CH2随机信号新

1、2021-11-71随机信号分析第第2章章 随机信号随机信号2/1292021-11-7 本章教学要求本章教学要求 充分理解随机信号的基本概念，重点掌握随机过程充分理解随机信号的基本概念，重点掌握随机过程的一般表征与分类和随机信号的分析方法。掌握典型随的一般表征与分类和随机信号的分析方法。掌握典型随机过程的概率特性、矩特性分析。机过程的概率特性、矩特性分析。 其他教学要求其他教学要求 用典型随机信号案例来描述通信工程中的信号问题用典型随机信号案例来描述通信工程中的信号问题, ,培养学生用信号分析的基本理论和方法解决实际问题的培养学生用信号分析的基本理论和方法解决实际问题的能力。能力。32021

2、-11-7 信号信号携带某种信息、随时间、空间或其他携带某种信息、随时间、空间或其他某个参量变化的物理量，比如，某个参量变化的物理量，比如， 或或 ，是时，是时间函数间函数 本章讨论：本章讨论： 1 1）随机信号的定义、基本特性；）随机信号的定义、基本特性； 2 2）几个典型的信号及其分析方法；）几个典型的信号及其分析方法； 3 3）随机信号一般特性与描述方式；）随机信号一般特性与描述方式； 4 4）高斯信号与独立信号）高斯信号与独立信号 第2章 随机信号( )f t( )s tRandom Signal (R.S.)42021-11-72.1 定义与基本特性定义与基本特性2.2 典型信号举例

3、典型信号举例2.3 一般特性与基本运算一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号独立信号本章内容本章内容52021-11-72.1 定义与基本特性定义与基本特性2.1.1 2.1.1 概念与定义概念与定义例例2.1：热噪声电压：电子器件内部微观粒子的随机骚：热噪声电压：电子器件内部微观粒子的随机骚动所引起的端电压。动所引起的端电压。 由于热骚动的随机性，在相同条件下每次测量由于热骚动的随机性，在相同条件下每次测量得到不同的时间函数。得到不同的时间函数。1.定义定义随机信号随机信号 ( (随机过程随机过程) )62021-11-7一个记录一个样本函数一

4、次实现 1x t. 2x t nx ttttit.热噪声的变化过程不能简热噪声的变化过程不能简单地用一个（或几个）确单地用一个（或几个）确定的时间函数来描述，但定的时间函数来描述，但它它可以用一簇无穷多个样可以用一簇无穷多个样本函数来描述。本函数来描述。72021-11-712,nX tX tX tX tKK简记为：简记为： 12,nX tx txtxtKK随机过程（如热噪声电压）表示为：随机过程（如热噪声电压）表示为：随机过程（如热噪声电压）随机过程（如热噪声电压）：是一簇无穷多个样：是一簇无穷多个样本函数的集合。本函数的集合。随机过程既是样本的函数，也是时间的函数因而又可以说因而又可以说随

5、机过程是一簇无穷多个随机变量的随机过程是一簇无穷多个随机变量的集合，集合，也可以说也可以说随机过程是随机变量随时间变化的随机过程是随机变量随时间变化的过程过程。记为：记为：82021-11-7另一方面，考察某一时刻另一方面，考察某一时刻 ti , ,噪声电压的取值：噪声电压的取值：12,iX tX tX tX tKK是一个随机变量。记为是一个随机变量。记为: : 12, ,nX tX tX tX tKK简记为：简记为：,iX t92021-11-7 定义定义1：给定参数集：给定参数集 T 和和样本空间样本空间 ，对于空间中对于空间中的每一个样本的每一个样本 i 总有一个时间函数总有一个时间函数

6、 X(t,i ) 与与之对应之对应, , 对于空间的所有样本对于空间的所有样本 ，可有一簇时，可有一簇时间函数间函数 X(t,) , tT 与其对应，这簇时间函数称与其对应，这簇时间函数称为实随机过程或随机信号，简记为为实随机过程或随机信号，简记为 X(t) 。102021-11-7 定义定义2：给定参数集：给定参数集 T 和样本空间和样本空间 ，若对于每个，若对于每个 tT ，都有一个定义在，都有一个定义在上的实随机变量上的实随机变量 X(t,) 与与之对应，就称依赖于参数之对应，就称依赖于参数 t 的随机变量簇的随机变量簇 X(t,) , tT 为实随机过程或随机信号。为实随机过程或随机信

7、号。简记为简记为 X(t) 。参数参数 ( (实数集实数集) )一般表示时间或空间。参数常用的一般有：一般表示时间或空间。参数常用的一般有：T0,1,2,T （1）0, 1, 2,T （3） , Ta b可以取可以取 或或 , , 可以取可以取 。,a0b（2）当参数取可列集时，一般称随机过程为当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列随机序列。 112021-11-7p 符号符号 X(t,) ( (或或 X(t) ) ) 的含义的含义(1) 固定时固定时 (2) t 固定时固定时 (3) , ,t 都固定时都固定时 ,iiX tx t ,iiX tX t ,ijjiX txt表示一个样本函数

