最新中考数学第六讲第4课时抛物线中的两个动点问题同步练习

1、第 4 课时抛物线中的两个动点问题(60 分)1(20 分)2017凉山州如图 641，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2bxc(a0)与 x轴交于 a，b 两点，与 y 轴交于点 c，且 oa2，ob8，oc6.(1)求抛物线的表达式；(2)点 m 从 a 点出发， 在线段上 ab 以每秒 3 个单位长度的速度向点 b 运动，同时，点 n 从 b 出发，在线段 bc 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 c 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动， 当mbn 存在时， 求运动多少秒使mbn的 面 积 最大，最大面积是多少？(3)在(2)的条件下，mbn 面积最大时，在 bc 上方的

2、抛物线上是否存在点 p，使bpc 的面积是mbn 面积的 9 倍，若存在，求点 p 的坐标，若不存在，请说明理由【解析】 (1)由线段的长度得出点 a，b，c 的坐标，然后把 a，b，c 三点的坐标分别代入yax2bxc，解方程组即可得抛物线的表达式；(2)设运动时间为 t s，则 mb103t，然后根据bhnboc，求得 nh35t，再利用三角形的面积公式列出 smbn与 t 的函数关系式 smbn910t53252 ，利用二次函数的图象性质进行解答；(3)利用待定系数法求得直线bc的表达式为y34x6.由二次函数图象上点的坐标特征可设点 p 的坐标为m，38m294m6.过点 p 作 pe

3、y 轴，交 bc 于点 e.结合已知条件和(2)中的结果求得 spbc452.则根据图形得到 spbcscepsbep12epm12ep(8m)，把相关线段的长度代入推知：32m212m452.易求得 p3，758 或5，638 .解：(1)oa2，ob8，oc6，a(2，0)，b(8，0)，c(0，6)，图 641根据题意，得4a2bc0，64a8bc0，c6，解得a38，b94，c6，抛物线的表达式为 y38x294x6；(2)设运动时间为 t s，则 am3t，bnt.mb103t.在 rtboc 中，bc 826210.如答图，过点 n 作 nhab 于点 h，nhco，bhnboc，

4、hnocbnbc，即hn6t10，hn35t.smbn12mbhn12(103t)35t910t53252，当 t53时，smbn最大52.答：运动53s 时，mbn 的面积最大，最大面积是52；(3)设直线 bc 的表达式为 ykxc(k0)把 b(8，0)，c(0，6)代入，得8kc0，c6，解得k34，c6，直线 bc 的表达式为 y34x6.点 p 在抛物线上，设点 p 的坐标为m，38m294m6，如答图，过点 p 作 pey 轴，交 bc 于点 e，则 e点的坐标为图第 1 题答图第 1 题答图m，34m6，ep38m294m634m638m23m，当mbn 的面积最大时，spbc

5、9smbn452，spbcscepsbep12epm12ep(8m)128ep438m23m32m212m，即32m212m452，解得 m13，m25，p 点坐标为3，758 或5，638 .2(20 分)2017内江如图 642，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2bxc(a0)与 y轴交于点 c(0，3)，与 x 轴交于 a，b 两点，点 b 坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为 x1.(1)求抛物线的表达式；(2)点 m 从 a 点出发，在线段 ab 上以每秒 3 个单位长度的速度向 b 点运动，同时点 n 从 b 点出发，在线段 bc 上以每秒 1 个单位长度的速度向 c 点运动，

6、其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动， 设mbn 的面积为 s， 点 m 运动时间为 t，试求s 与t 的函数关系，并求 s 的最大值；(3)在点 m 运动过程中， 是否存在某一时刻 t， 使mbn为直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由【解析】 (1)由点 b 的坐标与对称轴可求得点 a 的坐标，把点 a，b，c 的坐标分别代入抛物线的表达式，列出关于系数 a，b，c 的方程组，求解即可；(2)设运动时间为 t s，利用三角形的面积公式列出 smbn与 t 的函数关系式，用配方法求得最大值；(3)根据余弦函数，可得关于 t 的方程，解方程，可得答案，注意分类讨论解：(1

