北师大版九年级上册数学复习知识点及例题20页

1、Fpg数学九年级上册知识点总结第一章 特殊平行四边形复习中考考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考必考内容之一，主要出现题型多样，注重考查学生基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形条件。 知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形性质和判定，通过定理证明和应用教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。重难点： 1.矩形、菱形性质及判定应用 2. 相关知识综合应用知识点归纳矩

2、形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·有三个角是直角;·是平行四边形且有一个角是直角;·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。·是矩形，且有一组邻边相等；·是菱形，且有一个角是直角。对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形一矩形矩形定义：有一角是直角平行四边形叫做矩形【

3、强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角矩形性质性质1 矩形四个角都是直角；性质2 矩形对角线相等，具有平行四边形所以性质。；矩形判定矩形判定方法1:对角线相等平行四边形是矩形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角四边形是矩形矩形判断方法3：有一个角是直角平行四边形是矩形。例1：若矩形对角线长为8cm，两条对角线一个交角为600，则该矩形面积为 例2：菱形具有而矩形不具有性质是 （ ）A 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补例3： 已知：如图， ABCD各角平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四

4、边形EFGH是矩形二菱形菱形定义：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等菱形性质性质1 菱形四条边都相等；性质2 菱形对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形判定菱形判定方法1:对角线互相垂直平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直菱形判定方法2:四边都相等四边形是菱形例1  已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 例2已知：如图ABCD对角线AC垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F求证：四边形AFCE是菱形 例3、如图，在 ABCD中

5、，O是对角线AC中点，过点O作AC垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,EAD=2BAE。求证：AM=BE。 例5 （10湖南益阳）如图，在菱形ABCD中，A=60°,=4,O为对角线BD中点，过O点作OEAB，垂足为E(1)求线段长例6、（2011四川自贡）如图，四边形ABCD是菱形，DEAB交BA延长线于E，DFBC，交BC延长线于F。请你猜想DE与DF大小有什么关系？并证明你猜想例7、（2011山东烟台）如图，菱形ABCD边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上两个动

6、点，且满足AE+CF=2.（1）求证：BDEBCF； （2）判断BEF形状，并说明理由；（3）设BEF面积为S，求S取值范围.三正方形正方形是在平行四边形前提下定义，它包含两层意思：有一组邻边相等平行四边形 （菱形）有一个角是直角平行四边形 （矩形）正方形不仅是特殊平行四边形，并且是特殊矩形，又是特殊菱形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角平行四边形叫做正方形 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它性质是它们性质综合，正方形性质总结如下：边：对边平行，四边相等

7、；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角注意：正方形一条对角线把正方形分成两个全等等腰直角三角形，对角线与边夹角是45°；正方形两条对角线把它分成四个全等等腰直角三角形，这是正方形特殊性质正方形具有矩形性质，同时又具有菱形性质正方形判定方法： (1)有一个角是直角菱形是正方形； (2)有一组邻边相等矩形是正方形 注意：1、正方形概念三个要点： （1）是平行四边形； （2）有一个角是直角； （3）有一组邻边相等 2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应条件，确定是正方形. 例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线交点

8、为O，E是OB上一点，DGAE于G，DG交OA于F求证：OE=OF例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1l2，作BMl1于M，DNl1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点求证：四边形PQMN是正方形例3、（2011海南）如图，P是边长为1正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设AP=x, PBE面积为y. 求出y关于x函数关系式，并写出x取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.实战演练：1.对角线互相垂直平分四边形是（ ）A平行四边形、菱形B矩形、菱形

9、C矩形、正方形D菱形、正方形2.顺次连接菱形各边中点所得四边形一定是（ ）A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确是（ ）A当AB=BC时，它是菱形 B当ACBD时，它是菱形DCBAC当ABC=900时，它是矩形 D当AC=BD时，它是正方形4.如图，在中，点分别在边，上，且，下列四个判断中，不正确是（）A四边形是平行四边形B如果，那么四边形是矩形C如果平分，那么四边形是菱形D如果且，那么四边形是菱形5.如图，四边形为矩形纸片把纸片折叠，使点恰好落在边中点处，折痕为若，则等于（）AB CD6.如图，矩形周长为，两条对角线相交于点，过

