漫空间与图形教学

1、 临海市教育局教研室临海市教育局教研室 蒋依宝蒋依宝e-mail：q历史的回顾历史的回顾q“课程标准课程标准”中的中的“空间与图形空间与图形”q从从“眼中之竹眼中之竹”到到“手中之竹手中之竹”q历史的回顾历史的回顾一、一、“几何几何”发展史及在小学数学中的地位发展史及在小学数学中的地位1、“几何几何”来源于希腊文，原意是土地测量。来源于希腊文，原意是土地测量。2、2000多年前的多年前的九章算术九章算术记载记载把许多平面图形称之为把许多平面图形称之为“田田”：正方形正方形方田方田长方形长方形直田直田三角形三角形圭田圭田梯梯 形形斜田斜田 在一系列测田亩、定四时的农业活动在一系列测田亩、定四时的

2、农业活动中逐步形成一些几何形体的概念。中逐步形成一些几何形体的概念。三角形的面积计算：三角形的面积计算：半广以乘正从半广以乘正从 “ “广广”矩形矩形 “ “正从正从”高高 把三角形割补成矩形，取其底长的一半把三角形割补成矩形，取其底长的一半再乘高便是三角形的面积。（再乘高便是三角形的面积。（等积变形等积变形）圆的面积计算：圆的面积计算：半周半径相乘得积步半周半径相乘得积步 rrr r = = rr2 2 “ “积步积步”当时的面积单位当时的面积单位“平方步平方步”祖冲之的圆周率祖冲之的圆周率 早出印度半个世纪，早出欧洲一千多年。早出印度半个世纪，早出欧洲一千多年。常见图形的求积计算常见图形的

3、求积计算3、“几何几何”进入我国基础教育进入我国基础教育相当晚相当晚 19031903年，年，奏定学堂章程奏定学堂章程正式规定在中学正式规定在中学 要开设几何、代数和三角，小学只设算术，要开设几何、代数和三角，小学只设算术， 而其中有一章叫而其中有一章叫“求积求积”，就是田亩的计算。，就是田亩的计算。1919世纪末，清朝的官立学堂、私立学堂和教世纪末，清朝的官立学堂、私立学堂和教 会学堂开始使用的教科书会学堂开始使用的教科书形学备旨形学备旨中才中才 包括了几何。包括了几何。 4、建国以来，小学数学教学大纲几经修订，、建国以来，小学数学教学大纲几经修订， “几何初步知识几何初步知识”在小学数学中

4、在小学数学中有了明确的有了明确的 地位，内容也在逐步增加。地位，内容也在逐步增加。1952年年小学算术教学大纲（草案）小学算术教学大纲（草案） 几何教学内容只包括：直线、线段、直角、几何教学内容只包括：直线、线段、直角、 长方形和正方形（包括面积）、长方体和正方长方形和正方形（包括面积）、长方体和正方 体（包括体积）等内容。体（包括体积）等内容。1956年年小学算术教学大纲（修订草案）小学算术教学大纲（修订草案） 增加：角、三角形及其面积等内容。增加：角、三角形及其面积等内容。 1963年年全日制小学算术教学大纲（草案）全日制小学算术教学大纲（草案） 又增加：垂线、平行线、平行四边形、梯又增加

5、：垂线、平行线、平行四边形、梯 形和圆（包括周长和面积）、圆柱、棱柱、圆形和圆（包括周长和面积）、圆柱、棱柱、圆 锥（包括体积）等内容，同时还学习一些简单锥（包括体积）等内容，同时还学习一些简单 的测量和作图。的测量和作图。 这是学习几何知识最多的一个大纲。这是学习几何知识最多的一个大纲。1978年年全日制十年制学校小学数学教学大纲全日制十年制学校小学数学教学大纲 （试行草案）（试行草案） 对对19631963年的大纲作了调整，删去了棱柱、棱年的大纲作了调整，删去了棱柱、棱 锥，增加了扇形。锥，增加了扇形。 1986年年全日制小学数学教学大纲全日制小学数学教学大纲 规定的几何学习内容与规定的几

