浙江专用高考数学总复习第十章计数原理概率第4讲随机事件的概率学案10142168

1、- 1 -第第 4 4 讲讲随机事件的概率随机事件的概率最新考纲1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性， 了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式.知 识 梳 理1.频率与概率(1)在相同的条件s下重复n次试验，观察某一事件a是否出现，称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的频数，称事件a出现的比例fn(a)nan为事件a出现的频率.(2)对于给定的随机事件a，如果随着试验次数的增加，事件a发生的频率fn(a)稳定在某个常数上，把这个常数记作p(a)，称为事件a的概率，简称为a的概率.2.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件a发生，则事件b一定

2、发生，这时称事件b包含事件a(或称事件a包含于事件b)ba(或ab)相等关系若ba且abab并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件a发生或事件b发生，称此事件为事件a与事件b的并事件(或和事件)ab(或ab)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件a发生且事件b发生，则称此事件为事件a与事件b的交事件(或积事件)ab(或ab)互斥事件若ab为不可能事件，则称事件a与事件b互斥ab对立事件若ab为不可能事件，ab为必然事件，那么称事件a与事件b互为对立事件abp(ab)13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0p(a)1.(2)必然事件的概率p(e)1.(3)不可能事件的概率p(f)0.

3、(4)互斥事件概率的加法公式如果事件a与事件b互斥，则p(ab)p(a)p(b).若事件b与事件a互为对立事件，则p(a)1p(b).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.()- 2 -(3)若随机事件a发生的概率为p(a)，则 0p(a)1.()(4)6 张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()答案(1)(2)(3)(4)2.袋中装有 3 个白球，4 个黑球，从中任取 3 个球，则：恰有 1 个白球和全是白球；至少有 1 个白球和全是黑球；至少有 1 个白

4、球和至少有 2 个白球；至少有 1 个白球和至少有 1个黑球.在上述事件中，是对立事件的为()a.b.c.d.解析至少有 1 个白球和全是黑球不同时发生， 且一定有一个发生.中两事件是对立事件.答案b3.(2016天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()a.56b.25c.16d.13解析设“两人下成和棋”为事件a， “甲获胜”为事件b.事件a与b是互斥事件，所以甲不输的概率pp(ab)p(a)p(b)121356.答案a4.(2017威海模拟)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从

5、中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是_.解析由题意知，所求概率p1712351735.答案17355.袋中装有 100 个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别是 0.40 和 0.35，那么黑球共有_个.解析任取一球是黑球的概率为 1(0.400.35)0.25，黑球有 1000.2525(个).答案256.(2017绍兴一中检测)口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸- 3 -出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为 0.4，摸出的球是红球或白球的概率为 0.9，那么摸出的球是黄球的概率为_；是白球的概率为_.解析设摸出红球的概率是p(a)，

6、摸出黄球的概率是p(b)，摸出白球的概率是p(c)，p(a)p(b)0.4，p(a)p(c)0.9， p(c)1p(a)p(b)0.6，p(b)1p(a)p(c)0.1.答案0.10.6考点一随机事件间的关系【例 1】 从 1，2，3，4，5 这五个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()a.b.c.d.解析从 1，2，3，4，5 这五个数中任取两个数有 3 种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数.其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况

7、， 它与两个都是偶数是对立事件.又中的事件可以同时发生，不是对立事件.答案c规律方法(1)本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系.(2)准确把握互斥事件与对立事件的概念.互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生.对立事件是特殊的互斥事件， 特殊在对立的两个事件不可能都不发生， 即有且仅有一个发生.【训练 1】 口袋里装有 1 红，2 白，3 黄共 6 个形状相同的小球，从中取出 2 球，事件a“取出的 2 球同色”，b“取出的 2 球中至少有 1 个黄球”，c“取

8、出的 2 球至少有 1 个白球”，d“取出的 2 球不同色”，e“取出的 2 球中至多有 1 个白球”.下列判断中正确的序号为_.a与d为对立事件；b与c是互斥事件；c与e是对立事件；p(ce)1；p(b)p(c).解析当取出的 2 个球中一黄一白时，b与c都发生，不正确.当取出的 2 个球中恰有一个白球时，事件c与e都发生，则不正确.显然a与d是对立事件，正确；ce不一定为必然事件，p(ce)1，不正确.由于p(b)45，p(c)35，所以不正确.答案- 4 -考点二随机事件的频率与概率【例 2】 (2016全国卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本

9、年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1)记a为事件： “一续保人本年度的保费不高于基本保费” ，求p(a)的估计值；(2)记b为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%” ，求p(b)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解(1)事件a发生当且仅当一年内出险次数小于 2，由所给数据知，一年内出险次数小于 2的频率为60502000.55，故p(a)的估计值为

10、0.55.(2)事件b发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4，由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为30302000.3，故p(b)的估计值为 0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a.规律方法(1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率.(2

11、)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.【训练 2】 (2015北京卷)某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买， “”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁- 5 -1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙

12、、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 0000.2.(2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为1002001 0000.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 0000.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003001 0000.6， 顾客同时购

13、买甲和丁的概率可以估计为1001 0000.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.考点三互斥事件与对立事件的概率【例 3】 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1 至4 件5 至8 件9 至12 件13 至16 件17 件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为

14、概率).解(1)由已知得 25y1055，x3045，- 6 -所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体， 所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本， 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1151.5302252.5203101001.9(分钟).(2)记a表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，a1，a2，a3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率得p(a1)151

15、00320，p(a2)30100310，p(a3)2510014.因为aa1a2a3，且a1，a2，a3彼此是互斥事件，所以p(a)p(a1a2a3)p(a1)p(a2)p(a3)32031014710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为710.规律方法(1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.结算时间不超过 2 分钟的事件，包括结算时间为 2 分钟的情形，否则会计算错误.(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由p(a

16、)1p(a)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.【训练 3】 某商场有奖销售活动中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为a，b，c，求：(1)p(a)，p(b)，p(c)；(2)1 张奖券的中奖概率；(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解(1)p(a)11 000，p(b)101 0001100，p(c)501 000120.故事件a，b，c的概率分别为11 000，1100，120.(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、

17、一等奖、二等奖.设“1 张奖券中奖”这个事件为m，则m- 7 -abc.a，b，c两两互斥，p(m)p(abc)p(a)p(b)p(c)110501 000611 000.故 1 张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件n，则事件n与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，p(n)1p(ab)111 0001100 9891 000.故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思想方法1.对于给定的随机事件a， 由于事件a发生的频率fn(a)随着试验次数的增加稳定于概率p(a)，因此可以用频率fn(a)来估计概率p(a).2.对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个