第4讲_光线稳定条件、类透镜介质中的光线方程与波动方程

1、f1f2SS+1MNf1d101sMMsrrdrr22111ssNNrrfdfdrr1111111NNSSrrfdfdrr同理，从同理，从N面到面到S面的光线传播情况面的光线传播情况21011NMNMrrrrf 211110111011011101SSSSSSrrDCBArrdfdfrr)1)(1 ()1 (11)2(121122122fdfdfdDfdffCfddBfdA11ssssssDrCrrBrArr)(11sssArrBr)(1)(111211SSSSsssssDrCrrArrBrArrBr212211221)(2102ffdfdfdDAbrbrrsss212211221)(2102

2、ffdfdfdDAbrbrrsss0Arr)exp()0()(zAirzrisserr0)(21cos)sin(maxDAbsrrs121121221ffdfdfd1)21)(21 (021fdfdfd4011215510112011011201rLRLRr151115rABrrTCD22221112212(2)222(1)222(1)(1)dARdBdRdCRRRdddDRRR 00nnnrrTsinsin(1)sin1sinsinsin(1)sinnnnnnnABAnBABTCDCDnCDarccos/2AD12011122LLff120111LLRR2222222222211(1)22x

3、yABAOBOfxyffffxyxyffff 2222202222xyxyrkkfff )2exp(22fyxikEEinout22200( , )1()2kx yxyk)(4)(220yxKDTrT2200( , )()()4n Dx yTxyTK 2222rxyz rddrdsds 0rsabarbsr222dsdxdydzdzddrdzdz 22ddrd rdzdzdz 0ddz200kijkxiyjxyzk 22202200 xykijxiyjzzk220202202000d xkxdzkd ykydzk22200d rkrdzk221200( )cossinkkr zczczkk00

4、rr210200;kcr crk20202000222000cossinsincoszzkkkzzkkkrrrrkkkzzkkk 2020002022200000cos sinsin coskkkr zrzrzkkkkkkrzrzrzkkk 2max0sinkr zrzk如右图的曲线可以代表在类透镜如右图的曲线可以代表在类透镜介质中传播的光线，只是在幅度介质中传播的光线，只是在幅度上作了夸大。从该方程可以得出上作了夸大。从该方程可以得出结论：当结论：当k20时，类透镜介质对时，类透镜介质对光线起汇聚作用，相当于正透镜。光线起汇聚作用，相当于正透镜。 2200002022200000coshsi

5、nhsinhcoshkkkr zz rz rkkkkkkrzz rz rkkk, ( )zr z (1)(2)0(3)EHtHEutE 对对2式求旋度：式求旋度：22HEEuutt 2EEE 且由且由3式：式：10EEEEE 在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即0222(4)EuEt 综合上三式可以得到综合上三式可以得到假设折射率假设折射率n的空间变化很小，即的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：0( , , , )Re( , , )i tE x y z tE x y z

6、 e代入代入(4)式式220022( )0( )( )Ek r Ek rur波动方程波动方程也称亥姆也称亥姆霍兹方程霍兹方程22( )( )( ) 1rk ruri当当 代表吸收介质，代表吸收介质， 代表增益介质代表增益介质00上式表示复数波数，我们考虑波数表示形式为上式表示复数波数，我们考虑波数表示形式为222002( )k rkk k r其中其中k0、k2都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置r和介质的特和介质的特性性k2都有关系。由波数的定义：都有关系。由波数的定义： 可以得到可以得到n(r)的表达式：的表达式：2( )( )k rn r

7、222200200( )( )1222kn rk rkk k rkrk的情况的情况该表达式就是类透镜介质该表达式就是类透镜介质的折射率表达式，证明我的折射率表达式，证明我们考虑的们考虑的k(r)表达式代表表达式代表的正是在类透镜介质中的的正是在类透镜介质中的情况。情况。2222000011222kkkrnrkk级数级数展开展开22rxy2222222221rzrrrz 2( , , )ikzEx y z e( , , )x y z2, kk 22220ikkkr20exp( )2 ( )kEi p zrq z为什么取这种形式？这是对波动为什么取这种形式？这是对波动方程进行长期研究得到的解，既方程进行长期研究得到的解，既满足方程，又有明确的、能够被满足方程，又