6、何学习内容与19781978年的相同。年的相同。1992年年九年义务教育全日制小学数学教学大纲九年义务教育全日制小学数学教学大纲 （试用）（试用） 明确小学几何明确小学几何(初步知识初步知识)的性质的性质直观几何直观几何 “在小学是通过直观学习一些几何初步知识在小学是通过直观学习一些几何初步知识”，强调强调“几何初步知识的教学要充分利用和创造各种几何初步知识的教学要充分利用和创造各种条件，引导学生通过对物体、模型的观察、测量、条件，引导学生通过对物体、模型的观察、测量、拼摆、画图、制作、实验等活动，掌握形体的基本拼摆、画图、制作、实验等活动，掌握形体的基本特征和面积、体积的计算方法，并注意在实

7、际中应特征和面积、体积的计算方法，并注意在实际中应用，以利于培养初步的空间观念。用，以利于培养初步的空间观念。”指出空间观念形成的主要途径指出空间观念形成的主要途径突破突破“以求积为中心以求积为中心”的框子，加强空间观念的培养的框子，加强空间观念的培养 63 63大纲：大纲：几何知识内容虽多，但还是提出几何知识内容虽多，但还是提出“以四则以四则计算为中心计算为中心”，与其相应的几何初步知识是，与其相应的几何初步知识是“以求积为以求积为中心中心”，对空间观念的培养仍较忽视。，对空间观念的培养仍较忽视。9292大纲：大纲：首先回答了什么是空间观念，首先回答了什么是空间观念，又明确指出又明确指出 在

8、小学阶段培养初步空间观念的在小学阶段培养初步空间观念的“标高标高”：一是一是要求学生听到某一学过的几何图形的名称，就要求学生听到某一学过的几何图形的名称，就 能在头脑中正确地再现它的形象；能在头脑中正确地再现它的形象；二是二是能独立地看懂所画出的已学过的平面和立体图能独立地看懂所画出的已学过的平面和立体图 形，正确掌握他们的名称；形，正确掌握他们的名称；三是三是能够在各种图形或模型中，正确地找出自己所能够在各种图形或模型中，正确地找出自己所 需要的图形，恰当地进行分类。需要的图形，恰当地进行分类。使空间观念的培养任务得到落实。使空间观念的培养任务得到落实。从低年级起合理安排对几何形体的认识从低

9、年级起合理安排对几何形体的认识 从一年级起，每年都安排了几何知识的内从一年级起，每年都安排了几何知识的内容，知识由浅入深，要求从低到高，逐步积累容，知识由浅入深，要求从低到高，逐步积累空间观念。空间观念。 小学生对几何图形的认识都基本属于表象小学生对几何图形的认识都基本属于表象阶段，因此，一般只描述其某些特征，不作理阶段，因此，一般只描述其某些特征，不作理论性的证明，不下严格的逻辑定义。为了便于论性的证明，不下严格的逻辑定义。为了便于掌握教学要求，把它们由低到高分为：掌握教学要求，把它们由低到高分为：“直观直观认识认识”、“初步认识初步认识”、“认识认识”和和 “ “掌握特掌握特征征”四个层次

10、进行教学。四个层次进行教学。 “直观认识直观认识”: :看到有关图形、实物或模型，能初看到有关图形、实物或模型，能初 步认识其外形，说出名称。步认识其外形，说出名称。 “初步认识初步认识”: :较前者略高一些，能略知图形的较前者略高一些，能略知图形的一、一、 两个简单的特征。两个简单的特征。 “认识（知道）认识（知道）”: :较较“初步认识初步认识”又略高一些，又略高一些，知知 道图形一般特征。道图形一般特征。 “掌握掌握”: :知道图形本质特征。这是认识的最高层知道图形本质特征。这是认识的最高层 次，但仍不要求对概念下定义。次，但仍不要求对概念下定义。2000年年九年义务教育全日制小学数学教

11、学大纲九年义务教育全日制小学数学教学大纲 （试用修订版）（试用修订版） 使学生逐步形成简单几何形体的使学生逐步形成简单几何形体的形状形状、大小大小和和相互位置关系相互位置关系的表象，能够识别所学的几何形的表象，能够识别所学的几何形体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的培养初步的空间观念空间观念。 明确了几何初步知识明确了几何初步知识教学目标教学目标：对教学内容作了确定和安排：对教学内容作了确定和安排： 几何初步知识的内容应密切联系学生的生活实几何初步知识的内容应密切联系学生的生活实际，遵循儿童的认识规律，按照立体际，遵循儿童的认识规律，按

