GPS整周模糊度的求解方法

1、GPS整周模糊度的求解方法 摘要：高精度GPS定位，必须采用相位观测量。接收机纪录的只是相位差的小数部分，而初始的整周部分N 是初始观测历元卫星和观测站间距离相对于载波波长的整数，称为整周模糊度，是未知的。在GPS定位中，得到模糊度初值后，如何选择合适的搜索准则和解算方法将直接影响定位的效率。本文分析了几种常用的整周模糊度的求解算法的优缺点，并详细讲解了整周模糊度的求解的具有较大优势的新方法。 关键字：GPS,整周模糊度；伪距法；经典待定系数法；多普勒法；快速模糊度解算法，整周模糊度函数法，多历元，最小二乘 引言：关于整周模糊度的重要性及意义 

2、高精度GPS 定位，必须采用相位观测量。接收机纪录的只是相位差的小数部分，而初始的整周部分N是初始观测历元卫星和观测站间距离相对于载波波长的整数，称为整周模糊度，是未知的。 由载波相位测量定位原理可知，以载波观测量为根据的精密测量中，初始整周模糊度的确定是定位的一个关键问题。准确与快速地解算整周模糊度对保障定位精度、缩短定位时间、提高GPS 定位效率都具有极其重要的意义。因此，要将观测值转换为站星间距离，已取得高精 度的定位结果，必须预先解得模糊度的大小。很明显，当以载波相位观测量为依据，进行精密相对定位时，整周未知数的确定，是一个关键问题。 

3、目前确定解算模糊度的方法有很多种，如经典待定系数法、快速模糊度分解法（FARA）、最小二乘搜索法、LAMBDA方法等，下面就几种模糊度解算方法进行阐述。 确定整周模糊度的传统方法： 整周模糊度求解的理论及其实用研究是近一、二十年的研究热点和难点。许多学者提出 了一些解算方法,其中快速模糊度解算法、整周模糊度函数法、经典待定系数法、多普勒法（三差法）、伪距法为常用的方法。 1. 快速模糊度解算法（FARA） 快速模糊度解算法FARA是一种基于统计检验 的算法.首先用一组相位观测数据进行双差解,求解出实数的双差相位模糊度和位置参

4、数.然后,根据解的统计信息,建立置信区间,对每一组落在该置信区间的模糊度组合进行检验,找出一组既能满足统计检验,又具有最小方差的模糊度组合作为正确的模糊度解'".  FARA的采样时间很短,利用少量观测量进行初次平差计算所求得的基线和模糊度参数的精度并不高,与它们最接近的整数不一定就是正确的整周模糊度.但是大约有99%的可能性,正确的整数是落在置信区间内的.因此,将全部模糊度参数的候选值排列组合起来.正确的一组整数组合必然在其中,接着通过各种检验,将不正确的整数组合先行剔除,将可能正确的少数组合保留下来,将保留下来的整数组合作为已知值代人重新进行平差计算,

5、计算 的一组整数组合所产生的单位权方差应为最小,根据这一原理将正确的一组整周模糊度挑选出来. 2. 整周模糊度函数法 模糊度函数法AFM是利用模糊度的整数特性来确定模糊度的一种方法。他将载波相位残差转化为复平面上的一个函数，然后利用余弦函数对2郑州倍数的不敏感性，则对应函数值最大的搜索网络点为要求之解。找到该解后，即可由观测值确定整周模糊度。 模糊度函数法确定整周模糊度的方法按以下3歩进行：确定未知点的初始化坐标，简历搜索空间；逐点搜索；固定模糊度。 该方法的缺点是：搜索空间极大，计算量非常庞大，计算时间较长；难以满足动态实时的要求。

6、 3.经典待定系数法 把整周未知数当做平差计算中的来加以估计和确定有两种方法。 (1) 整数解 整周未知数从理论上讲应该是一个整数，利用这一特性能提高解的精度。短基线定位时一般采用这种方法。具体步骤如下： 首先根据卫星位置和修复了周跳后的相位观测值进行平差计算，求得基线向量和整周未知数。由于各种误差的影响，解得的整周未知数往往不是一个整数，称为实数解。然后将其固定为整数（通常采用四舍五入法），并重新进行平差计算。在计算中整周未知数采用整周值并视为已知数，以求得基线向量的最后值。 (2)实数解 当基线较长时，误差的相

