指数与指数函数

1、要点梳理要点梳理1.1.根式根式（1 1）根式的概念）根式的概念 如果一个数的如果一个数的n n次方等于次方等于a a（n n1 1且且n nn n* *），那么这），那么这 个数叫做个数叫做a a的的n n次方根次方根. .也就是，若也就是，若x xn n= =a a，则，则x x叫做叫做 _,_,其中其中n n1 1且且n nn n* *. .式子式子 叫做叫做_,_, 这里这里n n叫做叫做_，a a叫做叫做_. _. 2.4 2.4 指数与指数函数指数与指数函数 a a的的n n次方根次方根na根式根式根指数根指数被开方数被开方数基础知识基础知识 自主学习自主学习（2 2）根式的性质）

2、根式的性质 当当n n为奇数时为奇数时, ,正数的正数的n n次方根是一个正数，负数的次方根是一个正数，负数的 n n次方根是一个负数，这时，次方根是一个负数，这时，a a的的n n次方根用符号次方根用符号_ 表示表示. . 当当n n为偶数时，正数的为偶数时，正数的n n次方根有两个，它们互为次方根有两个，它们互为 相反数相反数, ,这时，正数的正的这时，正数的正的n n次方根用符号次方根用符号_表示表示, , 负的负的n n次方根用符号次方根用符号_表示表示. .正负两个正负两个n n次方根次方根 可以合写为可以合写为_（a a0 0）. . =_. =_. nananananna)(a

3、a当当n n为奇数时，为奇数时， =_;=_;当当n n为偶数时，为偶数时， =_.=_.负数没有偶次方根负数没有偶次方根. . 2.2.有理数指数幂有理数指数幂(1)(1)幂的有关概念幂的有关概念正整数指数幂：正整数指数幂： （n nn n* *）；）；零指数幂：零指数幂：a a0 0=_=_（a a00）；）；负整数指数幂：负整数指数幂：a a- -p p=_=_（a a00，p pn n* *）；）；nna|aann)0()0(aaaaa a个个nnaaaa 1 1pa1正分数指数幂：正分数指数幂： =_=_（a a00，m m、n nn n* *， 且且n n11）；）；负分数指数幂：

4、负分数指数幂： = = (= = (a a0,0,m m、n n n n* *, ,且且n n1).1).0 0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于_，0 0的负分数指数幂的负分数指数幂 _._.（2 2）有理数指数幂的性质）有理数指数幂的性质 a ar ra as s= = _(_(a a0,0,r r、s sq q);); ( (a ar r) )s s= = _(_(a a0,0,r r、s sq q);); ( (abab) )r r= = _(_(a a0,0,b b0,0,r rq q). ). nmanmanmanma1nma1a ar r+ +s sa ars rsa ar r

5、b br r0 0没有意义没有意义3.3.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质 y y= =a ax xa a1100a a100时时,_;,_;x x000时时,_;,_;x x011y y1100y y1100y y11减函数减函数增函数增函数基础自测基础自测1.1.已知已知a a 则化简则化简 的结果是的结果是 （ ） a. b. a. b. c. d. c. d. 解析解析,4142) 14(a14 a14 aa41a41.41)41 ()41 () 14(212244aaaac2.2.下列函数中，既是偶函数又在（下列函数中，既是偶函数又在（0 0，+）上单调递）上单调递 增的是增

6、的是 （ ） a.a.y y= =x x3 3 b.b.y y=-=-x x2 2+1+1 c. c.y y=|=|x x|+1 d.|+1 d.y y=2=2-|-|x x| | 解析解析 因为因为y y= =x x3 3是奇函数，从而可排除是奇函数，从而可排除a a，因为函数，因为函数 y y=-=-x x2 2+1+1及及y y=2=2-|-|x x| |在（在（0 0，+）上单调递减，所以排）上单调递减，所以排 除除b b、d. d. c题型一题型一 指数幂的化简与求值指数幂的化简与求值【例例1 1】计算下列各式：计算下列各式：.)()();()()(;)()(;)()().)(.33

7、312248436235491325129721252702701323234316561312121320503132bbababababbababa 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析 先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算算性质进行计算. .解解 .44)3()6(2)3(. 1)25(1)25()25(125)2(.100935351009925)27125()3 . 0() 1 (06531216121322312aabba原式原式原式思维启迪思维启迪 根式运算或根式与指数式混合运算时根式运算或根式与指数式混合运算时, ,将将根式化为指

8、数式计算较为方便，对于计算的结果，不根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果据要求写出结果. .但结果不能同时含有根号和分数指但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数数，也不能既有分母又含有负指数. . .)(224)24)(2(224)8()4(331313131313131313231313232313132313131313131313231313231bbbbbbbabbbaabbaababbbbabbaabab原式探究提高探究提高知能迁移知能迁移1 1

9、.),()(;)()()().()(的值的值求求若若化简：化简：xxxxxxaxaa42421212972710270122212121021231 解解.)1(1)1(1,)1(2)1(4)1()21)(21()4(4, 21,)2(.45135493101)925(7)000127() 1 (2222222221212121231aaaaaaaaaaaaaaaaaaaxxxxaaxaax原式得由原式题型二题型二 指数函数的性质指数函数的性质【例例2 2】(12(12分分) )设函数设函数f f( (x x)= )= 为奇函数为奇函数. . 求：求：（1 1）实数）实数a a的值；的值；（2