12、照立体平面平面立体的顺序安排，通过观察、测量、拼摆、画图等立体的顺序安排，通过观察、测量、拼摆、画图等实际活动，认识常见的简单的几何体的特征，会计实际活动，认识常见的简单的几何体的特征，会计算它们的周长、面积和体积，培养学生的空间观念。算它们的周长、面积和体积，培养学生的空间观念。求积计算的数据不应过繁。组合图形作为选学内容，求积计算的数据不应过繁。组合图形作为选学内容，只限于两个图形的组合。几何形体要从低年级起逐只限于两个图形的组合。几何形体要从低年级起逐步认识，合理安排。步认识，合理安排。二、几何初步知识教学的意义二、几何初步知识教学的意义1 1、有利于培养学生的空间观念，为进一步学习、有

13、利于培养学生的空间观念，为进一步学习 科学文化知识打下基础科学文化知识打下基础 把一个体积为把一个体积为6464立方厘米的正方体，切立方厘米的正方体，切割成割成 8 8个体积相等的小正方体，这些小正方个体积相等的小正方体，这些小正方体的表面积比原来正方体的表面积多多少平体的表面积比原来正方体的表面积多多少平方厘米？方厘米？解法一：解法一： 2 22 26 68 84 44 46 69696（平方厘米）（平方厘米）解法二：解法二： 4 44 46 69696（平方厘米）（平方厘米）2 2、有利于提高学生应用数学知识解决实际问题的能力、有利于提高学生应用数学知识解决实际问题的能力规划耕作面积时，首

14、先要丈量土地；规划耕作面积时，首先要丈量土地；绘制图纸时，要考虑到合理用料；绘制图纸时，要考虑到合理用料；选择最近路线时，要会看地图；选择最近路线时，要会看地图；布置房间时，要估计各种家具的体积；布置房间时，要估计各种家具的体积；铁道部规定每位旅客携带的行李外形大小铁道部规定每位旅客携带的行李外形大小 在教学中应多给学生一些结合实际的题目，在教学中应多给学生一些结合实际的题目，以提高解决实际问题的能力。以提高解决实际问题的能力。3 3、有利于培养学生初步的逻辑思维能力、有利于培养学生初步的逻辑思维能力 小学几何虽然是直观几何，但是，小学生在建小学几何虽然是直观几何，但是，小学生在建立空间观念、

15、掌握图形特征时，都是在积累的感性立空间观念、掌握图形特征时，都是在积累的感性认识的基础上，通过观察、分析、比较、综合、抽认识的基础上，通过观察、分析、比较、综合、抽象、概括实现的。尤其在通过几何变换求面积、体象、概括实现的。尤其在通过几何变换求面积、体积公式以及运用求积公式进行计算时，都必须进行积公式以及运用求积公式进行计算时，都必须进行一定的推理。一定的推理。三、不愿看到的现实三、不愿看到的现实 例例1、有一个长方体，长、有一个长方体，长5尺，宽和高都是尺，宽和高都是3尺，尺，它的体积是（它的体积是（ ），棱长之和是（），棱长之和是（ ）。）。 （北京市（北京市19801980年小学毕业和升

16、学考试试题）年小学毕业和升学考试试题）例例2、下列哪一个图形可以折成立方体？、下列哪一个图形可以折成立方体？ 全市抽样统计，第一问绝大多数都对，全市抽样统计，第一问绝大多数都对，第二问正确率仅第二问正确率仅31.931.9. . 例例3、下图是一个大正方形内挖去一个边长是、下图是一个大正方形内挖去一个边长是4.8厘米的小正方形后形成的图形。已知它的周长厘米的小正方形后形成的图形。已知它的周长是是52厘米，求原来大正方形的周长。厘米，求原来大正方形的周长。学生（共学生（共52人）：人）：（1）524.834.8（43人）人）（2）524.82 （5人）人）（3）524 （2人）人）（4）空着不做