7、关性将降低，许多误差消除的不够完善。所以无论是基线向量还是整周未知数，均无法估计的很准确。在这种情况下再将整周未知数固定为某一整数往往无实际意义，所以通常将实数解作为最后解。 采用经典方法解算整周未知数时，为了能正确求得这些参数，往往需要一个小时甚至更长的观测时间，从而影响了作业效率，所以只有在高精度定位领域中才应用。 4.多普勒法（三差法）   由于连续跟踪的所有载波相位观测值中均含有相同的整周未知数N0，所以将相邻的两个观测历元的载波相位相减，就将该未知参数消去，从而直接接触坐标参数。这就是多普勒法。但是两个历元之间的载波相位观测值之差受到

8、此期间接收机钟及卫星钟的随机误差的影响，所以精度不太好，往往用来解算未知参数的初始值。三差法可以消除掉许多误差，所以应用比较广泛。 5.伪距法      伪距法是在进行载波相位测量的同时又进行了伪距测量，将伪距观测值减去载波相位测量的实际观测值（化为以距离为单位）后即可得到*N0.但由于伪距测量的精度比较低，所以要有较多的*N0取平均值后才能获得正确的整波段数。 确定整周模糊度的新方法： 1基于多历元递推最小二乘卡尔曼滤波方法的模糊度解算 在GPS动态定位中,载波相位模糊度的解算多采用伪距信息和

9、载波相位信息统一解算,其中伪距可以是一个历元的伪距观测信息,也可以是多个历元的伪距平滑信息,但是由于动态定位中目标点空间坐标在变化之中,载波相位信息目前常采用单个历元观测量,而放弃前续历元的载波相位观测信息。如能有效地利用此多个历元的载波相位信息,将有助于模糊度的解算。针对这个问题提出了同时使用多个历元的伪距信息和载波相位信息来解算载波相位模糊度。与此同时,卡尔曼滤波技术在GPS导航定位中有着广泛应用,但是由于受到系统状态方程模型精度的限制,在cm级的差分GPS定位中,卡尔曼滤波使用的并不多。但如果系统状态方程的模型精度很高,即仅对模糊度参数建模,滤波效果则大为改善。 GPS动态差分

10、定位中的迭代最小二乘方法：   由GPS双差线性观测方程:  (1) 式中,L为双差码伪距和载波相位观测矢量;B为差分GPS定位系数矩阵;dx为坐标未知数改正数向量;N为载波相位双差模糊度,具有整数特性;A为模糊度系数矩阵;D为观测矢量方差阵。引入迭代最小二乘方法,可得到不含坐标未知数改正数向量dx的定位方程:  (2) 式中, ,I为单位阵, , ,其对应的法方程为: (3) 由方程(3)可解得模糊度浮点解:  方程(2)中不再具有坐

11、标未知数改正数向量,只具有模糊度参数。根据无周跳时前后历元模糊度不变的特性,可对多个历元的法方程(3)进行叠加,或者使用卡尔曼滤波方法,解得模糊度浮点解。在模糊度浮点解的基础上,可使用动态模糊度搜索方法进行整数模糊度搜索。对此相关文献研究较多1,此处不再赘述。 基于递推最小二乘的卡尔曼滤波在正确探测并修复周跳的前提下,对于方程(2)模糊度浮点解的解算,既可以使用多历元法方程叠加方法,也可以使用卡尔曼滤波方法。由于卡尔曼滤波方程便于编程实现,特别是在后文重新出现卫星的处理中非常方便,故本文使用后者。 由于方程(2)中只具有模糊度参数,所以滤波器状态方程的精度很高。对于式(2)

12、,建立只含有模糊度参数的卡尔曼滤波器:  (4)  (5) 式中,式(4)为状态方程,Nk为k时刻的模糊度向量;Nk+1为k+1时刻的模糊度向量;Qk为系统噪声阵,由于前后历元所对应的模糊度保持不变,故系统噪声阵可设为零。式(5)为量测方程,是式(2)在k+1时刻的描述。滤波器的广义滤波方程为:  (6)  (7)  (8)   (9) 式中,P为系统方差阵;K为增益矩阵;I为单位阵; 为滤波器输出,即模糊度的每历元的修正值,其他符号与

13、前文相同。在滤波器中,方程(8)可以同时含有码伪距和载波相位观测信息。 2 使用LAMBDA方法快速、准确解算整周模糊度 基于模糊度域的整周模糊度搜索方法，就是对模糊度估值域的搜索，即搜索程序直接或间接依赖于模糊度浮点解的方差阵的对角元素。如果存在一个可逆的整数变换矩阵，使得变换后的模糊度参数的方差阵的对角元素小于变换前的方差阵对应的对角元素，则搜索效率会大大提高。该观点首先被荷兰Delft 大学的Teunissen 教授表示为LAMBDA方法。 2.1 LAMBDA方法解算整周模糊度可分为三个步骤 1） 