8、，是表示一个样本函数，是一个确定的时间函数一个确定的时间函数表示一个随机变量表示一个随机变量表示一个确定的数值表示一个确定的数值（R.S.R.S.一个状态）一个状态）(4) t 和和都变化，构成了随机过程（或信号）的完整概念。都变化，构成了随机过程（或信号）的完整概念。 一簇一簇样本函数的集合：样本函数的集合：一簇一簇随机变量的集合：随机变量的集合： 12,nX tx txtxtKK 12, ,nX tX tX tX tKK122021-11-72.常见随机信号举例常见随机信号举例(1) 贝努力随机过程（随机信号）贝努力随机过程（随机信号）Bernoulli Random Signal特点：随

9、机实验在特点：随机实验在 t = n ( n = 0,1,2,)离散时刻观察事件离散时刻观察事件B出现与否，且出现与否，且,1P BppqP Bq出现不出现现用一随机函数表示该随机实验结果：现用一随机函数表示该随机实验结果： 1,0,tnBX tX nX ntnB时刻 出现时刻 不出现称为称为 (0,1) 贝努力随机过程（贝努力随机过程（序列序列）。）。 X n132021-11-7X(n)在各个不同在各个不同时刻的时刻的R.V.R.V.之间之间是独立的，故又是独立的，故又称为称为独立二进制独立二进制随机数据序列随机数据序列0 1 2 3 4 5 6 7 8 1x nn1 ix nn10 1

10、2 3 4 5 6 7 8. 1,1,tnBX ntnB时刻 出现时刻 不出现或：或：称为称为 (-1,1) 贝努力随机过程。贝努力随机过程。142021-11-7贝努力序列是一类过程的总体描述：贝努力序列是一类过程的总体描述：如：抛硬币的过程如：抛硬币的过程如：计算机串口，如：计算机串口，0、1代码以串行方式逐位从串口输代码以串行方式逐位从串口输出，每隔出，每隔 T 时刻送出一个时刻送出一个0或或1，因此在任何因此在任何 t = nT 时刻，端口上送出一个二值时刻，端口上送出一个二值R.V.， 121 ,2 ,iX nXXX iXXX152021-11-7(2) 二元传输信号二元传输信号表示

11、表示 (0,1) 代码序列的电脉冲序代码序列的电脉冲序列称为二元传输信号列称为二元传输信号0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 1xtt11 0 1 1 0 0 1 ixtt10 1 1 0 1 0 0 1,0,pX tq概率概率1nTtnT 当1pqT时隙时隙0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T半随机二进制传输信号半随机二进制传输信号随机二进制传输信号随机二进制传输信号162021-11-7 半随机二进制传输信号半随机二进制传输信号 X(t)时隙长度时隙长度 T 和位置固定，只是各时隙上和位置固定，只是各时隙上 X(t) 的值随机地的值随机地取取(0,1) 或或 (-1,1)。

12、随机二进制传输信号随机二进制传输信号时隙长度时隙长度 T 固定，时隙上固定，时隙上 Y(t) 的值随机地取的值随机地取(0,1) 或或 (-1,1)，且且 Y(t) 的起始位置在的起始位置在( 0，T )随机滑动随机滑动 。 ,0,Y tX tDDUT通常通常 D 与与 Y(t) 在各时在各时隙上的取值是独立的。隙上的取值是独立的。0 ix tt11 0 1 1 0 0 1D172021-11-7(3) 用掷币实验产生信号用掷币实验产生信号正面正面: :250 Hz的余弦波：的余弦波：1( )cos(500)x tt反面反面: :250 Hz的正弦波：的正弦波：2( )sin(500)x tt

13、1( )x t2( )x ttt001t182021-11-7(4) 正弦随机信号正弦随机信号,cosX tAt 正弦正弦R.S.的三个参数的三个参数 都可能是都可能是 R.V., ,A 192021-11-7 随机相位正弦信号随机相位正弦信号. .,RVA为，为常数 cosX tAt t 11cosX tAt 任一时刻任一时刻 t :1t202021-11-7 随机振幅正弦信号随机振幅正弦信号. .,ARV 为，为常数 cosX tAt 11cosX tAt t1t任一时刻任一时刻 t1 :212021-11-7 随机频率正弦信号随机频率正弦信号. .,RVA为，为常数 cosX tAt t