17、）空着不做 （2人）人） 例例4、用立方块搭成立体，从左边看，形状、用立方块搭成立体，从左边看，形状是是 ，从正面看，形状是，从正面看，形状是 ，要搭成，要搭成这样的立体至少需要（这样的立体至少需要（ ）个立方块。）个立方块。案例长方形的周长计算2、想一想，你测量几次就能求出它 们的周长？为什么？ 1、测量计算长方形和正方形的周长。12+8+12+8122+82（12+8）29+9+9+9（9+9）294（长+宽） 2c=（a+b） 2?李华家想靠西墙围一个长李华家想靠西墙围一个长8米，米，宽宽4米的长方形养鸡场（如图）米的长方形养鸡场（如图）需要篱笆多长？需要篱笆多长？人数49人17人2人3

18、0人答 题情 况（8+6） 2-88 2+6多数是（8+6） 2失分率61.2%得分率38.8%过分强调c=（a+b） 2，对学生合理、灵活地解决实际问题没有多少帮助，反而束缚了其思维。案例平行四边形的面积计算8厘米8厘米8厘米6厘米6厘米6厘米5厘米长方形的面积=长宽平行四边形的面积=底高8分米12分米1.5米2.8米9厘米7厘米12米5米6米10米平行四边形面积计算的运用1、测量计算下面平行四边形的面积。2、计算下面图形的阴影部分面积。你想到了什么？18厘米9厘米22分米40分米30分米复习课（全册回顾）案例平面图形的面积计算1、想一想：你会求哪些平面图形的面积？ 请各做一个平面图形，测量

19、计算它们的面积。2、在纸上按一定的关系画出这些图形，并把 有关系的图形用线连起来。想一想：怎样 连最简单、明白？3、动动脑筋： 当梯形的上底为0时是什么图形？ 当梯形的上底等于下底时又是什么图形？长=宽割补拼凑q“课程标准课程标准”中的中的 “空间与图形空间与图形” 20012001年，教育部正式公布年，教育部正式公布全日制义务教育全日制义务教育国家数学课程标准（实验稿）国家数学课程标准（实验稿），将数学学习内容，将数学学习内容划分为四个学习领域：数与代数、划分为四个学习领域：数与代数、空间与图形空间与图形、统、统计与概率、实践与综合应用。计与概率、实践与综合应用。 在总结以往经验的基础上，在

20、总结以往经验的基础上，标准标准提出提出“几几何何”（空间与图形）学习最重要的目标是（空间与图形）学习最重要的目标是使学生更好使学生更好地理解自己所生存的世界，形成空间观念，地理解自己所生存的世界，形成空间观念，提出实现提出实现直观几何、坐标几何和论证几何并举存在直观几何、坐标几何和论证几何并举存在的格局。因的格局。因此，对传统的几何内容进行了较大幅度的改革。此，对传统的几何内容进行了较大幅度的改革。 一、课程学习目标一、课程学习目标 要发展学生的空间观念要发展学生的空间观念 空间观念主要表现：空间观念主要表现： 1 1、能由物体的形状想象出几何图形，由几何图形想象出、能由物体的形状想象出几何图

21、形，由几何图形想象出实物的形状，进行实物的形状，进行几何体几何体与其与其三视图三视图、展开图展开图之间的转化；之间的转化； 2 2、能根据条件做出立体模型或画出图形；、能根据条件做出立体模型或画出图形； 3 3、能从较复杂的图形中分解出基本图形，并能分析其中、能从较复杂的图形中分解出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系；的基本元素及其关系； 4 4、能描述实物或几何图形的运动变化；、能描述实物或几何图形的运动变化； 5 5、能采用适当的方式描述物体的位置关系；、能采用适当的方式描述物体的位置关系； 6 6、能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。、能运用图形形象地描述问题，利用直观来

22、进行思考。二、课程设计特点二、课程设计特点1、新、新课标课标在在“空间与图形空间与图形”的课程设计上有如的课程设计上有如下下 特点特点：以以“立体立体平面平面立体立体”为主要线索展开。为主要线索展开。强调与学生生活的联系。强调与学生生活的联系。适当拓宽活动的领域：包括图形认识、图形的变换、适当拓宽活动的领域：包括图形认识、图形的变换、 图形与位置等方面。图形与位置等方面。 以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强 调了学生的直观体验。调了学生的直观体验。注重发展学生的空间观念。注重发展学生的空间观念。发展对图形的审美意识。发展对图形的审美意识。2