14、;标准最小二乘平差求基线和整周模糊度浮点解。 2） 整数最小二乘估计求整周模糊度固定解。 3） 求基线固定解。 其中第二步为求解模糊度的核心，它包括了整数最小二乘估计、模糊度空间的构造，模糊度去相关处理以及模糊度空间尺寸确定等关键问题。 它所用的线性模型为：  式中Y为双差载波相位观测向量；X为未知点位置改正向量；N为整周模糊度向量；e为误差向量A、B分别为X、N所对应的实数阵；P为权阵； 为单位权中误差。 它的目的也是要求：  式中为模糊的实数解；为其整数解。当然，它也不存

15、在解析解，也要使用搜索方法，即给定一2，以确定其搜索范围  此搜索范围为一超椭球体，以模糊度的实数解为中心，形状由控制，大小由2控制。 为了便于进行搜索，它引进序贯条件最小二乘模糊度概念。令表示，则  式中为和之间的协方差。序贯条件中最小二乘模糊度有一个重要的特性，即它们之间不相关。因此他们的方差- 协方差矩阵式对角阵。这样                  

16、; 用表示，所以                     式中L是分解为LDLT得到的。解出展开得  但由于的结构比较差，故搜索范围较大，效率不高，所以又对实行了Z转换，Z为一整数矩阵，通过高斯整数变换得到。变换后的为      其目的就是要使的结构比的好。 2.2 最优点判断标

17、准 如上面所讲，LAMBDA方法的目的就是寻找，使  它等价于  所以它的最优点判断标准同前面的最小二乘搜索法一样，即最优的 模糊度组相对应得残差数平方和最小。 2.3 搜索范围的构造 上面构成了一个搜索范围  把模糊度向量的最小二乘实数解代入上式，就得到一个值，一般X2参考这个值来给定，取为它的2 倍、3 倍等。上式构造的搜索范围是一个狭长的超椭球体，由于观测时间较短，模糊度之间的相关性较强，的结构比较差，故搜索范围较大，效率不高。所以LAMBDA方法引进整数高斯

18、变换，对、整数模糊度向量和最小二乘模糊度实数解向量都实行变换。最后得到的搜索范围近似呈球形，包含的搜索点很少，极大地提高了搜索效率。这使LAMBDA方法在模糊度协方差方法中变得比较突出。 LAMBDA方法由于采用了整数高斯变换，使变换后的模糊度向量之间的相关性变得较弱，从而构造的搜索范围比变换之前的要小得多，有时甚至只包含几个点，它的搜索算法也比较特别，有助于提高搜索速度，所以LAMBDA方法的搜索效率特别高。 改进的LAMBDA方法 Z变换完成以后, 确定Z 变换后的整周模糊度有三种方法: 直接归整法, 自持续归整法(&#

19、160;boo tstrapped round)和整数最小二乘方法。直接归整法通过对变换后的模糊度浮动解直接取整来固定模糊度; 自维持归整法在取整时, 不但考虑了模糊度的浮动解, 而且考虑了模糊度间相关性的影响; 整数最小二乘方法则在自维持归整的基础上又加了搜索运算, 是最完备的一种算法, 也是最复杂的算法。 上述三种方法解算模糊度的成功概率可用下式表示 :           

20、0; )()()(zzPzzPzzPLSBR=£=£=, ( 8) 式中P ( ) 表示解算整周模糊度的成功概率, 可以看出, 整数最小二乘法确定模糊度的成功概率最高, 自维持归整法次之, 而直接归整确定的整周模糊度成功概率最低。但它们固定模糊度难易程度却恰恰相反。从上式也可以看出, 三种方法固定模糊度的成功概率有可能相等, 在这种情况下, 依然利用最小二乘搜索的方法来固定模糊度显然没有必要。而LAMBDA 此时依然采用最小二

21、乘搜索方法,这就增加了模糊度的解算时间, 降低了模糊度解算的效率。 令21)()(úûùêëé-+-=å+=nijjjjiziizizzlzzt, å+=-=¢nijjjjiziizzlzz1)( , 则( 6) 式相应地变为:   å=niiziztd1min，2)(iiizzzt¢-=。( 9) 因0>zid 且已知, 0³iz

22、t, 要使( 9) 式最小, 只需izt最小, 即 iizz¢=。令 nnzz=, 则iz¢根据定义可推, i = 1, 2,.- 1。取    deltaz = round (iz¢) - round (iz), i = 1, 2, ., n , (

