第五章正弦稳态电路的相量分析

1、第五章 正弦稳态电路的相量分析5-1 学习要求（1）理解正弦量的定义、时域表示形式及有关的概念与定义；（2）了解复数的定义及表示形式，能熟练地对复数进行加、减、乘、除运算；（3）理解和撑握正弦量的相量表示，并能进行时域表示与相量表示的相互变换；（4）理解和掌握电路元件伏安关系的相量形式，会根据时域电路模型画出相对应的相量电路模型，会画相量图；（5）理解和掌握KVL、KCL的相量形式，并会应用；（6）理解和掌握阻抗与导纳的定义及其物理意义，并会计算。能对阻抗与导纳进行相互等效变换。会求解一端口电路的输入阻抗；（7）会用相量分析法对正弦稳态电路进行分析计算；（8）会计算正弦稳态电路中的功率，包括平

2、均功率、无功功率、视在功率和复功率；（9）理解和掌握最大功率传输定理的内容与意义，并会应用解决非具体问题；（10）理解和掌握功率因数意义及提高功率因数的方法。5-2 主要内容1、正弦量与正弦稳态（1）按照正弦函数或余弦函数规律变化的物理量都称为正弦量。如正弦电流在时域内可表示为电流随时间的变化规律，由振幅、初相位和角频率来确定，故这个3个量称为正弦量的三要素。角频率与周期和频率之间的关系为（2）正弦量的相位差设同频率的正弦电压和电流分别为， 则两者的相位差是一常量，等于两者的初相位之差。即若，则称在相位上超前一个角；若，则称在相位上滞后一个角；若，则称与同相；若，则称与相位正交；若，则称与反相

3、位。初相位随计时起点改变而改变，而相位差则保持不变，两者均在范围内取值。（3）正弦量的有效值正弦的有效值是它的均方根值（rms）。以电流为例，它的有效值为若，即按正弦规律变化，则有同理， 2、正弦量的相量表示用以表示正弦量的复数或复指数函数称为相量。（1）正变换：由正弦量的时间函数 相量 式中，称为正弦电流的有效值相量，简称为电流相量，而称为正弦电流的最大值相量。所以，有 或 或 （2）反变换：由相量 正弦量的时间函数。将最大值相量乘以旋转因子，再取实部即得正弦函数。如，已知电流相量（3）相量变换性质线性性质：微分性质： 积分性质： （4）相量图：相量在复平面上可用有方向的线段表示，这种图称为

4、相量图。1、 KVL和KCL的相量形式表5-1 KVL和KCL的相量形式和相量形式名称KVLKCL时域形式相量形式4、R、L、C元件伏安关系的相量形式与相量图表5-2 R、L、C元件伏安关系的相量形式与相量图元 件时域形式相量形式相量图电 路伏安关系电 路伏安关系电阻R电感L电容C5、阻抗与导纳（1）线性非时变无源一端电路的阻抗定义为导纳定义为对于已知的一端口电路，在同一频率下，阻抗和导纳互为例数关系，即 或 如果采用代数形式表示阻抗和导纳，即，则它们之间的关系为或 （2）阻抗的串联与并联串联： 并联： （3）导纳的并联与串联并联： 串联： （4）电阻、电感、电容元件及RLC电路的阻抗与导纳表

5、5-3 R、L、C元件及RLC电路的阻抗与导纳阻抗Z导纳Y电阻R电感L电容CRLC串联电路RLC并联电路6、正弦稳态电路分析由于相量形式的KVL、KCL和欧姆定律，在形式上与电阻电路中的KVL、KCL和欧姆定律完全相同，因此关于电阻电路的分析方法（支路电流分析法、支路电压分析法、网孔分析法、回路分析、节点分析法）、定理（齐次定理、叠加定理、替代定理、戴维南定理、诺顿定理、互易定理、特勒根定理）以及电路的各种等效变换的原则等等，均适用于正弦电流电路的稳态分析，只是此时所有的电路均采用相量表示，各支路和元件用阻抗或导纳表示，用相量模型电路列写电路方程，相应的运算方法为复数运算。正弦稳态电路分析方法

6、为（1）先画出时域电路的相量电路模型。在相量电路模型中，电压、电流用相量表示，电感元件的参数为，电容元件的参数为；（2）根据电路的结构特点，选用合适、简便的电路分析计算方法列写电路的相量方程；（3）用复数运算法则求解相量方程（4）将所求得的电压、电流相量进行反变换求出解的时域形式，即所求的电压、电流的正弦时间函数形式。7、正弦稳态电路功率（1）瞬时功率设，则瞬时功率为（2）平均功率（3）无功功率（4）视在功率（5）复功率对于正弦稳态电路，复功率守恒，因此电路中的平均功率和无功功率也分别守恒。元件和二端口电路的功率如表5-4所示表5-4 元件和二端口电路的功率功率类型有功功率（W）无功功率（VA