14、 11cosX tAt 1t任一时刻任一时刻 t1 :222021-11-7 正弦随机信号正弦随机信号, ,. .ARV 为 cosX tAt t 11cosX tAt 任一时刻任一时刻 t1 :232021-11-7(5)泊松随机过程：是一类质点（或事件）计数过程泊松随机过程：是一类质点（或事件）计数过程如：在如：在 (0, t ) 内内(1) 到达超市的顾客数到达超市的顾客数 N(t)(2) 某电话总机接到的呼叫次数某电话总机接到的呼叫次数 N(t)(3) 某通信系统出现的误码数某通信系统出现的误码数 N(t) 对每一个对每一个 t , (0 , t ) 内到来的顾客数内到来的顾客数 N(

15、t) 是一个是一个R.V.，随着，随着 t 的变化，就对应一簇随机变量。的变化，就对应一簇随机变量。典型样本函数：典型样本函数：3 2 1 0 N tt1t2tkt242021-11-73. 随机过程的几种基本类型随机过程的几种基本类型 X(t) 取值连续取值连续则称则称X(t)为为连续连续随机过程。随机过程。q t 连续连续 随机随机过程过程X(t) 取值离散取值离散, ,则称则称 X(t)为为离散离散随机过程。随机过程。X(t) 取值连续取值连续，则称，则称X(t)为为连续连续随机序列。随机序列。q t 离散离散 随机随机序列序列X(t) 取值离散取值离散，则称，则称X(t)为为离散离散随

16、机序列。随机序列。252021-11-7X(t)为为连续连续随机过程随机过程 ix tt10 1 1 0 1 0 0 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T X(t)为为离散离散随机过程随机过程q t 连续连续 随机随机过程过程262021-11-7X(n)为为连续连续随机序列随机序列热噪声的采样序列热噪声的采样序列0 1 2 3 4 5 6 7 8 ix nn1X(n)为为离散离散随机序列随机序列q t 离散离散 随机随机序列序列27/1292021-11-7p 随机信号的统计特性：随机信号的统计特性：l 概率特性概率特性l 矩特性矩特性28/1292021-11-7( ( t 时刻，时

17、刻，R.S. R.V. ) )研究研究 R.S.在任一时刻在任一时刻 t 的统计特性。的统计特性。 随机过程随机过程 X(t) 在任意时刻在任意时刻 t 的的 R.V.X(t)的概率的概率分布函数分布函数 ( ; ) ( )XX tFxxF x tP X t称为随机过程称为随机过程X(t)的的一维概率分布函数。一维概率分布函数。2.1.2 2.1.2 基本概率特性基本概率特性p 一阶一阶( (维维) ) （概率）分布函数与密度函数（概率）分布函数与密度函数(; )XFx t是是x的函数，也是的函数，也是t的函数的函数29/1292021-11-7若若 的一阶偏导数存在，则定义的一阶偏导数存在，

18、则定义 为随机过程为随机过程X(t)的的一维概率密度函数一维概率密度函数。 ( ; )( )( ; )XXX tFx tfxfx tx(; )XFx t,( ; )Xfx t是是x的函数，也是的函数，也是t的函数的函数( ; )Xfx txt( ; )XFx t302021-11-7( ; )1f x t dx( ; )( ; )xF x tf u t du0( ; )1(; )0(; )1F x tFtFt随机过程一维分布的性质：随机过程一维分布的性质：312021-11-7p 二阶二阶( (维维) ) （概率）分布函数与密度函数（概率）分布函数与密度函数121212112122(,;,)(

19、),(,)()XtXtXFxxttP X txXxFtxx研究研究R.S.在任意两个时刻的统计特性。在任意两个时刻的统计特性。 随机过程随机过程 X(t) 在任意两个时刻在任意两个时刻 的的二维二维 R.V.X(t1), X(t2)的联合概率分布函数：的联合概率分布函数：12,t t称为称为R.S.X(t)的的二维联合概率分布函数二维联合概率分布函数是是x1 , ,x2的函数，也是的函数，也是t1 , ,t2的函数的函数322021-11-7 若若 对对 x1、x2 的二阶偏导数存在，则的二阶偏导数存在，则定义定义21212121212( ,; ,)( ,; ,)XXFx x t tfx x

20、t tx x 为随机过程为随机过程X(t)的的二维联合概率密度函数二维联合概率密度函数。且且,12121212(,;,)( , ;,)xxXXFxxttfu v ttdudv 是是x1 , ,x2的函数，也是的函数，也是t1 , ,t2的函数的函数1212(,;,)Xfxxtt1212( ,; , )XFx x t t33/1292021-11-72.3.1 2.3.1 n 阶（维）概率特性阶（维）概率特性 n 阶（维）概率分布函数定义为：阶（维）概率分布函数定义为：111122( , , ; , , ) ( ), ( ), , ( )nnnnF xx ttPX tx X txX txtntn

21、-1t2t134/1292021-11-7且有，且有，1212121212( ,; , , )( ,; , , ).nnnnnnf x xx t ttF x xx t ttx xx n 阶（维）概率密度函数定义为阶（维）概率密度函数定义为111111( , , ; , , ).( , , ; , , )nxxnnnnnF xx ttf xx tt dxdx 352021-11-7例例2.4 掷币实验产生信号掷币实验产生信号: :( ,)cos(500)X t Ht( , )sin(500)X t Tt求：求： (1) t=1ms 时的概率密度与均值时的概率密度与均值; (2)任意任意t 时的概