23、0;10) 则 deltaz会有两种情况： 1）对于n个模糊度deltaz全为零。 由iz¢ 的定义可知, iz¢由Z 变换后的模糊度浮动解和模糊度间的相关性两部分来决定。当deltaz对于n个模糊度均为零时, 说明降相关的效果较好, 模糊度间的相关性影响也较弱, 可以通过直接取整来获得Z 变换后的整周模糊度。且此时的模糊度解为最优解。但是否是正确解, 还需要进行如下判定:       

24、    )3,1(20nmnFnR-£ao , ( 11) 其中, )()(1zzQzzRzT-=-,)3(20nmfloat-W=o,floatW为浮动解的残差平方和, F 为自由度为n 和m - 3- n ,置信度为1 - a的Fisher单尾边界值。只采用L1单频相位观测值时, 为了保证解的正确性, 还需要保证在一段时间( 105 个历元) 内模糊度值

25、不发生变化, 这也称为OVT检验。此时用直接归整来确定变换后的模糊度, 不需要定义搜索空间, 也不需要对模糊度进行搜索, 从而减少了模糊度的确定时间, 提高了确定模糊度的效率。 2) 对于n 个模糊度deltaz 不全为零 这种情况下则说明降相关效果不够理想, 模糊度间的相关性仍然对模糊度的确定有影响, 必须要进行搜索。最终的模糊度可利用ratio 值检验来进行确定。        ra

26、tio =msRR( 12) 式中sR 和mR 分别表示次小和最小的模糊度残差二范,一般阀值取1.5或2。 虽然以上两种情况都有可能出现, 但从实际应用中,特别是短基线情况来看, 第一种情况出现的概率远大于第二种情况。因此从整体来说, 改进LAMBDA 算法减少了确定模糊度所需时间, 提高了求解的效率。   3、GPS变形监测中整周模糊度解算的新方法 利用变形监测网中监测点坐标已知的特点，提出了一种新的解算整周模糊度的方法DC（direct

27、60;calculation）算法。该方法不需要组成和解算法方程，更不需要搜索和确认，而是直接计算整周模糊度。在GPS变形监测中，可采用单历元计算整周模糊度，单历元解是根据GPS单历元观测值解算基线向量，从而获得变形信息。 （1）DC算法的原理 如图所示，设j号卫星为参考卫星，则可以得到单差观测方程为：由式（1）、式（2）可得双差观测方程为：             ()jkjkjkNN212121212121-D-D=D-D+D-Drrlff&

28、#160;         （3） 由式（3）可以解出整周模糊度为： ()()jkjkjkNN212121212121/-D-D-D-D=D-Dfflrr        可见，当已知卫星的位置和监测点的位置时，就可以直接计算出整周模糊度，上式就是解算整周模糊度的DC算法。 （2）监测点的变形量对整周模糊度解算的影响       

29、   由图所示，卫星到监测点间的距离为： ()()()222pspspsZZYYXX-+-+-=r 式中，()sssZYX,为卫星s的坐标，()pppZYX,为监测点p的坐标。载波相位的实际观测值()tjij与卫星和地球的距离r的关系为： ()()Ntji+=jlr 于是有： ()tNjijlr-= 由上式对r求微分得：pppdzzdyydxxddN000rrrrD+D+D= 应用协方差传播律得： 22022202220222zyxpNzyxsrsrsrssD+D+D= 取z

30、yxsss=，得： 222022222xxpNzyxssrss=D+D+D= 若要求N<0.5周，及2/1Lpls<，因为1Ll=0.1903m，所以有： mzyx09515.0±£=sss 当监测点的位移mdxzyx1648.032222£=+=Dssss，它对整周模糊度的影响小于等于半周。 4.遗传算法： 4.1遗传算法简介： 遗传算法属于人工智能的实现算法中的一种，它模仿生物优胜劣汰的进化机制进行逐次，并进行的迭代。遗传算法经过编码和解码过程，实际上是将由置信区间构建的整周模糊

31、度向量转化为染色体，此时对整周模糊度的搜索实际上是对染色体上基因的选择问题，然后通过选择杂交和变异等过程产生新的染色体，此时满足评价标准的染色体就是所求的新一代，然后通过不断地循环得到最终的染色体，经过解码后得到整周模糊度向量。  4.2确定有关的控制参数 遗传算法运行过程中的控制参数主要包括群体规模N、交叉概率Pc、变异概率Pm。 1) 群体规模( N) 选择较大群体规模可同时处理较多解，容易找到全局最优解，但代价是降低了寻优效率。一般来说，群体规模取20  1006。 2) 交叉概

