高考数学二轮复习 专题对点练16 空间中的平行与垂直 理

1、专题对点练16空间中的平行与垂直1.(2017江苏无锡一模,16)如图,在斜三棱柱abc-a1b1c1中,侧面aa1c1c是菱形,ac1与a1c交于点o,e是棱ab上一点,且oe平面bcc1b1.(1)求证:e是ab的中点;(2)若ac1a1b,求证:ac1bc.证明 (1)连接bc1,取ab的中点e'.侧面aa1c1c是菱形,ac1与a1c交于点o,o为ac1的中点.e'是ab的中点,oe'bc1.oe'平面bcc1b1,bc1平面bcc1b1,oe'平面bcc1b1.oe平面bcc1b1,e,e'重合,e是ab的中点.(2)侧面aa1c1c是

2、菱形,ac1a1c.ac1a1b,a1ca1b=a1,a1c平面a1bc,a1b平面a1bc,ac1平面a1bc,bc平面a1bc,ac1bc.2.(2017江苏南京三模,15)如图,在三棱锥a-bcd中,e,f分别为bc,cd上的点,且bd平面aef.(1)求证:ef平面abd;(2)若ae平面bcd,bdcd,求证:平面aef平面acd.证明 (1)bd平面aef,bd平面bcd,平面bcd平面aef=ef,bdef.又bd平面abd,ef平面abd,ef平面abd.(2)ae平面bcd,cd平面bcd,aecd.由(1)可知bdef.bdcd,efcd.又aeef=e,ae平面aef,e

3、f平面aef,cd平面aef.又cd平面acd,平面aef平面acd.3.如图,在直三棱柱abc-a1b1c1中,abc为等腰直角三角形,bac=90°,且ab=aa1,d,e,f分别为b1a,c1c,bc的中点,求证:(1)de平面abc;(2)b1f平面aef.证明 如图,建立空间直角坐标系axyz,不妨设ab=aa1=4,则a(0,0,0),e(0,4,2),f(2,2,0),b(4,0,0),b1(4,0,4).(1)取ab的中点为n,连接cn,则n(2,0,0),c(0,4,0),d(2,0,2),de=(-2,4,0),nc=(-2,4,0),de=nc,denc.nc平

4、面abc,de平面abc,de平面abc.(2)b1f=(-2,2,-4),ef=(2,-2,-2),af=(2,2,0).b1f·ef=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,b1f·af=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.b1fef,b1faf,即b1fef,b1faf.又afef=f,b1f平面aef.4.在直三棱柱abc-a1b1c1中,abc=90°,bc=2,cc1=4,点e在线段bb1上,且eb1=1,d,f,g分别为cc1,c1b1,c1a1的中点.求证:(1)b1d平面

5、abd;(2)平面egf平面abd.证明 (1)以b为坐标原点,ba,bc,bb1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则b(0,0,0),d(0,2,2),b1(0,0,4),c1(0,2,4).设ba=a,则a(a,0,0),所以ba=(a,0,0),bd=(0,2,2),b1d=(0,2,-2),b1d·ba=0,b1d·bd=0+4-4=0,即b1dba,b1dbd.又babd=b,ba,bd平面abd,因此b1d平面abd.(2)由(1)知,e(0,0,3),ga2,1,4,f(0,1,4),则eg=a2,1,1,ef=(0,1,1),b1

6、d·eg=0+2-2=0,b1d·ef=0+2-2=0,即b1deg,b1def.又egef=e,eg,ef平面egf,因此b1d平面egf.结合(1)可知平面egf平面abd.5.(2017北京房山一模,理16)如图1,在边长为2的菱形abcd中,bad=60°,将bcd沿对角线bd折起到bc'd的位置,使平面bc'd平面abd,e是bd的中点,fa平面abd,且fa=23,如图2.(1)求证:fa平面bc'd;(2)求平面abd与平面fbc'所成角的余弦值;(3)在线段ad上是否存在一点m,使得c'm平面fbc'

7、?若存在,求amad的值;若不存在,请说明理由.(1)证明 bc'=c'd,e为bd的中点,c'ebd.又平面bc'd平面abd,且平面bc'd平面abd=bd,c'e平面abd.fa平面abd,fac'e.又c'e平面bc'd,fa平面bc'd,fa平面bc'd.(2)解 以db所在直线为x轴,ae所在直线为y轴,ec'所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则b(1,0,0),a(0,-3,0),d(-1,0,0),f(0,-3,23),c'(0,0,3),bf=(-1,-3,23),bc&#