10、点作垂线，分别交于点，连结，则周长为（ ）A5cmB8cmC9cmD10cm7.在右图方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），A若方格纸中每个最小正方形边长为1，则该菱形面积为 ABCDDBC8.如图，在矩形中，对角线交于点，已知，则长为 9.边长为cm菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线长是 .10.如图所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）BCDAPADCBO11.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则ACP度数是 12.如图，矩形中，是与交点，过点直线与延长线分别交于（1）求

11、证：；FDOCBEA第12题图（2）当与满足什么关系时，以为顶点四边形是菱形？证明你结论13.将两块全等含30°角三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1图1图2图3图4(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你结论和理由：_(2)如图2，将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你结论和理由：_(3)在RtBCD沿射线BD方向平移过程中，当点B移动距离为_时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_；当点B移动距离为_时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_(图3、图4用于探究)应用探究：1.如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交

12、于，若，则在不添加任何辅助线情况下，图中角（虚线也视为角边）有（ ）A6个B5个 C4个 D3个DACBM2.如图，正方形面积为1，是中点，则图中阴影部分面积是（ ）ABCD3.已知为矩形对角线，则图中与一定不相等是（ ）BA1DC2112BADCBAC12D12BADCA B C DB F CA H DE G4.红丝带是关注艾滋病防治问题国际性标志.将宽为红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形面积为_5.如图，将矩形纸ABCD四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠四边形EFGH，若EH3厘米，EF4厘米，则边AD长是_厘米.6.如图，已知，点在边上，四边形是矩形请你

13、只用无刻度直尺在图中画出平分线（请保留画图痕迹）ABCDE7.如图：矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC长是 ABCPDE第二章 一元二次方程一、一元二次方程 （一）一元二次方程定义含有一个未知数，并且未知数最高次数是2整式方程叫做一元二次方程。（二）一元二次方程一般形式，它特征是：等式左边是一个关于未知数x二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。例 方程是一元二次方程，则.二、一元二次方程解法 1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如一元二次方程。当时，；当b&

14、lt;0时，方程没有实数根。例 第二象限内一点A（x1，x22），关于x轴对称点为B，且AB=6，则x=_2、配方法 一般步骤：（1） 方程两边同时除以a,将二次项系数化为1.（2） 将所得方程常数项移到方程右边。（3） 所得方程两边都加上一次项系数一半平方（4） 配方，化成（5）开方，当时，；当b<0时，方程没有实数根。例 若方程有解，则取值范围是（）ABC D无法确定3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程解方法，它是解一元二次方程一般方法。一元二次方程求根公式：例 已知x24x2=0，那么3x212x2012值为 4、因式分解法一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式乘

15、积时使用此方法。例 已知一个三角形两边长是方程x2-8x+15=0两根，则第三边y取值范围是（ ） Ay<8 B3<y<5 c2<y<8 D无法确定补充：一元二次方程根判别式 根判别式1、定义：一元二次方程中，叫做一元二次方程根判别式。2、性质：当0时，方程有两个不相等实数根；当0时，方程有两个相等实数根；当0时，方程没有实数根。例 若关于x 方程x2 2 (a 1 )x = (b+2)2有两个相等实根，则a2013+b5值为 .例 若关于x方程x2 2x(k-x)+6=0无实根，则k可取最小整数为（ ）（A） - 5 （B） - 4 （C） - 3（D）- 2补

