2016年普通高等学校招生全国统一考试四川卷数学文

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学文一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设i为虚数单位，则复数(1+i)2=()A.0B.2C.2iD.2+2i解析：(1+i)2=1+i2+2i=1-1+2i=2i.答案：C.2.设集合A=x|1x5，Z为整数集，则集合AZ中元素的个数是()A.6B.5C.4D.3解析：集合A=x|1x5，Z为整数集，则集合AZ=1，2，3，4，5.集合AZ中元素的个数是5.答案：B.3.抛物线y2=4x的焦点坐标是()A.(0，2)B.(0，1)C.(2，0)D.(1，0)解析：抛物线

2、y2=4x的焦点坐标是(1，0).答案：D4.为了得到函数y=sin(x+)的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向上平行移动个单位长度D.向下平行移动个单位长度解析：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin(x+)，可得平移量为向左平行移动个单位长度.答案：A5.设p：实数x，y满足x1且y1，q：实数x，y满足x+y2，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由x1且y1，可得：x+y2，反之不成立：例如取x=3，y=.p是q的充分不必要条件

3、.答案：A6.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a=()A.-4B.-2C.4D.2解析：f(x)=3x2-12；x-2时，f(x)0，-2x2时，f(x)0，x2时，f(x)0；x=2是f(x)的极小值点；又a为f(x)的极小值点，a=2.答案：D7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年解析

4、：设第n年开始超过200万元，则130×(1+12%)n-2015200，化为：(n-2015)lg1.12lg2-lg1.3，n-2015=3.8.取n=2019.因此开始超过200万元的年份是2019年.答案：B.8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为()A.35B.20C.18D.9解析：输入的x=2，n=3，故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，满足进行循环的条

5、件，v=9，i=0，满足进行循环的条件，v=18，i=-1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：18.答案：C9.已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|=1，则|2的最大值是()A.B.C.D.解析：如图所示，建立直角坐标系.B(0，0)，C(2，0)，A(，3).M满足|=1，点M的轨迹方程为：(x-)2+(y-3)2=1，令x=+cos，y=3+sin，0，2).又，则M(cos，sin)，|2=(cos)2+(sin)2=+3sin(+).|2的最大值是.答案：B10.设直线l1，l2分别是函数f(x)=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，

6、l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是()A.(0，1)B.(0，2)C.(0，+)D.(1，+)解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(0x11x2)，当0x1时，f(x)=-，当x1时，f(x)=，l1的斜率k1=-，l2的斜率k2=，l1与l2垂直，且x2x10，k1·k2=-·=-1，即x1x2=1.直线l1：y=-(x-x1)-lnx1，l2：y=(x-x2)+lnx2.取x=0分别得到A(0，1-lnx1)，B(0，-1+lnx2)，|AB|=|1-lnx1-(-1+lnx2)|=|2-(lnx1+lnx2)|=|2-lnx1x2|=2

7、.联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，SPAB=|AB|·|xP|=×2×=.函数y=x+在(0，1)上为减函数，且0x11，1+1=2，则0，01.PAB的面积的取值范围是(0，1).答案：A.二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共25分.11.sin750°= .解析：sin750°=sin(2×360°+30°)=sin30°=.答案：.12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .解析：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S=×2×1=，棱

8、锥的高为h=1，棱锥的体积V=Sh=××1=.答案：.13.从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是 .解析：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，基本事件总数n=12，logab为整数满足的基本事件个数为(2，8)，(3，9)，共2个，logab为整数的概率p=.答案：.14.若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)=4x，则f(-)+f(2)= .解析：函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)=4x，f(2)=f(0)=0，f(-)=f(-+2)=f(-)=-f()=-

9、=-=-2，则f(-)+f(2)=-2+0=-2.答案：-2.15.在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P(，)，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：-若点A的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A.-单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.-若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是 .解析：设A(0，1)，则A的“伴随点”为A(1，0)，而A(1，0)的“伴随点”为(0，-1)，不是A，故错误，若点在单位圆上，则x2+y2=1，即P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P

10、(y，-x)，满足y2+(-x)2=1，即P也在单位圆上，故正确，若两点关于x轴对称，设P(x，y)，对称点为Q(x，-y)，则Q(x，-y)的“伴随点”为Q(，)，则Q(，)与P(，)关于y轴对称，故正确，(-1，1)，(0，1)，(1，1)三点在直线y=1上，(-1，1)的“伴随点”为(，)，即(，)，(0，1)的“伴随点”为(1，0)，(1，1的“伴随点”为(，-)，即(，-)，则(，)，(1，0)，(，-)三点不在同一直线上，故错误.答案：三、解答题(共6小题，满分75分)16.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100

11、位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照0，0.5)，0.5，1)，4，4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(I)求直方图中的a值；(II)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由；()估计居民月均用水量的中位数.解析：(I)先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；(II)根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解.()根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值.答案：(I)1=(0.08+0.16+a+0.