22、率密时的概率密度与均值度与均值; ;10.004250THzs0t X tt0.001ts1是一个离散随机过程是一个离散随机过程t362021-11-7 )iiif xpxx（1kiiiE Xx P Xx(0.001)( )( ;0.001)0.5 ( )0.5 (1)XXfxfxxx(0.001)1 0.50 0.50.5E X 解：解： (1) , ,概率为概率为 0.5; (0.001,)0XH , ,概率为概率为 0.5; (0.001, )1XT 372021-11-7( )( );0.5 cos(500) 0.5 sin(500)X tXfxfx txtxt( )0.5 cos(5

23、00)sin(500)E X ttt(2) , ,概率为概率为 0.5; ( ,)cos 500X t Ht , ,概率为概率为 0.5; ( , )sin 500X t Tt382021-11-7例例2.5 掷币实验产生信号掷币实验产生信号 ( (如上例如上例) )求：求： (1) t1=0.5ms 与与t2 =1ms 时的二维联合概率密度时的二维联合概率密度; (2)任任意意t1 ，t2时的二维联合概率密度时的二维联合概率密度. .( ,)cos(500)X t Ht( , )sin(500)X t Tt0.004Ts10.0005st X tt20.001ts01121122( ,)(,

24、)ijijijf x xpxxxx1t2t1122(,)ijijpP xxxx392021-11-7解：解： (1) 正、反面概率都为正、反面概率都为0.5，取值分别为，取值分别为， (0.0005,),(0.001,)0.707,0XHXH(0.0005, ),(0.001, )0.707,1XTXT于是，于是，(0.0005),(0.001)12121212(,)(,;0.0005,0.001)0.5 (0.707,)0.5 (0.707,1)XXXfx xfx xxxxx( ,)cos(500)X t Ht( , )sin(500)X t Tt402021-11-7(2) 正、反面概率都

25、为正、反面概率都为0.5，取值分别为，取值分别为1212( ,),( ,)cos(500),cos(500)X t HX t Htt1212( , ),( , )sin(500),sin(500)X t TX t Ttt于是，于是，1212112211221122( , ; , )(,)0.5 cos(500),cos(500)0.5 sin(500),sin(500)ijijijf x x t tpxx xxxtxtxtxt1122(,)ijijpP xxxx412021-11-7正、反面概率都为正、反面概率都为0.5，n个时刻联合取值分别为个时刻联合取值分别为11( ,),( ,)cos(

26、500),cos(500)nnX t HX t Htt,11( , ),( , )sin(500),sin(500)nnX t TX t Ttt于是，于是，111111( , ; , )0.5 cos(500),cos(500)0.5 sin(500),sin(500)nnnnnnf xx ttxtxtxtxt(3) 任意任意n个时刻个时刻t1 , t2, , tn的联合概率密度的联合概率密度作业：2.3 2.5422021-11-7求求 时时 X(t) 的的一维概率密度。一维概率密度。0,42t习题习题2.1 ：设随机过程：设随机过程其中其中 是常数，是常数，V 是一个均匀分布的随机变量，是

27、一个均匀分布的随机变量，( )cosX tVt 1 ,010 ,Vvfvother432021-11-7解：解：由随机变量的函数的概率密度变换：由随机变量的函数的概率密度变换： , cos0,;, cos0,11, cos0,cos, cos0,VdVfV xtdXf x txtttxt( )cosX tVt( ), cos0cosX tVtt( )01cosX tt( )0X t442021-11-7(1)0t 时， 11, cos0,cos;, cos0,ttfx txt( )01cosX tt( )0X t;01f x，01x(2)4t时，;24fx，202x(3)2t时， ;2fxx，

28、0 x (4)t时，;1fx，10 x402021-11-7 (1)0 cos0 , 1dVtX tVVVX tdX时， 1 , 01 ;010 , otherVxf xfV x 11x;0f x11x;0F x另解（另解（自学自学）：）：( )cosX tVt000,42t 462021-11-7 22 cos442 2 , 2tX tVVdVVX tdX时， 12 , 0 ;2240 , otherVxfxfV xx;4fx1/221x1/2;4F x00472021-11-7 3 cos022tX tV时， ;( )2fxx1x ;2F xu xx;2fx( )x00( )cosX tV

29、t482021-11-7 4 cos , 1tX tVVdVVX tdX 时， 1 , 10 ;10 , otherVxfxfV x x;fx111x;F x100( )cosX tVt492021-11-72.1.3 2.1.3 随机过程的基本数字特征随机过程的基本数字特征1. 均值函数均值函数( )( )( )X tXE X tmmt、是是R.S.X(t)在任一时刻在任一时刻t的随机变量的均值。的随机变量的均值。t mt()()m tt()()m tt X t是一个确定的时间函数，是是一个确定的时间函数，是RS各样本围绕波动的中心。各样本围绕波动的中心。( )( ; )XXmtx fx t