7、R）视在功率（）功率因数复功率（）元件RLC二端口电路功率守恒（6）最大功率传输定理设负载连接在一端电路N上，N可等效为戴维南电路，其开路电压为和等效阻抗，则负载获得最大功率的条件为：若负载电阻和电抗均可独立地变化，则当时，负载可获得最大功率，称为共轭匹配，最大功率为此时电路的传输效率只有50%。若负载阻抗固定而模可改变，则当时，可获得最大功率，称为模匹配。（7）功率因数改善功率因数是电压和电流相位差的余弦函数，定义为式中表示电压超前电流的相位角，也称为功率因数角。功率因数也是负载阻抗角的余弦函数，或者是有功功率与无功功率之比，若电流滞于电压（电感性负载），则功率因数是滞后的；若电流超前电压（

8、电容性负载），则功率因数是超前的。在电力系统中提供电能的发电机是按发电机的容量设计的。当时，发电机输出的平均功率小于其容量，发电机得不到充分利用，应该设法提高负载的功率因数。提高功率因数，一般采用在感性负载上并联电容的方法。设感性负载的端电压和平均功率分别为U和P，若要将功率因数从提高到，需要并联的电容的大小为在工程中，通常并不把功率因数提高到，而是提高到左右，以防止电路中产生并联谐振现象。5-3 习题解答5-1 将下列相量的直角坐标表示转化为极坐标表示。（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）解：（1）所以 （2）所以 （3）所以 （4）所以 （5）所以 （6）所以 5-2 若

9、已知两个同频率正弦电压的相量分别为，其频率。求：（1）求出、的时域形式；（2）与的相位差。解：（1） （2）因为，。所以相位差为，即和同相位。5-3 已知：，。（1）画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率和周期；（2）写出它们的相量和画出其相量图，求它们的相位差；（3）如果把电压的参考方向反向，重新回答（1）、（2）。解：（1）波形图如题图5-0（a）所示题图5-0 有效值 频率为 周期为 （2）和的相量形式分别为故它们的相位差为 相量图如题图5-0（b）所示。（3）若的参考方向反向，即变成，有效值、频率和周期均不变，的相量为故它们的相位差为 波形图和相量图如题图5-0（b）所示。5-4 在

10、关联方向下，某一元件的电压、电流分别为下述4种情况时，它可能是什么元件？（1）（2）（3）（4）解：可根据电压、电流相量形式的相位差及大小来判断元件的性质。（1）把电流变为余弦形式有则对应的电压、电流相量分别为所以，有 即电压与电流同相位，根据元件的电压与电流相位关系可知该元件为一个的电阻元件。（2）把电压变为余弦形式有则对应的电压、电流相量分别为所以，有 即电压相量滞后电流相量，根据元件的电压与电流相位关系可知为一个电容元件。（3）把电流变为余弦形式则对应的电压、电流相量分别为所以，有 即电压相量超前电流相量，根据元件的电压与电流相位关系可知为一个电感元件。（4）电压和电流相量分别为所以，有

11、 即电压相量超前电流相量，根据元件的电压与电流相位关系可知，它不可能是一个元件。根据电感元件的电压超前电流的情况，因此，对应的这种相位差最简单电路是一个电阻和电感串联电路。5-5 题图5-1（a）所示的电路中，若三个电压源的电压分别为：， 求：（1）三个电压的和；（2），；（3）画出它们的相量图。 题图5-1 解：（1）三个电压的相量为则三个电压的和为即三个电压的和为零。（2）因为所以（3）三个相量的相量图如题图5-1（b）所示。5-6题图5-2（a）所示的电路中，已知，求，画出相量图。 题图5-2 解：电路的相量模型如题图5-2（b）所示，其中，故 故得各相量的相量图如题图5-2（c）所示。

12、可见落后于。5-7 求题图5-3所示的电路端口的输入阻抗，已知。题图5-3 解：电容的容抗为利用理想运放特点，有，所以又 整理得 故得端口输入阻抗为5-8 题图5-4所示的电路，求值为多大才能使。题图5-4 解：要使，则必须使L，C发生并联谐振，故有，故得5-9 已知题图5-5（a）所示的电路中各电压表的读数分别为：，求图中的。题图5-5 解：利用相量图求解。设电流为参考相量，电阻电压与电流同相位，电感电压超前电流，电容电压滞后电流，总电压，得到相量图如题图5-5（b）所示。由图可得5-10 已知题图5-6所示的电路中，电流表的读数分别为，。求：（1）图中电流表A的读数；（2）如果维持的读数不

