与圆有关的最值问题[青松教学]

1、1C类学堂一、到圆心距离的最值问题一、到圆心距离的最值问题;二、到圆上一点距离的最值问题二、到圆上一点距离的最值问题;三、与圆上一点的坐标有关的最值问题三、与圆上一点的坐标有关的最值问题;四、与圆半径有关的最值问题四、与圆半径有关的最值问题.2C类学堂一、到圆心距离的最值问题：一、到圆心距离的最值问题：2213480,221 0,PxyPA PBxyxyA BCPACB 例：已知 是直线上的动点，是圆的两条切线,是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。221111,1 ,1xyCr解：已知圆可化为：圆心半径22221PACBPACSSPAACPCrrPC3C类学堂PACBSPCPC求的最小值就是

2、求的最小值，而的最小值就是圆心到直线的距离.223483349 12 2dS 所求面积的最小值为点评：求切线长时总是转化为到圆心的距离和半径来求解。4C类学堂二、到圆上一点距离的最值问题：二、到圆上一点距离的最值问题：2221:250PxyQl xyPQ 例 ：已知 是圆上一点， 是直线上一点，求的最小值。0,01,CrCHlH解：圆心,半径作与.PQCQCQCQCH求圆上一点 到 的距离可以转化为圆心 到 的距离，而的最小值就是圆心到直线的距离5C类学堂点评：到圆上一点距离的最值问题总是转化为到圆心距离的最值问题。221100515112PQCQCH PQ的最小值为 5-16C类学堂2222

3、31,0 ,1,0344ABxyPPAPBP例：已知定点和圆上的动点 ，求使最值时点 的坐标。22222222,1121P x yPAPBxyxyxy解：设三、与圆上一点的坐标有关的最值问题：三、与圆上一点的坐标有关的最值问题：2222344xyxyPO上式中相当于在上的点 到原点 的距离的平方。7C类学堂 220,0 , 3,4OP x yxy作图不难知道，当共线时,有最值。22229 12,5521 28,55PxyPxy易求得时,最小为20求得时,最大为1008C类学堂2222,(1)1,21 34 2 31x yxyyxyxyx练习1：求实数满足求下列各式的最值：（）（ ）（ ）cos

4、1,1 sin343cos44sin5sin()43491xyxyxy 解：（）法一：令则的最大值为 ，最小值为34,3 04 11,45,9153491xyttttxy 法二：设直线与圆相切时取最值于是或的最大值为 ，最小值为9C类学堂22222221:cos(1 sin)22sin40 xyxy解：（ ）法一：由（）知的最大值为 ，最小值为2222,(1)1,21 34 2 31x yxyyxyxyx练习1：求实数满足求下列各式的最值：（）（ ）（ ）2222222()(1)1xyxyxy法二：可看作圆上的点到坐标原点距离的平方的最值，亦可求解yxo110C类学堂231:3sin,sinc

5、os31cos1sin()3kkkkk解：（ ）法一：由（）知得即2222,(1)1,21 34 2 31x yxyyxyxyx练习1：求实数满足求下列各式的最值：（）（ ）（ ）22334sin(),1,3112413kkkkkyx 则有最小值为 ，无最大值11C类学堂222( 2)1( 1)(1)1( 1, 2)yyxxxyP 法二：可看作圆上的点与两点的连线的斜率最值，结合图形可求解yxo),(P21 112C类学堂四、与圆半径有关的最值问题：四、与圆半径有关的最值问题：2204134312xx yy xxyxy例： 设，满 足求的 最 小 值 。222131,3.xyrCr解：设则圆心

6、,半径为243120 xyrr由图观察知，当圆与直线相切是，半径 最小，即 最小。OXYY=X4x+3y=1213C类学堂22249 121543125drr由圆心到直线的距离等于半径，得：2213xy 1的 最 小 值2522222xaybxaybr点评：在线性规划中，求形如的最值问题，总是转化为求圆半径平方的最值问题。14C类学堂 2224301 .2 .,CxyxyCxyCP x yPMMOPMPOPMP练习2：已知圆 ：若圆 的切线在 轴和 轴上截距相等，求切线的方程；从圆 外一点向圆引切线，为切点， 为坐标原点，且，求使最小的点 的坐标。15C类学堂222226126kkkyx 由点

7、到直线的距离公式得：切线方程为 221221,2 ,2CxyCr解： 1 .圆 可化为：圆心半径Cxyab设圆 的切线在 轴和 轴上的截距分别为 、00abykxkxy当时，切线方程可设为即16C类学堂2212211131030aaaxyxy 由点到直线的距离公式得：或切线方程为或010 xyababxya当时，切线方程可设为即26,1030yxxyxy 总之，所求切线方程为或17C类学堂222223229564PMPOxyyyyy 222222,MCPMPCMCPMPOPCMCPO2 .连结则2222122322k xyxyxy即631053333 32,521010 5yPMxP 当时，最

8、小，18C类学堂 222210,2,2 .1 .2222 .CxyxylxyA BOOAa OBb abClabABAOB 例5：已知与曲线 ：相切的直线 交 轴, 轴于两点， 为原点,求证曲线 与直线 相切的条件是；求线段中点的轨迹方程；3 求的面积的最小值。19C类学堂221,11222abababab圆心到直线的距离等于1的充要条件是 221.10111xyla bbx ay abCxy证明：直线的方程为即曲线 的方程为20C类学堂 2 .,ABM x y设中点为则由中点坐标公式得2222axaxbbyy 222221112xyxyM代入 1 的结论:这便是中点 的轨迹方程。21C类学堂

9、 113 .2 222AOBSaba b 1223abab 322232 232 2AOBabS的最小值为22C类学堂0,0 ,4,0 ,0,3,ABCABCPPA PB PC练习3：已知三个顶点坐标，点 是它的内切圆上一点，求以为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。YXCPAB23C类学堂ABCABCARt解：的三边长分别为3,4,5是以 为直角顶点的22221,111112210rxyxyxy 内切圆的圆心，半径内切圆的方程为即,Px y设 点坐标为2222222224434112SPAPBPCxyxyxyxmaxmin021190222xxSxS当时，；当时，24C类学堂4(1)2(2

10、)3:1(1)(2):20yxl xy练习 ：设圆满足： 截 轴所得弦长为 ；被 轴分成两圆弧，其弧长比为。在满足条件的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程。( , ),|,|.C a brCxyba解法一：设圆心,半径 则 到 轴, 轴距离分别为2Cx由已知应有圆 截 轴所得劣弧的圆心角为2y截 轴所得弦长为|2 |:205abCl xyd圆心 到直线的距离222|22brbr故即221ar 得2212ab 得25C类学堂2222112(1)(1)2xyxy所求圆方程：或22222222225|2 |4442()21dabaabbababbamin55abd“”当且仅当时成立，此时2212abab 1111aabb 或2r4(1)2(2)3:1(1)(2):20yxl xy练习 ：设圆满足： 截 轴所得弦长为 ；被 轴分成两圆弧，其弧长比为。在满足条件的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的