外接球与内切球半径

1、一丶外接球半径：A1AB1C1BC1.如上图，圆柱丶直三棱柱A1B1C1-ABC 丶三棱锥A1-ABC 丶四棱锥A1-B1C1CB 的外接球都是同一个球，外接球半径均为：2?)2R= ?+ (2其中： r 为圆柱底面半径， h 为圆柱的高。 同时，圆柱两底面分别为 A1B1C1 和 ABC 的外接圆，由此可得出如下结论：（1）圆柱的外接球半径为：2?)2R= ?+ (2其中： r 为圆柱底面半径， h 为圆柱的高。（2）直三棱柱 A1B1C1-ABC 的外接球半径为 2?)2R= ?+ (2其中： r 为三棱柱底面三角形外接圆半径，h 为棱柱的高。（3）有一条棱与底面垂直 的三棱锥 A1-AB

2、C 的外接球半径为： 2?)2R= ?+ (2其中： r 为棱锥底面三角形外接圆半径，h 为与底面 ABC 垂直的棱 A1A 的长度。（ 4）有一侧面与底面垂直 （侧面 A1B1C1底面 B1C1CB）且底面为矩形 的四棱锥 A1- B 1C1CB 的外接球半径为：R = 2?)2?+ (2其中：r 为棱锥中与底面垂直的侧面A B C 外接圆的半径，h 为与侧面 A B C11111垂直的矩形的边 BB 的长度。1注：三角形外接圆半径可由正弦定理推导，即?=?= 2?sin ? sin ? sin ?其中， r 为三角形外接圆半径。2.正三棱锥 ：以棱长为 a 的正三棱锥外接球半径推导为例：对

3、于棱长为 a 的正三棱锥，其外接球如图:过A作AO底面 BCD，则 O为 BCD 的外接圆A11圆心， DE 为 BC 边中线，且三棱锥圆心O在AO1上。BOD在等边 BCD 中， DE=3?EO1C2故 DO1= 23 ?= 33 ?22 232611-(?) =?在 RtAD O 中， A O =?=? -?133因 O 为球心，故 OD=OA=R222可得：由 DO1+OO 1 =DO32622(?)+(3?- ?) = ?3解得： R=6 ?43.正四棱锥 ：正四棱锥的外接球球心也在底面正方形对角线交点与顶点连线上，同正三棱锥外接球球心半径推导过程。可得：棱长为 a 的正四棱锥，其外接

4、球半径为2R=?2注：棱长为2a 的正四棱锥的高为 ?，故正四棱锥的外接球球心即为底面2正方形对角线交点。4.长方体 ：长方体外接球的球心为其体对角线的中点对于长宽高分别为 a.b.c 的长方体，其外接球半径为：222?+ ?+ ?R =2特别地：对于正方体，其长宽高均为a，故其外接球半径为3R=?2注：对于一般几何体可建立直角坐标系，根据球心到各顶点距离相等建立方程组求解。二丶内切球半径1. 正方体 ：正方体内切球球心位于其 体对角线中点 处，对于边长为 a 的正方体，其内切球半径?R =22. 正三棱锥 ：正三棱锥内切球球心到各面距离均为R（ R 为内切球半径），故以内切球球心为顶点，各面

5、为底面将其分成4 个三棱锥。（其中 3 个以侧面为底的三棱锥体积相同，当棱长均为a 时，分成的 4 个三棱锥体积均相同）对于边长为 a 的正三棱锥，各面均为边长为a 的正三角形，内切球球心到各面距离均为 R，故由分成的小三棱锥体积和等于正三棱锥体积可得：11×S ×R ×4 = ×?×?33其中， S 为正三棱锥各面面积，h 为正三棱锥的高且 h= 6?3故R=6 ?123.正四棱锥 ：推导方法同正三棱锥内切球半径推导一样，以内切球球心为顶点，各面为底面将正四棱锥分成4 个体积相等的三棱锥和一个四棱锥。（其中 4个以侧面为底的三棱锥体积相同）1

6、2°=3 2侧面面积为 ? =×? ×sin 60?124底面面积为 ?22= ?故由体积不变得：1×? ×?×4 +11×? ×h×? ×?=313232其中， h 为正四棱锥的高，且 h =2?2故6-2?R = 44.直三棱柱：直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，故直三棱柱内切球半径 R 等于底面三角形内切圆半径r ，又因为内切球到上下底面距离相等且都为 R，故仅有满足h=2r 的直三棱柱有内切球，其中，h 为直三棱柱的高。三角形内切圆半径求法如下：如图，设三角形三边长分别为a.b.c，其内切圆圆心为O，以 O 为顶点， 3 边为底边将其分成3 个三角形，O由于 O 点到三边距离均为 r ，故三个三角形的高均为 r ，由面积不变得：1× (?