32、率( Pc) 在优化过程中，交叉概率始终控制着遗传运算中起主导地位的交叉算子。较大的交叉概率可使各代充分交叉，但群体中的优良模式遭到破坏的可能性增大，以致产生较大的代沟，从而使搜索走向随机化; 交叉概率越低，产生的代沟就越小，这样就保持一个连续的解空间，使找到全局最优解的可能性增大，但进化的速度就越慢; 若交叉概率太低，就会使得更多的个体直接复制到下一代，遗传算法可能陷入停滞状态。一般Pc取值范围是0. 4  0. 996。 3) 变异概率( Pm) 变异概率控制着变异操作被

33、使用的频度。变异概率较大时，虽然能够产生较多的个体，增加了群体的多样性，但也有可能破坏掉很多好的模式，使得遗传算法的性能近似于随机搜索算法的性能; 若变异概率取值太小，则变异操作产生新个体和抑制早熟现象的能力就会较差。一般Pm的取值范围是0. 001  0. 165.模糊度分组搜索算法 5.1模糊度分组 设线性化后的观测方程为 V = AX + BN  l 其中V 为观测值残差，X、N 分别为待定的基线和整周模糊度向量，A、B

34、 为其设计矩阵。组成法方程，可解得整周模糊度的浮点解N 及其协方差矩阵QN 模糊度固定时，需满足以下条件 （N-N）TQN(N-N)=min 其N 中是整周模糊度固定值。还可以表示成 min（N-N）T LTDL(N-N)  式中Q  1N= LTDL，L 是主对角元为1 的下三角矩阵，D 为对角阵。用2 表示搜索范围，则  ni = 1di( Ni  N&

35、#160;i) + nj = i + 1lj，i( Ni  N i )22 可以看出，固定模糊度时为次序固定，即便进行了转换，如果其中有任一模糊度无法固定，则模糊度组整体无法固定3。而在实际工作中，由于观测条件的限制，在某些时刻往往有某颗或几颗卫星的观测质量不佳，使得其整周模糊度难以固定，此时无法获得固定解，影响动态定位效率。模糊度搜索前，首先依据方差大小将模糊度分为两组。模糊度浮点解的方差-协方差矩阵Q 是浮点解精度的反映，方差的大小反映了浮点解精度的高低。分组后

36、得到: êêëéúûù=êëéúûù=FFEEFEQQQQQFEN 其中，E 表示方差较小的模糊度组( 主模糊度) ，F 表示方差较大的模糊度组( 从模糊度) 。主模糊度的求解可以采用去相关和搜索的方法实现。对模糊度的搜索结果采用Ratio 法和两次搜索比较法加以检验，检验通过则可以将其回代解算从模糊度F。  5.2 模糊度检验的两次搜索结果比较法

37、 主模糊度搜索结果的检验，采用Ratio 法和两次搜索比较法相结合的方式: 1) 对每一次搜索结果采用Ratio 法对其进行检验，通过则接受其为正确解，否则返回重新分组搜索; 2) 当连续两次分组搜索均不能通过Ratio 检验时，则采用两次搜索比较法。 所谓两次搜索比较法，就是将两次未能通过Ratio 检验的搜索结果加以比较，充分利用搜索结果信息，通过条件判断是否可以将其接受为固定解。 设两次不同分组搜索得到的最小残差对应的两组解设两次不同分组搜索得到的最小残差对应的两组解分别为TnT

38、nnnnNnnnN¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢2121两次搜索比较具体方法是：将N¢与N¢¢进行比较，若两者的每一个元素都对应相等，则接受N¢¢为主模糊度的固定解。当此条件不能满足时，返回重新分组搜索。采用两次搜索比较的方法，可以适当增大Ratio值，以保证解的可靠性。 当此条件不能满足时，返回重新分组搜索。采用两次搜索比较的方法，可以适当增大Ratio 值，以保证解的可靠性。  5.3&#

39、160;从模糊度的计算 主模糊度搜索固定后，将其回代法方程，求解备选模糊度F。备选模糊度F的求解分为两步: 1) 将E 回代法方程，求得备选模糊度F¢'  2) 对F¢' 进行条件判断，满足条件的固定为整数，否则保留浮点解。对方程( 1) ，其法方程为: êëéúûù=êëéúûùêëéú&#

40、251;ùNXNNXXNXWWNXUUUU式中，U =A BTPA B，W = A BTPL，P为参数的权阵。 选定主模糊度后，法方程变为 êêêëéúúúûù=êêêëéúúúûùêêêëéúúúûùFEXFFEFXEFEEXXFXEXWWWFEXUUUUU