23、、与、与大纲大纲相比，相比，标准标准发生巨大变化发生巨大变化标准标准加强加强的地方：的地方：加强平移、旋转、对称现象的认识加强平移、旋转、对称现象的认识。增加对图形相对位置的认识。增加对图形相对位置的认识。增加认识方向与路线图。增加认识方向与路线图。增加认识不规则的图形（如：土豆体积的计算）增加认识不规则的图形（如：土豆体积的计算）标准标准削弱削弱的地方：的地方：单纯的几何运算。单纯的几何运算。三、课程内容标准三、课程内容标准 “空间与图形空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的物体、几何体和平面图形的形状形状、大小大小、位置关位置关系及其变换系

24、及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。间并进行交流的重要工具。 各个学段的内容标准不同（详见各个学段的内容标准不同（详见“课程标准课程标准”）q从从“眼中之竹眼中之竹”到到 “手中之竹手中之竹” 1、郑板桥画竹：经历、郑板桥画竹：经历“眼中之竹眼中之竹”“胸中之竹胸中之竹” “手中之竹手中之竹”三个阶段。三个阶段。一、由郑板桥画竹而想到一、由郑板桥画竹而想到 “眼中之竹眼中之竹”对创作对象的意象积累；对创作对象的意象积累； “胸中之竹胸中之竹”将积累的意象重新组合、内将积累的意象重新组合、内化于心，做到胸有成竹；化于心，做到胸有成竹；

25、“手中之竹手中之竹”画家创造性思维的物化，注画家创造性思维的物化，注意形似，力求神似。意形似，力求神似。2、小学生要学好几何初步知识，也必须经历这、小学生要学好几何初步知识，也必须经历这 三个阶段。三个阶段。 学生：从学生：从“眼中之竹眼中之竹”到到“手中之竹手中之竹”是学习是学习“空间与图形空间与图形”的必由之路。的必由之路。 教师：要从中设法引导，促成学生从教师：要从中设法引导，促成学生从“眼中眼中之竹之竹”过渡到过渡到“手中之竹手中之竹”。 帮助学生丰富帮助学生丰富“眼中之竹眼中之竹” 引导学生形成引导学生形成“胸中之竹胸中之竹” 诱发学生创造诱发学生创造“手中之竹手中之竹”二、帮助学生

26、丰富二、帮助学生丰富“眼中之竹眼中之竹” 学生学生“眼中之竹眼中之竹”指的是空间观念，它是现指的是空间观念，它是现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换在人脑中的表象。小、位置关系及其变换在人脑中的表象。丰富下列各空间观念：丰富下列各空间观念：1、形状形状形体的本质特征及相应表象。形体的本质特征及相应表象。2、大小大小对平面或空间在数量上的占有。对平面或空间在数量上的占有。例例5、教学面积和面积单位（、教学面积和面积单位（案例案例）比较左边两个图形的大小比较左边两个图形的大小a a、肉眼看、肉眼看b b、用单位度量、用单位度量学

27、习了面积和面积单位以后。学习了面积和面积单位以后。b b、估计以上两个图形的面积，再用单位测量，比较两次、估计以上两个图形的面积，再用单位测量，比较两次 得到的结果。得到的结果。a a、不用尺，画一个面积大约是、不用尺，画一个面积大约是2 2平方分米的图形（平方分米的图形（外化外化）3、结构结构形体的基本元素及其构成方式形体的基本元素及其构成方式。4、位置关系位置关系形体间的相对空间关系（方位、形体间的相对空间关系（方位、 顺序）。顺序）。例例6、 例例7、认识长方体和正方体以后，安排连线、认识长方体和正方体以后，安排连线找朋友练习：找朋友练习： 图形图形 侧面侧面 上面上面 正面正面 例例8

