圆锥曲线的基本概念和性质汇总

1、圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心2例1已知P是椭圆L+y2=i上的点，f,f2是椭圆的两个焦点，且 NFPF2=60。，求也FPF2的面积 4解答过程：依题意得：pF+PF2=2a=4，在iFpF2中由余弦定理得(2廟=PF2 4PR2 -2PF PFaCOs60°=(PF勺 PF2)2 _2PR PF2 _2PF PF2cos60 ,解之得：PF PE =4，则曲門的面积为Ipf pf2 sin60律兰.323小结：(1)圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重；

2、(2)求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中，正、余弦定理非常重要考点3.曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一，其解法为充分利用：(1)椭圆的离心率e= E (0,1) (e越大则椭圆越扁);a 双曲线的 离心率e= c (1,) (e越大则双曲线开口越大).a考点利用向量求曲线方程利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算典型例题：练习.已知两点M (-1 , 0), N (1, 0)且点P使 MP MN ,PM PN, NM NP成公差小于零的等差数列， (I)点P的轨迹是什么曲线？(n)若点P坐标为(X。, y°)，二为PM与PN的夹角，求t

3、an 9 .解：(I)记 P (x,y)，由 M (-1, 0) N (1, 0)得IPM - HMP =(一1 X, y), PN - -NP =( T x,y)， MN - -NM =(2,0)NM NP=2(1_x)所以 MP，兩=2(1 +x) . PM .PN =x2 +y2 -1于是， MP MN , PM PN,NM NP是公差小于零的等差数列等价于2,2小x + y =3x >02 2 1x +y _1 =2(1 +x) +2(1 _x) 22(1 _x) -2(1 - x) ：:0所以，点P的轨迹是以原点为圆心,3为半径的右半圆.(U)点P的坐标为(x0,y0)PM P

4、N =xo +y° 1=2 . PMPN =$(1+冷)2+y0-(1 -Xo)2 y。2 = (4 - 2xo) (4 _2Xo) =2 4上所以 cosPM-PNlPMllPN12-x0因为0 X0所以1 1厂3"，0”3，S 心.一。si ncos1 一亠4-x0.3_x0二 y°.2-x°2 2 _1. (2006年山东卷)双曲线 C与椭圆 y1有相同的焦点，直线 y= 3x为C的一条渐近线84(1)求双曲线C的方程；Ht过点P(0,4)的直线l ,交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).当PQ =為QA,且入乜=卫时，求Q

5、点的坐标.123考查意图：本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力，以及运用数形结合思想，方程和转化的思想解决问题的能力解答过程：(1)设双曲线方程为x2b22 2由椭圆1 .y 1,求得两焦点为(_2,0),(2,0)，84对于双曲线C:c=2，又y二3x为双曲线C的一条渐近线9 =.3 解得 a2 =1,b2 =3,a2双曲线c的方程为x丄邛3(2)由题意知直线丨的斜率k存在且不等于零设丨的方程：y =kx 4,A(x,yJ,B(X2,y2)，则 Q(_4,0) k_ T T444-，1 QA =，2 QB，.(一匚，4) =，i( Xi, yi) =，2(X2 , y

6、2).KKK n n44.- = 1y1 = 2y2， . ， ，2 ： yiy2又 i .，2 _ -8， =2,即 3(yi 今2)=2y2.3 yiy2 32将 y 二Kx 4代入 x2=1 得(3-k2)y2 -24y 48-3k2 =0 3：3_k2 =0,否则l与渐近线平行2448 dk22 口汨2 =寸243 -k2=248 _3k23 -k2Q( 20).2.已知，椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，过其右焦点 F作斜率为1的直线交椭圆于 A、B两点，若椭圆上存在一点 C,使 OA OB =OC ,(1) 求椭圆的离心率；(2) 若| AB| =15，求这个椭圆的方程解:2 2(

7、1)设椭圆方程为 乞+X- =1,(>>0)，焦距为2c, a2 b2'则直线AB的方程为y二xc ,设 A(X1,yJ,B(X2,y2),x2 y2由 孑 了 "得：(a2 b2)x2-2a2cx a2c2-a2b2 =0 ,y =x -c则X1 X2 二a2a：2，y1 y2=X1 展一舒，因OA o=oC，则 c( 2兀22)，a b ' a b,22 22 又点C在椭圆上，贝y4ac_4b_c(a2 +b2)2 (a2 +b2)2 整理得：4c? -a 亠 J = a 亠(a _c?)，即 2a? = 5c ,所以 e = C = 10 a 52(

8、2) |AB| "F I |BF 1= (a -exj (a - ex?) = 2a-e(Xi x?) = 2a_c 2ac2 =坐=15, a a2+b22则 a =10 , c=2 10 , b -60 ,2 2 椭圆方程为鼻乞.100 60小结：(1 )利用向量，可将较复杂的A、B、C三点之间的关系用较简单的形式给出来；(2)焦点弦的长度的计算，一般都分割成两段，用定义或焦半径来求解;(3)计算复杂是解析几何的通性，要细心3.设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为_1，过点C(1,0)的直线交椭圆E于3A、B两点，且CA =2BC，求当 AOB的面积达到最大值时直线和椭圆 E的方程.解：因为椭圆的离心率为_2，故可设椭圆方程为2x2 3yt(t 0)，直线方程为my=x1，3由 2x2 3y2 =t得：(2m2 3)y2_4my 2_t=0，设 A(X 1,yJ,B(X 2 my =x 14m2m2 3又 CA =2BC，故区 +l,y )由得:8my12m2 3y2-4m2 ，2m2 3则s.a°b 冷2m2312|mm|=2( 1 x ,2 y