13、变，而把电源的频率提高一倍，再求电流表A的读数。 题图5-6 解：设3个并联元件两端的电压为参考相量，即，电阻电流与电压同相位，滞后，超前，总电流，得到相量图如题图5-6（b）所示。由图可得（1）当，时，有（2）维持的读数不变，当电源的频率提高一倍时，有故 5-11 题图5-7（a）所示的正弦电路，已知电流表，电压表, 。求电压表的示数。题图5-7 解：画电路的相量图如题图5-7（b）所示。故得故 故电压表的示数为5-12题图5-8所示的正弦电路，已知，当调节滑线变阻器使时，电压表的读数最小为，试求和的值。题图5-8 解：设端口电压为参考相量，即。滑线变阻器电压、电流与端口电压同相位，电路右侧

14、为感性支路，支路电流落后支路电压。相量图如题图5-8（b）所示。由于时，电压表的读数最小为，可在支路电压三角形中找出B点，再由B点作参考相量的垂线，与相量的交点即为A点，AB就是A到参考相量的最小距离， 因此，AB代表的电压即为电压表所指示的最小电压值。因此，可求得于是得 又 所以求得 由 ，求得5-13题图5-9（a）所示的电路中，A，B间的阻抗模值，电源角频率，为使超前，求和的值。题图5-9 解：从AB端看进去的阻抗为其模值为 又 故 由于超前，所以联立上述式子求解得5-14 题图5-10（a）所示的电路中，端口电压、电流如题图5-8（b）所示。该电路由3个元件组成，通过的电流分别为、如题

15、图5-8（b）所示。试画出该电路的结构图，并确定元件的类型和元件的值（假设，电压单位为V，电流单位为A）。 题图5-10 解：由相量可知而 ，故、为并联。故为电阻：，为电容：，为电感：。电路如题图5-10（c）所示。5-15 题图5-11所示的电路，试求角频率为多少时可使最大，此最大值等于多少，并说明两者相位关系。题图5-11 解：由图所示电路用分压法得可见，当时，最大。此时 。因此，此电路为RC选频电路，当频率时，最大，并与同相位。5-16 题图5-12所示的电路，已知，。试求两端电路的输入阻抗以及供给的平均功率。 题图5-12 解：（1）因为 ，所以二端口网络的阻抗为即 （2）供给N的有功

16、功率，即N网络吸收的有功功率为5-17 题图5-13（a）所示的电路，已知，。（1）若改变，但电流的有效值始终保持10A，试确定参数和值。（2）当时，试求电压及瞬时值题图5-13 解：（1）若想在改变时，电流的有效值始终保持不变，则ab左边电路必须为恒流源，如题图5-13（b）所示。用等效电流源定理求短路电流为输入导纳为所以 又 可求得（2）当时，有5-18 题图5-14（a）所示的电路，已知，求ab端的戴维南等效电路。 题图5-14 解：（1）求开路电压的电路如题图5-14（b）所示。联立求解得（2）求短路电流。由图可知 又 代入式中，得所以 即ab端的戴维等效电路为的电压源与阻抗的串联。5

17、-19 题图5-15所示的电路中，已知：，电压表的读数为，电流表的读数为。求图中电流表、功率表的读数和电路的输入阻抗。题图5-15 解：根据和并联，则 ，而，可得电流由于与反相，所以 电阻R消耗的功率为 即功率表的读数为100W。又由于 解得 所以 说明与同相位，则输入阻抗为5-20 题图5-16所示的正弦稳态电路中，试求（1）；（2）电压源发出的功率。题图5-16 解：采用节点法有联立求解得 又 ，故有5-21题图5-17（a）所示的正弦稳态电路中，已知有效值，且与同相位，。试求和的值，并画出相量图。 题图5-17 解：由题意可知电路发生谐振，由可得解得 电路相量图如题图5-17（b）所示。