8、39;=(-1,0,3).设平面fbc'的一个法向量为m=(x,y,z),则m·bf=-x-3y+23z=0,m·bc'=-x+3z=0,取z=1,则m=(3,1,1).平面abd的一个法向量为n=(0,0,1),cos<m,n>=m·n|m|n|=15×1=55.则平面abd与平面fbc'所成角的余弦值为55.(3)解 假设在线段ad上存在m(x,y,z),使得c'm平面fbc',设am=ad,则(x,y+3,z)=(-1,3,0)=(-,3,0),x=-,y=3(-1),z=0.而c'm=(

9、-,3(-1),-3),由mc'm,得-3=3(-1)1=-31,无解.线段ad上不存在点m,使得c'm平面fbc'.6.在长方体abcd-a1b1c1d1中,aa1=2ab=2bc,e,f,e1分别是棱aa1,bb1,a1b1的中点.(1)求证:ce平面c1e1f;(2)求证:平面c1e1f平面cef.证明 以d为原点,da,dc,dd1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设bc=1,则c(0,1,0),e(1,0,1),c1(0,1,2),f(1,1,1),e11,12,2.(1)设平面c1e1f的法向量为n=(x,y,z).c1e1=1,-12,0

10、,fc1=(-1,0,1),n·c1e1=0,n·fc1=0,即x-12y=0,-x+z=0.令x=1,得n=(1,2,1).ce=(1,-1,1),n·ce=1-2+1=0,cen.又ce平面c1e1f,ce平面c1e1f.(2)设平面efc的法向量为m=(a,b,c),由ef=(0,1,0),fc=(-1,0,-1),m·ef=0,m·fc=0,即b=0,-a-c=0.令a=-1,得m=(-1,0,1).m·n=1×(-1)+2×0+1×1=-1+1=0,平面c1e1f平面cef.导学号1680419

11、87.(2017安徽安庆二模,理18)在如图所示的五面体中,四边形abcd为直角梯形,bad=adc=2,平面ade平面abcd,ef=2dc=4ab=4,ade是边长为2的正三角形.(1)证明:be平面acf;(2)求二面角a-bc-f的余弦值.(1)证明 取ad的中点o,以o为原点,oa为x轴,过o作ab的平行线为y轴,oe为z轴,建立空间直角坐标系,则b(1,1,0),e(0,0,3),a(1,0,0),c(-1,2,0),f(0,4,3),be=(-1,-1,3),af=(-1,4,3),ac=(-2,2,0),be·af=1-4+3=0,be·ac=2-2=0,b

12、eaf,beac.又afac=a,be平面acf.(2)解 bc=(-2,1,0),bf=(-1,3,3).设平面bcf的法向量n=(x,y,z),则n·bc=-2x+y=0,n·bf=-x+3y+3z=0,取x=1,得n=1,2,-53.易知平面abc的一个法向量m=(0,0,1).设二面角a-bc-f的平面角为,则cos =m·n|m|n|=-531×1+4+253=-104.二面角a-bc-f的余弦值为-104.导学号168041998.(2017北京西城二模,理16)如图,在几何体abcdef中,底面abcd为矩形,efcd,adfc.点m在棱f

13、c上,平面adm与棱fb交于点n.(1)求证:admn;(2)求证:平面admn平面cdef;(3)若cdea,ef=ed,cd=2ef,平面ade平面bcf=l,求二面角a-l-b的大小.(1)证明 因为四边形abcd为矩形,所以adbc,所以ad平面fbc.又因为平面admn平面fbc=mn,所以admn.(2)证明 因为四边形abcd为矩形,所以adcd.因为adfc,所以ad平面cdef.所以平面admn平面cdef.(3)解 因为eacd,adcd,所以cd平面ade,所以cdde.由(2)得ad平面cdef,所以adde.所以da,dc,de两两互相垂直.建立空间直角坐标系dxyz.不妨设ef=ed=1,则cd=2.设ad=a(a>0),由题意,得a(a,0,0),b(a,2,0),c(0,2,0),d(0,0,0),e(0,0,1),f(0,1,1).所以cb=(a,0,0),cf=(0,-1,1).设平面fbc的法向量为n=(x,y,z),则n·cb=0,n·cf=0,即ax=0,-y+z=0,令z=1,则y=1.所以n=(0,1,1).又平面ade的一个法