30、 dx 1( )Xiiimtx P X tx502021-11-72. 方差（函数）方差（函数）2( )( )( )XtD X tVar X t、是是R.S.X(t)在任一时刻在任一时刻t的随机变量的方差，即的随机变量的方差，即3. 标准差函数标准差函数2( )( )XXtt( )Xmt( )3( )XXmtt( )3( )XXmtt是一个确定是一个确定的时间函数的时间函数2222( )( )( )( )( )XtE XtEE X tE X tX t信号的总功率信号的总功率信号的信号的直直流功率流功率512021-11-74. 自相关函数自相关函数1212121, 212( , )( ,;)X

31、XRt tx x fx x t t dx dx 12,XE XtRttttt 2当 时，均方值函数是随机信号在任意两个时刻的随机变量的相关矩是随机信号在任意两个时刻的随机变量的相关矩12121122( , )( ),( )XijijijRt tx x P X txX tx自相关函数中含有均值和方差的成分自相关函数中含有均值和方差的成分1212,XRt tt t是的确定的二元时间函数1212( , )( )( )XRt tE X t X t522021-11-7具有相同均值和方差的两个随机信号具有相同均值和方差的两个随机信号 X t Y t m t m ttt m tt m ttt1 t2t1

32、t2(1) (1) 自相关函数描述随机信号的自相关函数描述随机信号的R.V.间的线性关联程度，进而间的线性关联程度，进而说明随机信号起伏的快慢。说明随机信号起伏的快慢。(2)(2)自相关函数包含均值和方差对相关程度的影响自相关函数包含均值和方差对相关程度的影响说明：说明：532021-11-7542021-11-71211221212( , )( )( )( )( )( , )( )( )XXXXXXC t tE X tm tX tm tR t tm t m t 221,XXCt tttt当 时t,方差函数是随机信号在任意两个时刻的随机变量的协方差矩是随机信号在任意两个时刻的随机变量的协方差矩

33、5. 5. 自自协方差协方差函数函数01212( , )( , )XXC t tRt t定义定义中心化信号中心化信号0( )( )( )XX tX tm t则：则：中心化自相关函数中心化自相关函数552021-11-7说明：说明：1212(1),XCt tt t是的确定的二元时间函数 1212(,2),XXXCmtRttt tt当在任意 时,0 (4)(4)自协方差函数包含离散程度对相关程度的影响自协方差函数包含离散程度对相关程度的影响512021-11-7121212( , )( , )( )( )XXXXC t tt ttt6. 6. 自相关系数（函数）自相关系数（函数） 规一化自相关函数

34、规一化自相关函数去掉了均值、方差对关联程度的影响，单纯地描述了去掉了均值、方差对关联程度的影响，单纯地描述了随机信号的关联程度、起伏快慢。随机信号的关联程度、起伏快慢。1),(21tt一般一般：12,( , ) 1Xtttt t,当定义定义归一化信号：归一化信号： ( )( )( )XXX tm tX tt1212( , )( , )XXt tR t t则：则：572021-11-7补充例：设随机振幅余弦波补充例：设随机振幅余弦波 ，其中，其中0为常数，为常数，A 为标准正态分布的随机变量。求：信号为标准正态分布的随机变量。求：信号的均值、方差和相关函数的均值、方差和相关函数( (及一维概率密

35、度函数及一维概率密度函数) )。解：解： 220,1011ANE AD AE AD AEA 00( )( )coscos0XmtE X tE AtE At222222000( )( )( )(cos)coscosXXtEX tmtEAtE Attt的函数的函数0( )cosX tAt582021-11-7212120 10 220 10 20 10 2,( )( )coscoscoscoscoscosXRt tE X t X tE AttE Attttt1、t2的函数的函数 1212120 10 2,coscosXXXXCt tRt tmtmttt 220,cosXXtCt tt0 10 21

36、212120 10 2coscos( , )( , )1( )( )coscosXXXXttC t tt ttttt220,( )cosXRt tE Xttt的函数的函数592021-11-7一维概率密度一维概率密度22222200( )1( ; )exp2( )2( )1exp2cos2 cosXXXx m tf x tttxtt 0,Xmt 220cosXttt的函数的函数0( )cosX tAt602021-11-7习题习题2.2 : : 随机过程随机过程 如图所示，该过程仅如图所示，该过程仅由三个样本函数组成，而且每个样本函数均等由三个样本函数组成，而且每个样本函数均等概发生。试求：概