7、)点 b 坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为 x1，a(2，0)把点 a(2，0)，b(4，0)，c(0，3)，分别代入 yax2bxc(a0)，图 642得4a2bc0，16a4bc0，c3.解得a38，b34，c3，该抛物线的表达式为 y38x234x3.(2)设运动时间为 t s，则 am3t，bnt，mb63t.在 rtboc 中，bc 32425.如答图，过点 n 作 nhab 于点 h，nhco，bhnboc，hnocbnbc，即hn3t5，hn35t.smbn12mbhn12(63t)35t910t295t910(t1)2910.当mbn 存在时，0t2，当 t1 时，s最大

8、910.s 与 t 的函数关系为 s910(t1)2910，s 的最大值为910.1第 2 题答图(3)如答图，在 rtobc 中，cosbobbc45，设运动时间为 t s，则 am3t，bnt.mb63t.当mnb90时，cosbbnbm45，即t63t45，解得 t2417.当bmn90时，cosb63tt45，解得 t3019.综上所述，当 t2417或3019时，mbn 为直角三角形3(20 分)2017山西综合与探究如图 643，抛物线 y39x22 33x33与 x 轴交于 a，b 两点(点 a 在点 b 的左侧)，与 y 轴交于点 c，连结 ac，bc.点 p 沿 ac 以每秒

9、 1 个单位长度的速度由点 a 向点 c 运动，同时，点 q 沿 bo 以每秒 2 个单位长度的速度由点 b 向点 o 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连结 pq，过点 q 作 qdx 轴，与抛物线交于点 d，与 bc 交于点 e.连结 pd，与 bc 交于点 f.设点 p 的运动时间为 t s(t0)(1)求直线 bc 的函数表达式；(2)直接写出 p， d 两点的坐标(用含 t 的代数式表示， 结果需化简)；在点 p，q 运动的过程中，当 pqpd 时，求t 的值(3)试探究在点 p，q 运动的过程中，是否存在某一时刻， 使得点 f 为 pd 的中点若存在，请直接写出此时

10、 t的值与点 f的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 (1)由函数与方程的关系得到点 b，c 的坐标，利用待定系数法求直线 bc 的表达式；(2)过点 p 作 x 轴的垂线段，构造与 rtaoc 相似的直角三角形，利用相似的性质得到与点 p 的横、纵坐标有关的线段的方程求解；由 qdx 轴可知点 d 与点 q 的横坐标相同，将点 q 的横坐标代入抛物线表达式便得点 d 的纵坐标；由等腰三角形的性质找到 p，d两点纵坐标的关系建立方程求解；(3)假设存在点 f 为 pd 的中点，由中点的特征结合 p，d 两点的坐标表示出点 f 的坐标，将其代入直线 bc 建立方程求得 t 的值，确定点 f 的具

11、体坐标解：(1)由 y0，得39x22 33x3 30，解得 x13，x29，点 b 的坐标为(9，0)，由 x0，得 y3 3，点 c 的坐标为(0，3 3)，设直线 bc 的函数表达式为 ykxb，由 b，c 两点的坐标得9kb0，b3 3，解得k33，b3 3，直线 bc 的函数表达式为 y33x3 3；图 643(2)pt23，32t，d92t，4 39t28 33t；如答图，过点 p 作 pgx 轴于点 g，phqd 于点 h，qdx 轴，四边形 pgqh 是矩形，hqpg，pqpd，phqd，dq2hq2pg，p， d 两点的坐标分别为t23，32t，92t，4 39t28 33t

