择较好的思路采用适当的方法也是提高运算的手段。如：在求二

30、次函数的解析式时，常用待定系数法。二次函数的解析式有三种形式：一般式、顶点式、分解式。到底使用那一种方法，解题的速度及正确率是不一样的。又如：二次函数中求最大最小值，教材中有两种方法，即配方法和公式法。我们应当采用什么方法呢，是不是教材中的方法就是最好的呢，浙教版初三年级上册二次函数应用中的例题2.原题及教材中解答过程如下： 本例题数值大，计算烦又涉及配方法求最值，配方法通常使用于二次项系数为1的二次三项式，而这里二次项的系数是169，数值大，而配方法在教材中并不常用，仅仅在一元二次方程的解法中出现，学生不是非常熟练。我在教学这道例题时采取如下方法，取得较好的效果，学生非常乐意学，容易懂。解：设经过t(h)小时后，A、B两船分别到达A,B处，则AB=（h）答：经过小时，两船之间的最近距离为24千米。与教材的解题过程相比。本题的教学优点有：1， 不用配方法而用顶点公式法，配方法的步骤学生不熟练，比较费时间。而公式法学生比较熟悉，与前面所学的知识点是连贯的。比较直截了当，学生越熟悉就越容易接受。2， 计算中，数据虽然大，但可以利用运算法则，通过约分，因式分解的方法进行计算。全部依靠心算，不需要草稿纸计算。简化运算，提高运算速度。3， 本题在实际课堂教学中，因讲解例题的需要，为配合讲题故板书非常详细，但在平时的