28、、一个立体，由、一个立体，由10块立方块堆成，从块立方块堆成，从正面看，形如正面看，形如 ，这个形体可以怎么堆，这个形体可以怎么堆放？若增加放？若增加1块，但从正面看的形状不变，可块，但从正面看的形状不变，可以怎么放？以怎么放？例例9： 商店的货架上放着各种各样的茶杯商店的货架上放着各种各样的茶杯(大小、形大小、形状、颜色各异状、颜色各异)，选出图中你所喜欢的杯子，并说出，选出图中你所喜欢的杯子，并说出位置。位置。例例10、模拟活动：到电影院看电影、模拟活动：到电影院看电影如何表示图中打如何表示图中打 的位置。的位置。给你一张电影票：在给你一张电影票：在“电影院电影院”中找位置。中找位置。小小

29、 机机 灵灵 电电 影影 院院47 假如你去看电影，你觉得买哪个位置的电影假如你去看电影，你觉得买哪个位置的电影 票比较好？票比较好？例例11：方向和路线：方向和路线如图，电影院在永春街的哪面？如图，电影院在永春街的哪面？例例12、下面是一幅农场的平面图。根据图上的、下面是一幅农场的平面图。根据图上的 信息，回答以下问题：信息，回答以下问题： (1)与牛棚占有土地面积几乎相等的是与牛棚占有土地面积几乎相等的是 a、果园、果园 b、牧牛场、牧牛场 c、麦田、麦田 d、橄榄园、橄榄园 (2)(2)农场主的儿子在图的正中央画了一条线，并农场主的儿子在图的正中央画了一条线，并 把经过的物体画了下来，下

30、面哪幅图最能显把经过的物体画了下来，下面哪幅图最能显 示他所画的哪条线？示他所画的哪条线？5、变换变换形体运动、变化的过程、结果与联系。形体运动、变化的过程、结果与联系。例例13：通过怎样变换得到？通过怎样变换得到？例例14：将对称轴右边的图形画出来。：将对称轴右边的图形画出来。对称轴对称轴 例例15、要使下图成为上下对称、左右对称、要使下图成为上下对称、左右对称的图案，可以怎样增加彩色圆点？的图案，可以怎样增加彩色圆点？三、引导学生形成三、引导学生形成“胸中之竹胸中之竹”1、及时对比，突出差异，增强空间观念的清晰性。、及时对比，突出差异，增强空间观念的清晰性。例例1717、哪只小兔最先拿到萝

31、卜？、哪只小兔最先拿到萝卜？ 例例16、面积单位与长度单位比较、面积单位与长度单位比较2、及时类比，异中求同，突出几何图形之间的逻、及时类比，异中求同，突出几何图形之间的逻 辑关系。辑关系。例例18、 设法引导学生揭示新旧知识之间的联系，实现设法引导学生揭示新旧知识之间的联系，实现 知识迁移，从而顺利地掌握新知。知识迁移，从而顺利地掌握新知。 用联系变化的观点及时对知识进行组块，用联系变化的观点及时对知识进行组块，引导学生揭示知识间的内在联系，形成知识网引导学生揭示知识间的内在联系，形成知识网络，建立起比较完整的知识体系。络，建立起比较完整的知识体系。h例例19、ahbb = 0=abh21s

32、=(a+ 0)h= ah21s= (a+b)h2121s=(a+ a)h=ahaa3、通过求积计算，反过来巩固和加深对几、通过求积计算，反过来巩固和加深对几 何形体的认识。何形体的认识。 四、诱发学生创造四、诱发学生创造“手中之竹手中之竹”1、重视教给学习策略。、重视教给学习策略。例例20、等积变形等积变形 例例21：如图，正方形的边长是：如图，正方形的边长是5厘米，空白厘米，空白部分的梯形面积比空白部分三部分的梯形面积比空白部分三 角形的面积大角形的面积大12平平 方厘米，方厘米，ce3厘米，求厘米，求cf的长度。的长度。2、培养估计的能力、培养估计的能力例例22、例例23、例例24、3、充分挖掘教材例题、习题的智力因素。、充分挖掘教材例题、习题的智力因素。例例25、求组合图形的面积（单位：厘米）、求组合图形的面积（单位：厘米）810414 例例2626： 学校有一块长学校有一块长4040米的正方形空地，米的正方形空地，现要在这块空地上建造一个花圃，使种植花草现要在