高考数学二轮复习 专题对点练15 4.14.2组合练 理

1、专题对点练154.14.2组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.设sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则s5=()a.5b.7c.9d.11答案 a解析 由a1+a3+a5=3,得3a3=3,解得a3=1.故s5=5(a1+a5)2=5a3=5.2.(2017全国,理3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()a.1盏b.3盏c.5盏d.9盏答案 b解析 设塔的顶层共有x盏灯,

2、则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由x(1-27)1-2=381,可得x=3,故选b.3.已知等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和sn=()a.n(n+1)b.n(n-1)c.n(n+1)2d.n(n-1)2答案 a解析 a2,a4,a8成等比数列,a42=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.sn=na1+n(n-1)2d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选a.4.(2017宁夏银川一中二模,理8)公差不为零的等差数列an的前n项和为sn.若a4是a3与a7的等比中项,s8=16,则s10等于()a

3、.18b.24c.30d.60答案 c解析 设等差数列an的公差为d0.由题意,得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),即2a1+3d=0.s8=16,8a1+8×72×d=16,联立解得a1=-32,d=1.则s10=10×-32+10×92×1=30.5.等比数列an的前n项和为sn.已知s3=a2+10a1,a5=9,则a1=()a.13b.-13c.19d.-19答案 c解析 设数列an的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时s3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q1.当q1时,s3=a1(1-q3)

4、1-q=a1·q+10a1,1-q31-q=q+10,整理得q2=9.a5=a1·q4=9,即81a1=9,a1=19.6.已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()a.7b.5c.-5d.-7答案 d解析 an为等比数列,a5a6=a4a7=-8.联立a4+a7=2,a4a7=-8,可解得a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4.当a4=4,a7=-2时,q3=-12,故a1+a10=a4q3+a7q3=-7;当a4=-2,a7=4时,q3=-2,同理,有a1+a10=-7.故选d.7.设等差数列an的前n项和为sn,若sm-1=-2,sm

5、=0,sm+1=3,则m=()a.3b.4c.5d.6答案 c解析 sm-1=-2,sm=0,sm+1=3,am=sm-sm-1=0-(-2)=2,am+1=sm+1-sm=3-0=3.d=am+1-am=3-2=1.sm=ma1+m(m-1)2×1=0,a1=-m-12.又am+1=a1+m×1=3,-m-12+m=3.m=5.故选c.8.(2017江西新余一中模拟,理8)设等差数列an满足3a8=5a15,且a1>0,sn为其前n项和,则数列sn的最大项为()a.s23b.s24c.s25d.s26答案 c解析 设等差数列an的公差为d,3a8=5a15,3(a1

6、+7d)=5(a1+14d),即2a1+49d=0.a1>0,d<0,等差数列an单调递减.sn=na1+n(n-1)2d=n-49d2+n(n-1)2d=d2(n-25)2-6252d.当n=25时,数列sn取得最大值,故选c.9.(2017辽宁沈阳三模,理11)已知数列an的前n项和为sn,a1=1,an+an+1=3×2n-1,则s2 017=()导学号16804195a.22 018-1b.22 018+1c.22 017-1d.22 017+1答案 c解析 由a1=1和an+1=3×2n-1-an,可知数列an唯一确定,且a2=2,a3=4,a4=8,

7、猜测an=2n-1,经验证an=2n-1是满足题意的唯一解.s2 017=1-22 0171-2=22 017-1.二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2017辽宁鞍山一模,理15)已知等差数列an,a1=tan 225°,a5=13a1,设sn为数列(-1)nan的前n项和,则s2 017=. 答案 -3 025解析 设an的公差为d,由题意,得a1=tan 225°=tan 45°=1,a5=13a1=13,a5-a1=4d=12,d=3,an=1+3(n-1)=3n-2,s2 017=-1+(-3)×2 0162=-3 025,故答

8、案为-3 025.11.(2017江苏无锡一模,9)设等比数列an的前n项和为sn,若s3,s9,s6成等差数列,且a2+a5=4,则a8的值为. 答案 2解析 等比数列an的前n项和为sn,s3,s9,s6成等差数列,且a2+a5=4,2×a1(1-q9)1-q=a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q,a1q+a1q4=4,解得a1q=8,q3=-12,a8=a1q7=(a1q)(q3)2=8×14=2.12.已知等差数列an,a3=9,a5=17,记数列1an的前n项和为sn.若s2n+1-snm10(mz)对任意的nn*成立,则整数m的最小值为.导学

9、号16804196 答案 4解析 设公差为d,由a3=9,a5=17,得a1+2d=9,a1+4d=17,解得a1=1,d=4,an=4n-3,sn=1+15+19+14n-3,令bn=s2n+1-sn=14n+1+18n+1,则bn+1-bn=14(n+1)+1+18(n+1)+1-14n+1+18n+1=18n+9-14n+1<0,bn是递减数列,b1最大,为15+19=1445,根据题意,s2n+1-sn1445,1445m10,m289,整数m的最小值为4.三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)13.已知数列an的前n项和为sn,且对任意正整数n,都有

10、3an=2sn+3成立.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log3an,求数列bn的前n项和tn.解 (1)在3an=2sn+3中,令n=1,得a1=3.当n2时,3an=2sn+3,3an-1=2sn-1+3,-得an=3an-1,数列an是以3为首项,3为公比的等比数列,an=3n.(2)由(1)得bn=log3an=n,数列bn的前n项和tn=1+2+3+n=n(n+1)2.14.(2017江苏南京一模,19)已知数列an的前n项和为sn,且满足sn+n=2an(nn*).(1)证明:数列an+1为等比数列,并求数列an的通项公式;(2)若bn=(2n+1)an+2n+1,数列b

11、n的前n项和为tn,求满足不等式tn-22n-1>2 010的n的最小值.(1)证明 当n=1时,2a1=a1+1,a1=1.2an=sn+n,nn*,2an-1=sn-1+n-1,n2,两式相减,得an=2an-1+1,n2,即an+1=2(an-1+1),n2,数列an+1为以2为首项,2为公比的等比数列,an+1=2n,an=2n-1,nn*.(2)解 bn=(2n+1)an+2n+1=(2n+1)·2n,tn=3×2+5×22+(2n+1)·2n,2tn=3×22+5×23+(2n+1)·2n+1,两式相减可得

12、-tn=3×2+2×22+2×23+2·2n-(2n+1)·2n+1,tn=(2n-1)·2n+1+2,tn-22n-1>2 010可化为2n+1>2 010.210=1 024,211=2 048,满足不等式tn-22n-1>2 010的n的最小值为10.15.(2017河南新乡二模,理17)在数列an和bn中,a1=12,an的前n项和为sn,满足sn+1+12n+1=sn+12n(nn*),bn=(2n+1)an,bn的前n项和为tn.(1)求数列bn的通项公式bn以及tn;(2)若t1+t3,mt2,3(t2+t3)成等差数列,求实数m的值.解 (1)sn+1+12n+1=sn+12n(nn*),an+1=sn+1-sn=12n-12n+1=12n+1.当n2时,an=12n.又a1=12,因此当n=1时也成立.an=12n,bn=(2n+1)an=(2n+1)·12n.tn=32+522+723+2n+12n,12tn=322+523+2n-12n+2n+12n+1,12tn=32+2122+123+12n-2n+12n+1=32+2×141-12n-11-12-2n+12n+1,tn=5-2n+52n.(2)由(1)可得t1=32,t2=1