12、40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5，整理可得：2=1.4+2a，解得：a=0.3.(II)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为(0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12，又样本容量=30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万.()根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.480.5，0.48+0.5×0.52=0.740

13、.5，中位数应在(2，2.5组内，设出未知数x，令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，解得x=0.038；中位数是2+0.06=2.038.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PACD，ADBC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.(I)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；(II)证明：平面PAB平面PBD.解析：(I)M为PD的中点，直线CM平面PAB.取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则MEPA，证明平面CME平面PAB，即可证明直线CM平

14、面PAB；(II)证明：BD平面PAB，即可证明平面PAB平面PBD.答案：(I)M为PD的中点，直线CM平面PAB.取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则MEPA，ME平面PAB，PA平面PAB，ME平面PAB.ADBC，BC=AE，ABCE是平行四边形，CEAB.CE平面PAB，AB平面PAB，CE平面PAB.MECE=E，平面CME平面PAB，CM平面CME，CM平面PAB；(II)PACD，PAB=90°，AB与CD相交，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，由(I)及BC=CD=AD，可得BAD=BDA=45°，ABD=90°，BDAB，PAA

15、B=A，BD平面PAB，BD平面PBD，平面PAB平面PBD.18.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.()证明：sinAsinB=sinC；()若b2+c2-a2=bc，求tanB.解析：()将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明.()由余弦定理求出A的余弦函数值，利用()的条件，求解B的正切函数值即可.答案：()在ABC中，由正弦定理得：，sin(A+B)=sinC.整理可得：sinAsinB=sinC，()b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得cosA=.sinA= ，=1，tanB=4.19.已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项

16、和，Sn+1=qSn+1，其中q0，nN+()若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列an的通项公式；()设双曲线x2-=1的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+en2.解析：()根据题意，由数列的递推公式可得a2与a3的值，又由a2，a3，a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+(a2+a3)，代入a2与a3的值可得q2=2q，解可得q的值，进而可得Sn+1=2Sn+1，进而可得Sn=2Sn-1+1，将两式相减可得an=2an-1，即可得数列an是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；()根据题意Sn+1=qSn+1，同理有Sn=qSn-1+1，将两式相

17、减可得an=qan-1，分析可得an=qn-1；又由双曲线x2-=1的离心率为en，且e2=2，分析可得e2=2，解可得a2的值，由an=qn-1可得q的值，进而可得数列an的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+3n-1，运用分组求和法计算可得答案.答案：()根据题意，数列an的首项为1，即a1=1，又由Sn+1=qSn+1，则S2=qa1+1，则a2=q，又有S3=qS2+1，则有a3=q2，若a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+(a2+a3)，则可得q2=2q，(q0)，解可得q=2，则有Sn+1=2Sn+1，进而有Sn=2Sn-1+1，-可得an=2

18、an-1，则数列an是以1为首项，公比为2的等比数列，则an=1×2n-1=2n-1；()根据题意，有Sn+1=qSn+1，同理可得Sn=qSn-1+1，-可得：an=qan-1，又由q0，则数列an是以1为首项，公比为q的等比数列，则an=1×qn-1=qn-1；若e2=2，则e2=2，解可得a2=，则a2=q=，即q=，an=1×qn-1=qn-1=()n-1，则en2=1+an2=1+3n-1，故e12+e22+en2=n+(1+3+32+3n-1)=.20.已知椭圆E：=1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上.()

19、求椭圆E的方程；()设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.解析：()由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；()设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把|MA|·|MB|化为|AB|2，再由两点间的距离公式求得|MC|·|MD|的值得答案.答案：()如图，由题意可得解得椭圆E的方程为+y2=1；()证明：设AB所在直线方程为y=x

20、+m，联立得x2+2mx+2m2-2=0.=4m2-4(2m2-2)=8-4m20，即-m.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，|AB|=.x0=-m，y0=x0+m=，即M(-m，)，则OM所在直线方程为y=-x，联立得或C(-，)，D(，-).则|MC|·|MD|=.而|MA|·|MB|=(|AB|)2=(10-5m2)=.|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.21.设函数f(x)=ax2-a-lnx，g(x)=，其中aR，e=2.718为自然对数的底数.()讨论f(x)的单调性；()证明：当x1时，g(x)0；()确定a的所有可能取值，使得f(x)g(x)在区间(1，+)内恒成立.解析：()求导数，分类讨论，即可讨论f(x)的单调性；()要证g(x)0(x1)，即0，即证，也就是证；