37、发生。试求： 1212,6,2,62;2 ,;6 ,;2,6XXXXE XE XRFxFxFx x26t0126345123( , )X t( )X t自学自学612021-11-7 110232533111664 1332,6261313 62 45 133XE XE XRE XX 解：解：26t0126345123( , )X t1212121122( , )( )( )( ),( )XijijijRt tE X t X tx x P X txX tx（1）622021-11-712112212325;21/3;616413,62,45,/3,;2,611/3F xF xF xu xu x

38、u xu xu xu xu xxu xu xxxx（2）26t0126345123( , )X t632021-11-7补充例：给定随机信号补充例：给定随机信号 ，x为任一实数，定义另为任一实数，定义另一个随机信号一个随机信号 。解：解：1,( )( )0,( )X txY tX tx试证：试证： 的均值和自相关函数分别为的均值和自相关函数分别为 的一、的一、二维概率分布函数。二维概率分布函数。( )1( )0( )( ; )E Y tP X txP X txF x t )(tyit( )X t( )Y t( )Y t( )X t自学自学642021-11-712121211221212,(

39、) ( )1 1( )1, ( )1( ),( ),; ,YXRt tE Y t Y tP Y tY tP X tx X txFx x t t 1212121122( , )( )( )( ),( )XijijijRt tE X t X tx x P X txX tx 020000cos1coscos22sin()002E X tE AtE A EtE AtdE At652021-11-7 ， 是确定量，是确定量， 独独立，立， 服从参数为服从参数为 的瑞利分布，的瑞利分布， 。 2.2 典型信号举例2.2.1 2.2.1 随机正弦信号随机正弦信号0( )cos()X tAt 0A与2(0,2

40、 )U A1. 均值：均值：与时刻与时刻t无关无关662021-11-72. 自相关函数自相关函数1212120 10 220 10 20 10 22012( , )( , )( ) ( )cos()cos()1cos() cos(2 )2cos()XR t tR t tE X t X tE AtAtE AEtttttt 因为：因为：22222222222002aaaE Aaedaa de 20 10 101cos202ttd672021-11-7由均值与相关函数容易导出协方差函数、方差等：由均值与相关函数容易导出协方差函数、方差等： 2121212012( , )( , )( )( )cos

41、()XXXXC t tR t tm t m ttt22( )( , )XXtCt t20121212012212cos()( , )( , )cos()( )( )XXXXttC t tt ttttt与时刻起点与时刻起点t1、t2无关，只与时间差有关无关，只与时间差有关与时刻与时刻t无关无关682021-11-72.2.2 2.2.2 贝努里随机信号贝努里随机信号X(n) 1,1,0, 1, 2,.0.pX nX npqnX nRV 依概率 发生且依概率q发生在各个时刻的彼此独立01 100001101 10100001 1 1010 69/1292021-11-710( )( )10Xi i

42、im nE X nxPpqp 1.均值均值与时刻与时刻n无关无关( )Xm n0 1 2 3-3 -2 -1np702021-11-7 21121212122212212222121212( ) ,if( ) ( )if( )( ) ,if10,if,()()()E X nnnE X n X nnnE X nE X nnnpqpnnp ppp nnppnnpq nnp 2.相关函数相关函数与时刻与时刻n1、n2的绝对的绝对位置位置无关，只与时间无关，只与时间差差n1-n2有关有关12( ,)XR n n0 1 2 3-3 -2 -112nn2pp12( ,)R n n712021-11-73.

43、协方差函数协方差函数1212122121212( ,)( ,)( )( )ifif0()XXXXC n nR n nm n m nnnpppqnnpq nn 2( )( , )nC n npq与时刻与时刻n1、n2的绝对位置的绝对位置无关，只与时间差无关，只与时间差n1-n2有关有关1212( ,)()C n npq nn12nn0 1 2 3-3 -2 -1pq722021-11-712121212( ,)( ,)()( ) ( )C n nn nnnnn4.相关系数函数相关系数函数12( ,)n n12nn-3 -2 -10 1 2 312( )( , )nC n npq732021-11

44、-7( ; )(1)( )F x npu xqu x 5.5.一维分布密度函数：一维分布密度函数：( ; )(1)( )f x np xq x ;F x nxqp01;f x nx01qp 在任一时刻在任一时刻n的分布密度函数的分布密度函数 X n742021-11-7若若 12nn121212122200,0110,11nnnnnnnnP X XqP X XqpP X XpqP X Xp21212121221212( ,; ,)( ,)( ,1)(1,)(1,1)f x x n nqx xpqx xpqxxpxx二维分布与密度函数：二维分布与密度函数：1212000,0nnnnX XXX,i

45、jijijF x yp u xx yy,ijijijfx ypxx yy 在任意两个时刻在任意两个时刻n1、n2的联合分布密度函数的联合分布密度函数 X n752021-11-7( , )( )( )x yxy若若 12nn或，或， 1212112211222121221212( ,; ,)( ; )( ;)11(1,1)(1,)( ,1)( ,)f x x n nf x nf x npxqxpxqxpxxpqxxpqx xqx x1212,;,fxxn n0,01,00,11,11x2x( ; )(1)( )f x npxqx 762021-11-7若若 ，12nn121200,11nnnn