10、 2）用定义法判断）用定义法判断f f（x x）在其定义域上的单调性）在其定义域上的单调性. . 由由f f（- -x x）=-=-f f（x x）恒成立可解得）恒成立可解得a a的值的值; ; 第第(2)(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可. .思维启迪思维启迪1222xxaa解解 (1)(1)方法一方法一 依题意，函数依题意，函数f f（x x）的定义域为）的定义域为r r， f f（x x）是奇函数，）是奇函数，f f（- -x x）=-=-f f（x x），）， 2 2分分2(2(a a-1)(2-1)(2x x+1)=0+1)=0，a a

11、=1. 6=1. 6分分方法二方法二 f f( (x x) )是是r r上的奇函数，上的奇函数，f f(0)=0(0)=0，即，即 a a=1. 6=1. 6分分（2 2）由）由(1)(1)知，知， 设设x x1 1 )f f( (x x1 1),),f f( (x x) )在在r r上是增函数上是增函数. 12. 12分分 (1)(1)若若f f( (x x) )在在x x=0=0处有定义处有定义, ,且且f f( (x x) )是奇函是奇函数数, ,则有则有f f(0)=0,(0)=0,即可求得即可求得a a=1.=1.（2 2）由）由x x1 1 x x2 2推得推得 实质上应用了函数实

12、质上应用了函数 f f（x x）=2=2x x在在r r上是单调递增这一性质上是单调递增这一性质. . , 0) 12)(12()22(2)1221 ()1221 (12121212)()(121212112212xxxxxxxxxxxfxf则,2221xx探究提高探究提高知能迁移知能迁移2 2 设设 是定义在是定义在r r上的函数上的函数. .（1 1）f f（x x）可能是奇函数吗？）可能是奇函数吗？（2 2）若）若f f（x x）是偶函数，试研究其单调性）是偶函数，试研究其单调性. . 解解 (1)(1)方法一方法一 假设假设f f( (x x) )是奇函数是奇函数, ,由于定义域为由于

13、定义域为r r, , f f（- -x x）=-=-f f（x x）, ,即即 整理得整理得 即即 即即a a2 2+1=0,+1=0,显然无解显然无解. . f f（x x）不可能是奇函数）不可能是奇函数. . ),ee(eexxxxaaaa,)e)(e(01 xxaa, 01aaxxaaxfee)(方法二方法二 若若f f( (x x) )是是r r上的奇函数，上的奇函数，则则f f(0)=0,(0)=0,即即f f( (x x) )不可能是奇函数不可能是奇函数.(2)(2)因为因为f f( (x x) )是偶函数，所以是偶函数，所以f f(-(-x x)=)=f f( (x x),),即

14、即整理得整理得 又又对任意对任意x xr r都成立，都成立，有有 得得a a= =1.1.当当a a=1=1时，时，f f( (x x)=e)=e- -x x+e+ex x, ,以下讨论其单调性，以下讨论其单调性，任取任取x x1 1, ,x x2 2r r且且x x1 1 x x2 2, , ,eeeexxxxaaaa, 0)e)(e1(xxaa, 01aa, 01无解aa当当 f f( (x x1 1)00，即增区间为，即增区间为0,+),0,+),反之反之(-,0(-,0为减区间为减区间. .当当a a=-1=-1时，同理可得时，同理可得f f( (x x) )在（在（-，0 0上是增函

15、数，上是增函数，在在0 0，+）上是减函数）上是减函数. . ,ee ,ee,ee)(ee(eeeee)()(0012121212121221121 xxxxxxxxxxxxxxxfxf其中其中则则, 01e21xx1.1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的 无限伸展性，无限伸展性，x x轴是函数图象的渐近线轴是函数图象的渐近线. .当当00a a111，x x-时时, ,y y0;0;当当a a11时，时， a a的值越大，图象越靠近的值越大，图象越靠近y y轴，递增的速度越快；轴，递增的速度越快； 当当00a a10,0,a a1)1)

16、的图象和性质与的图象和性质与a a的取值的取值 有关，要特别注意区分有关，要特别注意区分a a11与与00a a11,1,b b01,1,b b00 c.0 c.0a a1,00 d.0 d.0a a1,1,b b0 0 解析解析 由图象得函数是减函数，由图象得函数是减函数，00a a1.0,0,即即b b0.00且且a a1)1)的图象关于直的图象关于直 线线x x=1=1对称，则对称，则a a=_.=_. 解析解析 g g（x x）上的点）上的点p p（a a，1 1）关于直线）关于直线x x=1=1的对称的对称 点点p p(2-(2-a a,1),1)应在应在f f( (x x)=)=a a- -x x上，上， 1=1=a aa a-2-2.a a-2=0,-2=0,即即a a=2. =2. 2 24.4.设函数设函数f f( (x x)=)=a a-|-|x x| | ( (a a00且且a a1),1),若若f f(2)=4(2)=4，则，则f f(-2) (-2) 与与f f(1)(1)的大小关系是的大小关系是_._. 解析解析 由由f f(2)=(2)=a a-2-2=4,=4,解得解得a a= = f f( (x x)=2)=2| |x x| |,f f(-2)=42=(-2)=42=f f(1). (1). f f