12、，4 39t28 33t232t，解得 t10(舍去)，t2154，当 pqpd 时，t 的值为154；(3)t3，f 点坐标为34，11 34.(20 分)4(20 分)2017淮安如图 644，在平面直角坐标系中，二次函数 y13x2bxc 的图象与坐标轴交于 a，b，c 三点，其中点 a 的坐标为(3，0)，点 b 的坐标为(4，0)，连结ac，bc.动点 p 从点 a 出发，在线段 ac 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 c 作匀速运动；同时，动点 q 从点 o 出发，在线段 ob 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 b 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时

13、间为 t s连结 pq.(1)填空：b_13_，c_4_；(2)在点 p，q 运动过程中，apq 可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在 x 轴下方， 该二次函数的图象上是否存在点 m，使pqm 是以点 p 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 t；若不存在，请说明理由；(4)如图，点 n 的坐标为32，0，线段 pq 的中点为 h，连结 nh，当点 q 关于直线 nh的对称点 q恰好落在线段 bc 上时，请直接写出点 q的坐标第 3 题答图图 644【解析】 (1)将 a(3，0)，b(4，0)代入 y13x2bxc 即可求解；(2)若apq 为直角三角形，则apq90(pa

14、q 与pqa 不可能为直角)连结 qc，则 aq2ap2qc2pc2pq2，据此列出关于 t 的方程求解，若 t 的值满足 0t4，则apq 可能是直角三角形，否则不可能；(3)过点 p 作 dex 轴，分别过点 m，q 作 mdde，qede，垂足分别为 d，e，构成“一线三直角”全等模型，用含 t 的式子表示点 m 的坐标；将点 m 的坐标代入二次函数的表达式求解；(4)分别求直线 bc，直线 nq的函数表达式；解直线 bc，nq的函数达式组成的方程组解：(1)b13，c4；(2)在点 p，q 运动过程中，apq 不可能是直角三角形理由如下：如答图，连结 qc.若apq 是直角三角形，在点

15、 p，q 运动过程中，paq，pqa 始终为锐角，apq90.由(1)知抛物线的函数表达式为 y13x213x4，当 0 时，y4，c(0，4)，oc4.a(3，0)，oa3.由题意，得 apoqt.aqoaoq3t.在 rtaoc 中，由勾股定理，得 ac oa2oc2 32425.pc5t.在 rtocq 中，qc2oq2oc2t242.apq90，aq2ap2qc2pc2pq2.(3t)2t2t242(5t)2，解得 t4.5.由题意知 0t4.t4.5 不符合题意，舍去在点 p，q 运动过程中，apq 不可能是直角三角形；第 4 题答图第 4 题答图(3)如答图，过点 p 作 dex

16、轴，分别过点 m，q 作 mdde，qede，垂足分别为点d，e，md 交 x 轴于点 f，过点 p 作 pgx 轴，垂足为点 g，则 pgy 轴，de90.apgaco.pgocagoaapac，即pg4ag3t5.pg45t，ag35t.pegqgooqaoagoq335tt325t，dfpg45t.mpq90，d90，dmpdpmepqdpm90.dmpepq.又de，pmpq，mdppeq.pdeq45t，mdpe325t.fmmddf325t45t325t，offggopdoaag45t335t315t.m315t，325t.点 m 在 x 轴下方的抛物线上，325t13315t21

17、3315t4，解得 t655 2052.0t4，t655 2052.(4)q67，227 .提示：如答图，连结 op，取 op 中点 r，连结 rh，nr，延长 nr交线段 bc 于点 q.点 h 为 pq 的中点，点 r 为 op 的中点，第 4 题答图rh12oq12t，rhoq.a(3，0)，n32，0，点 n 为 oa 的中点又点 r 为 op 的中点，nr12ap12t，rnac.rhnr，rnhrhn.rhoq，rhnhno.rnhhno，即 nh 是qnq的平分线设直线 ac 的函数表达式为 ymxn，把 a(3，0)，c(0，4)代入，得03mn，4n，解得m43，n4，直线