46、P X Xq P X Xp12111212( ,; , )( ,)(1,1)f x x n nqx xpxxK维密度函数：维密度函数： 1111( ,; ,)( ; )1kkkiiikiiif xx nnf x npxqxk个时刻不同时个时刻不同时772021-11-72.2.3 2.2.3 半随机二进制传输信号半随机二进制传输信号(1) ,tnT nT当时,1pq设设 Xn 是是（0，1）伯努利序列，伯努利序列，T是某常数值。是某常数值。半随机二进制传输信号可以表示为：半随机二进制传输信号可以表示为：( )11,( )10nnX tXpX tXq 若依概率 发生若依概率 发生782021-1

47、1-7半随机二进制传输信号的基本特性半随机二进制传输信号的基本特性: : ( )( )1( 1)21m tE X tpqp T3T X tt10 1 1 0 0 1 1-105T),(t1. 均值均值792021-11-72. 自相关函数自相关函数1212( , )( )( )R t tE X t X t令令1122/,/ntTntT若若 t1 , ,t2 位于同一时隙，有位于同一时隙，有 , , 则则12nn2212( , )111ijijijR t tx x Ppq 若若 t1 , ,t2 位于不同时隙，有位于不同时隙，有 ，则，则12nn21212( , )( )( )211 4R t

48、tE X tE X tppq 802021-11-7合并，有合并，有 12121212( , )(/) 1 41 4(/)4(/) 1 4R t tt TtTpqpqt TtTpqt TtTpq 0.5pq当，有( )0m t 12121212( , )/10R t ttTtTnnnn12( , )R t t1t2t1212121,( , )1 4,nnR t tpqnn812021-11-7当当 时，则时，则 12/tTtT3. 一阶密度函数一阶密度函数 ( )1,( )1P X tpP X tq 因此，因此，( ; )(1)(1)f x tqxpx4. 二阶密度函数二阶密度函数 12/tT

49、tT当当 时，有时，有 12121212( ,; , )(1,1)(1,1)f x x t tqxxpxx21212121221212( ,; , )(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)f x x t tqxxpqxxpqxxpxx822021-11-7关于基本统计特性的总结：关于基本统计特性的总结：1. 求一、二维概率密度函数求一、二维概率密度函数a. 若若R.S.X(t)取值离散取值离散找出找出t 时刻时刻R.S.的取值及其概率，直接写出的取值及其概率，直接写出找出找出t1，t2时刻时刻R.S.的联合取值及其概率，直接写出的联合取值及其概率，直接写出b. 若若R.S.X(t)取值连续取

50、值连续求求R.S.X(t)的一、二维概率密度函数是的一、二维概率密度函数是已知已知R.V.的概率密度求的概率密度求R.V.的函数的概率密度的问题的函数的概率密度的问题。;iiifx tpxx12, ; ,ijijijfx y t tpxx yy costtVX如：如：832021-11-72. 求求 、 a. 若若R.S.X(t)取值离散取值离散找出找出t 时刻时刻R.S.的取值及其概率，则的取值及其概率，则找出找出t1，t2时刻时刻R.S.的联合取值及其概率，则的联合取值及其概率，则 b. 若若R.S.X(t)取值连续取值连续 求求 、 则是求则是求R.V.的函数的均值问题。的函数的均值问题

51、。( )E X t12( )( )E X t X t1212( )( )( ),( )ijijijE X t X tx y P X tx X ty( )( )iiiE X tx P X tx( )E X t12( )( )E X t X t 0cosAX tt如：如：842021-11-7作业：作业：2.8 2.103、均值和自相关函数是最基本的，自协方差函数、自相关、均值和自相关函数是最基本的，自协方差函数、自相关系数函数、方差函数、均方值函数均可由它们求出。系数函数、方差函数、均方值函数均可由它们求出。852021-11-72.5 独立信号独立信号 定义定义2.5 若若R.S.信号信号X(

52、t)在自身内部的任意在自身内部的任意n个时刻个时刻的随机变量的随机变量 X(t1), ,X(t2),X(tn) 彼此统计独立，则称彼此统计独立，则称它为它为独立随机信号独立随机信号（Independent process）。满足）。满足niiiinntxFtttxxxF12121);(),;,(niiiinntxftttxxxf12121);(),;,(862021-11-7如果信号的均值与方差为如果信号的均值与方差为 与与 ，则，则 2211tmt m t 2t 211212121212,( , ),E XtttR t tE X t X tm t m ttt 21121212,( , )0,

