变化率与导数上课

1、 一创设情景一创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了象，在数学中引入了函数函数，随着对函数的研究，产，随着对函数的研究，产生了生了微积分微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物求物体在任意时刻的速度与加速度等体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。四、求长度、

2、面积、体积和重心等。 导数导数是微积分的是微积分的核心核心概念之一它是研究函数增减、概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。工具。 导数导数研究的问题即研究的问题即变化率问题变化率问题：研究某个变量相：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度对于另一个变量变化的快慢程度气气球球膨膨胀胀率率问问题题1 ,):(:,334rrvdmrlv 之间的函数关系是位单与半径单位气球的体积我们知道 .,343vvrvr 那么的函数表示为体积如果把半径 在吹气球的过程中在吹气球的过程中, 可发现可发现,随着气球内空气随着气球内空

3、气容量的增加容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢. 从数从数学的角度学的角度, 如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢? ,.,cmrrlv6200110 气球半径增加了时增加到从当空气容积 ./.ldmrr6200101 气球的平均膨胀率为 ,.,dmrrll1601221 增加了气球半径时增加到当空气容量从类似地 ./.ldmrr1601212 气球的平均膨胀率为.,胀率逐渐变小了它的平均膨随着气球体积逐渐变大可以看出?,均膨胀率是多少均膨胀率是多少气球的平气球的平时时增加到增加到当空气的容量从当空气的容量从思考思考21vv 2121r vr vrvvv 问题问题1

4、 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程的过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容随着气球内空气容量的增加量的增加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学角度从数学角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?高台跳水高台跳水问题问题2 .:,1056942 ttthstmh存在函数关系存在函数关系单位单位与起跳后的时间与起跳后的时间单位单位面的高度面的高度运动员相对于水运动员相对于水在高台跳水运动中在高台跳水运动中人们发现人们发现那么述其运动状态描时间内的平均速度如果我们用运动员某段,v ;/.,.smhhvt054050050500

5、 这段时间里在 ./.,smhhvt28121221 这段时间里在2121hththvttt 65049,:1?2?t探究计算运动员在这段时间里的平均速度 并思考下面的问题运动员在这段时间里是静止的吗你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题吗探究过程：如图是函数探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，的图像，结合图形可知， ，所以，所以，) 0 ()4965(hh)/(004965)0()4965(mshhv虽然运动员在虽然运动员在 这段时间里的平均这段时间里的平均速度为速度为 ，但实际情况是运动员仍然，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说

6、明用平均速度不运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态能精确描述运动员的运动状态49650 t)/(0mstho65496598t ,.,1212211212xxxxxxchangeofrateaveragexxxfxxxfxfxf即表示用习惯上的到从数我们把这个式子称为函示表式子那么问题中变化率可用表示函数关系用如果上述两个问题中的平均变化率平均变化率.,相乘与而不是是一个整体符号xx11221,;,.xxxxxyf xf x 可把看作是相对于的一个 增量 可用代替类似地,.yx于是 平均变化率可表示为 ?,1 . 1 . 11212表示什么变化率平均图的图象观察函数思

7、考xxxfxfxyxfoxy 1xf 2xf xfy 12xfxf 12xx 1x2x111 .图图直线直线ab的斜率的斜率ab 一创设情景一创设情景（一）平均变化率（二）探究：探究： 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为度称为瞬时速度瞬时速度.又如何求又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢? ?,?,.).tan(.,时时的的瞬瞬时时速速度度是是多多少少比比如如度度呢呢如如何何求求运运动动员员的的瞬瞬时时速速那那么么

8、度度在在某某时时刻刻的的瞬瞬时时速速她她他他度度不不一一定定能能反反映映运运动动员员的的平平均均速速的的速速度度称称为为我我们们把把物物体体在在某某一一时时刻刻是是不不同同的的度度运运动动员员在在不不同同时时刻刻的的速速在在高高台台跳跳水水运运动动中中2 tvelociyeousins瞬时速度瞬时速度 .,.,;,.,.可以得到如下表格内平均速度和区间计算区间之后在时当之前在时当但不为也可以是负值正值可以是是时间的改变量任意取一个时刻之前或之后在附近的情况我们先考察vtttttttttt 22222202200222二新课讲授二新课讲授1瞬时速度瞬时速度t0时时, 在在2, 2 +t 这段时这

9、段时间内间内1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv13.051v 当t = 0.01时,13.149v 当t = 0.01时,0951.13v当t = 0.001时,1049.13v当t =0.001时,13.09951v 当t = 0.0001时,13.10049v 当t =0.0001时,099951.13vt = 0.00001,100049.13vt = 0.00001,13.0999951v t = 0.000001,13.1000049v t =0.000001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确

10、地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105 . 69 . 4)(2ttth当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势?.,1132220 个确定的值平均速度都趋近于一时一边趋近于还是从大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现tt./.,.,|,smttvt11322 时的瞬时速度是员在运动因此时的瞬时速度就无限趋近于速度平均无限变小时时间间隔从物理的角度看 .,.lim,11302113220 定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt .时的极限时的极限趋近于趋近于当当是是我们称确定值我们称确定值022

11、113tthth 探探 究究:1.运动员在某一时刻运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示?2.函数函数f (x)在在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示处的瞬时变化率怎样表示?5 . 68 . 9)5 . 68 . 99 . 4(lim)5 . 68 . 9()(9 . 4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xxxfxxfxx ylim )()(lim 0000称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作

12、0000( )() ()lim. xf xxf xfxx )(0 xf 或或 , 即即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(. 1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(. 20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同. 3定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作. )()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 , 即即0|xxy由导数的定义可知由导数的定义可知, 求函数求函数 y = f (x)的导数的一般方法的导数的一般方法:1.求函数的改变量求函数的改变量2. 求平均变化率求平均变化率3. 求值求值);()(00 xfxxfy.lim)(00 xyxfx;)()(00 xxfxxfxy一差、二比、三极限一差、二比、三极限 .,62).80(157:,.,220并说明它们的意义的瞬时变化率原油温度时和第计算第为单位的温度原油时如果在和加热行冷却油进对原需要品产柴油、塑胶等各种不同将原油精炼为汽油、例hhxxxxfcxh,根据导数的定义 xfxfxy22 .6f和 262,fhh就是原油温度的瞬时变化率时和