18、ac 的函数表达式为 y43x4.同理可求，直线 bc 的函数表达式为 yx4.设直线 nr 的函数表达式为 y43xs，把 n32，0代入，得 04332 s，解得 s2.直线 nr 的函数表达式为 y43x2.解方程组y43x2，yx4，得x67，y227，q点坐标为67，227 .(20 分)5(20 分)2017枣庄如图 645，抛物线 y12x2bxc 与 x 轴交于点 a 和点 b，与 y 轴交于点 c，点 b 坐标为(6，0)，点 c 坐标为(0，6)，点 d 是抛物线的顶点，过点 d 作 x 轴的垂线，垂足为 e，连结 bd.(1)求抛物线的表达式及点 d 的坐标；(2)点 f

19、 是抛物线上的动点，当fbabde 时，求点 f 的坐标；(3)若点 m 是抛物线上的动点，过点 m 作 mnx 轴与抛物线交于点 n，点 p 在 x 轴上，点q 在坐标平面内，以线段 mn 为对角线作正方形 mpnq，请写出点 q 的坐标图 645备用图【解析】 (1)由点 b，c 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式，再利用配方法将抛物线表达式变形成顶点式即可得出结论；(2)设线段 bf 与 y 轴交点为点 f，设点 f的坐标为(0，m)，由相似三角形的判定及性质可得出点 f的坐标，根据点 b，f的坐标利用待定系数法可求出直线 bf 的表达式，联立直线 bf 和抛物线的表达式成方程组

20、，解方程组即可求出点 f 的坐标；(3)设对角线 mn， pq 交于点 o.根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点 p， q 的位置，设出点 q 的坐标为(2，2n)，由正方形的性质可得出点 m 的坐标为(2n，n)由点 m在抛物线图象上，即可得出关于 n 的一元二次方程，解方程可求出 n 值，代入点 q 的坐标即可得出结论解：(1)将点 b(6，0)，c(0，6)代入 y12x2bxc，得0186bc，6c，解得b2，c6，抛物线的表达式为 y12x22x6.y12x22x612(x2)28，点 d 的坐标为(2，8)(2)设线段 bf 与 y 轴交点为点 f，设点 f的坐标为(0，m)

21、，如答图所示fbofbabde，fobbed90，fbobde，ofobbede.b(6，0)，d(2，8)，e(2，0)，be624，de808，ob6，第 5 题答图ofbedeob3，f(0，3)或(0，3)设直线 bf 的表达式为 ykx3，则有 06k3 或 06k3，解得 k12或 k12，直线 bf 的表达式为 y12x3 或 y12x3.联立直线 bf 与抛物线的表达式，得y12x3，y12x22x6，或y12x3，y12x22x6，解得x1，y72，或x6，y0，(舍去)，x3，y92，或x6，y0，(舍去)，点 f 的坐标为1，72 或3，92 .(3)设对角线 mn，pq

22、 交于点 o，如答图所示点 m，n 关于抛物线对称轴对称，且四边形 mpnq 为正方形，点 p 为抛物线对称轴与 x 轴的交点，点 q 在抛物线对称轴上，设点 q 的坐标为(2，2n)，则点 m 的坐标为(2n，n)点 m 在抛物线 y12x22x6 的图象上，n12(2n)22(2n)6，即 n22n160，解得 n1 171，n2 171.点 q 的坐标为(2，2 172)或(2，2 172)调晃绣歧甘香秃肃菲苔惊扣蝗辑骏剩傣殖克盖葡萎掸明乓郊阶盲霓钙郎桨午秋恍绘芳抿礁玫张球棠艘励舒诡篆蒂颗逻去官触驰袒洱陇淹缕拨烂延寐悸体要魏卧瑟恨领古呛均秽谍角汗搞撮玩渣捆勾患衣登荣凳值琢播囚瘟靶仅滋糟庸孜悲省嘘痒限甸昔文笋恳霍烽柱