53、tttC t ttt1212121,( , )0,ttt ttt独立信号在各不同时刻上的随机变量彼此不相关。独立信号在各不同时刻上的随机变量彼此不相关。 872021-11-7解：假定解：假定 以概率以概率 分别取值分别取值1 1，0 0，例例2.14 讨论讨论0,1伯努力序列的独立性与概率特性伯努力序列的独立性与概率特性)(nXqp,412342212342212341234(0000)(1010)(0110)(0210)0PX X X XqPX X X Xp qPX X X Xp qPX X X X例例2.15 自学自学自学自学882021-11-72.3.2 2.3.2 联合特性联合特性

54、 R.S.X(t)与与Y(t)的二维联合概率分布函数：的二维联合概率分布函数：12( ) ( )1212( , )( , ; , ) ( ), ( )X t Y tXYFx yFx y t tP X tx Y ty R.S.X(t)与与Y(t)的的(n+m)维联合概率分布函数：维联合概率分布函数：11111111( ,; ,; , ; ,)( ); ; ( ); ( ); ; ( )XYnmnmnnmmFxx yy tt ssP X txX tx Y syY sy2.3.2与3.1.2合2.3 2.3 一般特性与基本运算一般特性与基本运算 2.3.1 (2.3.1 (R.S.X(t)的的) )

55、n 阶（维）概率特性阶（维）概率特性 892021-11-7t2s1s2smsm-1tntn-1t2t1902021-11-7 X(t)与与Y(t)的数字特征如下的数字特征如下 1212( , )( ) ( )XYRt tE X t Y t1. 互相关函数互相关函数2. 互协方差函数互协方差函数121211221212( , )( ), ( ) ( )( ) ( )( )( , )( )( )XYXYXYXYCt tCov X t Y tE X tm tY tm tRt tm t m t3. 互相关系数互相关系数121212( , )( , )( )( )XYXYXYCt tt ttt12(

56、, )1XYt t912021-11-7定义定义2.3 若对任意的若对任意的 ，恒有，恒有 RXY(t1,t2)=0，则称，则称 和和 彼此彼此正交正交。12( , )0YXRt t CXY(t1,t2)=0，则称，则称 和和 彼此彼此线性无关线性无关，此时有此时有)()(),(2121tmtmttRYXXYp 若任取若任取 , 恒有恒有1212, ,., , , ,.,nmt tt s ssT11111111( , ; , ; , ; , )( , ; , )( , ; , )XYnmnmXnnYmmF xx yy tt ssF xx ttF yy ss则称则称 和和 彼此彼此独立。独立。1

57、2,t tTTttX),( ),Y t tTTttX),( ),Y t tTTttX),( ),Y t tT922021-11-7独立独立无关无关正交正交X(t),Y(t)任一均值函任一均值函数为数为0正态分正态分布除外布除外121212( , )( , )( )( )XYXYXYCt tRt tm t m tp 统计独立、正交、线性无关的关系：统计独立、正交、线性无关的关系：932021-11-7例例2.6 2.6 讨论随机信号讨论随机信号 的均值、相关函数与协方差函数，其中的均值、相关函数与协方差函数，其中 与与 是确定量。是确定量。( )( )( )Z taX tbY tab解解： (

58、)( )( )XYE Z tE aX tbY tamtbm t121211222212121212( , )( ) ( )( )( )( )( )( , )( , )( , )( , )ZXYXYYXR t tE Z t Z tE aX tbY taX tbY ta R t tb R t tabRt tbaRt t若若X(t)、Y(t)正交，则正交，则22121212( ,)( ,)( ,)ZXYRt ta Rt tb Rt t892021-11-722121212( ,)( ,)( ,)ZXYCt ta Ct tb Ct t若若X(t)、Y(t)线性无关，则线性无关，则000( )( )(

59、)ZtaXtbY t考虑减去均值的中心化信号：考虑减去均值的中心化信号：0000 000221212121212( , )( , )( , )( , )( , )ZXYX YY XRt ta Rt tb R t tabRt tbaRt t221212121212( , )( , )( , )( , )( , )ZXYXYYXC t ta C t tb C t tabCt tbaCt t( )( )( )Z taX tbY t ( )( )( )XYE Z tamtbm t例例2.7 自学自学952021-11-7 补充例：两个补充例：两个随机信号随机信号 与与 ，其中，其中A与与B同为同为(0

60、, 1) 贝努里随贝努里随机变量，概率都为（机变量，概率都为（0.5, 0.5），），R.V. ，A、B与与两两统计独立，两两统计独立，为常数。为常数。（1 1）求）求 EX(t) , , EY(t)；（2 2）求）求（3 3）讨论随机信号）讨论随机信号X(t)与与Y(t)的正交性、无关性、的正交性、无关性、统计独立性统计独立性；),(21ttRXY12,( , )XYCt t( )sin()X tAt( )cos()Y tBt0,2U 962021-11-7解：解： 0E Y t同理： sinsin0E X tE AtE AEt 0 0.5 1 0.50.5E AE B 1212121212