18、5-22 题图5-18（a）所示的电路中，已知接至有效值的正弦电压源时，电流表的读数为零，试求电源的角频率和电流表的读数。题图5-18 解：电流表的读数为零，即电容与0.1H电感发生谐振，有于是可得题图5-18（b）所示的相量模型。可求得所以 5-23 题图5-19（a）所示的正弦稳态电路中，已知电源电压有效值，频率，电流的有效值，平均功率。如保持不变，频率改为，试求此时的、和。 题图5-19 解：对并联电路，取电压为参考相量，即。当时，且，相量图如题图5-19（b）所示。可知构成等边三角形，于是。根据已知条件有：，联立求解，得当，有5-24 题图5-20（a）所示的正弦稳态电路中，已知，当时

19、，电流；当时，电流仍为。试求（1）以作为参考相量，画出电压、电流相量图；（2）和的值；（3）电路消耗的功率；（4）电路的总功率因数为0.9时，电容的值（）。题图5-20 解：（1）当时，有当时，有以作为参考相量时的电压、电流相量图如题图5-20（b）所示。（2）由相量图可知，由于，从而由于，所以有（3）。（4）因为，所以，由此可求得即，所以有。5-25 题图5-21（a）所示电路中，已知电源频率，电压有效值，原接有感性负载的功率，此时功率因数为0.8。后来接入电容以提高功率因数。试求（1）未接入电容时的电流有效值；（2）接入并联电容后电路的总功率因数为1 时的电容值；（3）在功率因数为1的情况

20、下的、和，并画出包含它们的相量图。 题图5-21 解：（1）由可得，未接入电容时的电流有效值为（2）并联电容后，负载两端的电压没有变，所以。负载的平均功率和无功功率保持不变，即，根据无功功率的定义，电容的无功功率为而电源提供的无功功率为所以，即，所以有并联电容前：，并联电容后：。所以，有（3）设，则得 。相量图如题图5-21（b）所示。5-26 题图5-22（a）所示电路中，电源频率为50Hz，负载1吸收的有功功率为，功率因数为0.8（超前）；负载2 的视在功率为，功率因数为0.6（滞后），求（1）两负载并联后的功率因数及线路损耗；（2）若采用要端口末端并联电容的方法来提高功率因数，将功率因数

21、分别提高到0.9（滞后）、1和0.9（超前），分别需要并联多大的电容？并求此时的线路损耗。 题图5-22 解：（1）由KCL可知，端口电流为 ，因此两负载总的复功率为由于负载1吸收的有功功率为，功率因数为0.8（超前），由负载2 的视在功率为，功率因数为0.6（滞后），可知负载1和负载2的功率三角形分别如题图5-22（b）、（c）所示。根据功率三角形可得由此可知，因此可得则并联负载的功率因数为（滞后）线路损耗为（2）求并联电容及线路损耗将功率因数提高到0.9（滞后），这时属于欠补偿，有，（滞后），所以有并联后，端口电流为电路损耗为将功率因数提高到1时，这时属于全补偿，即电容提供两个负载所需要的

22、全部无功功率，亦即， 所以有并联后，端口电流为电路损耗为将功率因数提高到0.9（超前），即（超前），此时为过补偿，此时无功功率为负值，即有并联后，端口电流为电路损耗为6-27有一负载，其两端电压是，而沿电压降方向渡过负载的电流是。求（1）复功率和视在功率；（2）有功功率和无功功率；（3）功率因数和负载阻抗。解：（1）电压和电流相量的rms值为复功率为视在功率（2）复功率的直角坐标形式对照，则有有功功率为无功功率为（3）功率因数为（超前）负载阻抗为此为一个容性阻抗。5-28 题图5-23所示的电路中，。试求获得最大功率的条件及所获得的最大功率。题图5-23 解：求以左电路的戴维南等效电路开路电压

23、等效阻抗所以当时获得最大功率，最大功率为5-29 题图5-24（a）所示的正弦稳态电路中，为使负载获得的最大功率，试求的阻抗。 题图5-24 解：先求以左电路的戴维南等效电路。负载开路时的等效电路如题图5-24（b）所示，列写节点方程又有 联立求解得 用外加电压源法求等效电阻，如题图5-24（c）所示，有可解得题图5-24（a）所示的正弦稳态电路的戴维南等效电路如题图5-24（d）所示。于是，当时，负载获得的功率最大。5-30 题图5-25所示的中，。求各去路吸收的复功率和电路的功率因数。题图5-25 解：R，L串联支路阻抗为串联支路阻抗为以为参考相量，应用公流公式，可得支路电流为则各支路的复功率为电流源发出的功率为电路的功率因数为5-31 题图5-26所示的交流电桥电路，当为电阻，为电阻，为电阻与电容的并联时，且，它达到平衡。求（1）组成的串联成分；（2）组成的并联成分。题图5-26 解：根据