16、充：一元二次方程根与系数关系（韦达定理）如果方程两个实数根是，那么，。第三章 概率进一步认识一、知识概括 1、频率（1）在频率分布表里，落在各小组内数据个数叫做频数；（2）每一小组频数与数据总数比值叫做这一小组频率； 即：（3）在频率分布直方图中，由于各个小长方形面积等于相应各组频率，而各组频率和等于1。因此，各个小长方形面积和等于1。2、概率求法：（1）一般地，如果在一次试验中，有n种可能结果，并且它们发生可能性都相等，事件A包含其中m个结果，那么事件A发生概率为P（A）=（2）表格法用列出表格方法来分析和求解某些事件概率方法叫做列表法。（3）树状图法 通过画树状图列出某事件所有可能结果，求

17、出其概率方法叫做树状图法。（当一次试验要涉及三个或更多因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能结果，通常采用树状图法求概率。）例 在布袋中装有两个大小一样，质地相同球，其中一个为红色，一个为白色。模拟“摸出一个球是白球”机会，可以用下列哪种替代物进行实验（ ）（A） “抛掷一枚普通骰子出现1点朝上”机会（B） “抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”机会（C） “抛掷一枚质地均匀硬币出现正面朝上”机会（D） “抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”机会例 如图，图中两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上概率是（ ）（A）

18、（B） （C） （D） 例 如图，一个小球从A点沿制定轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均等结果，小球最终到达H点概率是（ ）（A） （B） （C） （D） 例 如图是从一副扑克牌中取出两组牌，分别是黑桃1、2、3、4和方块1、2、3、4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出两张牌牌面数字之和等于5概率是（ ）（A） （B） （C） （D） 例 在图中甲、乙两个转盘中，指针指向每一个数字机会是均等.当同时转动两个转盘，停止后指针所指12345甲26374乙两个数字表示两条线段长，如果第三条线段长为5，那么这三条线段不能构成三角形概率是（ ）（A） （B） （C

19、） （D）三、典型例题 例1. 袋中有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余都相同，每次任取一个，又放回抽取两次。求下列事件概率。 （1）全红（2）颜色全同（3）无白 解： 说明：颜色全同包括都是红色或都是黄色或都是白色；无白指没有白色球。 例2. 一个密码保险柜密码由6个数字组成，每个数字都是由09这十个数字中一个，王叔叔忘记了其中最后面两个数字，那么他一次就能打开保险柜概率是多少？ 解：他前面4个数字都已知道只有最后两个数字忘记了，而最后两个数字每个数字出现可能结果都有10种情况，那么组成两个数字可能结果就有100种，因此正好是密码上最后两个数字概率是。 例3. 袋中有红色、黄色、蓝色、白

20、色球若干个，小刚又放入5个黑球后，小颖通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球及黑球频率依次为25，30，30，10，5，试估计袋中红色球、黄色球、蓝色球及白色球各有多少个？ 解：小刚放入5个黑球后摸到黑色球频率为5，则可以由此估计出袋中共有球100×2525个，黄色球100×3030个，蓝色球100×3030个，白色球100×1010个。 例4. 甲、乙两人用如图所示两个转盘做游戏，转动两个转盘各1次 （1）若两次数字之差绝对值为0，1或2，则甲胜，否则乙胜。这个游戏对双方公平吗？为什么？ （2）若两次数字和是2倍数，则甲胜，而若和是3倍数或

21、5倍数，则乙胜。这个游戏对双方公平吗？为什么？ 解：（1）用列表方法可看出所有可能结果： 从上表中可以看出两个数字之差绝对值，为0有4种可能结果，1有7种可能甲胜可能性比乙大，所以不公平。 （2）通过列表可知： 出现两个数字之和是2倍数有15种，出现两个数字之和是3倍数有10种，5比乙小，所以不公平。 例5. 小明与同学一起想知道每6个人中有两个人生肖相同概率，他们想设计一个模拟实验来估计6个人中恰有两个人生肖相同概率，你能帮他们设计这个模拟方案吗？ 分析：可以用摸球、扑克牌、转盘、计算器模拟随机整数等方法。注意“一次实验”设计。 解：用12个完全相同小球分别编上号码112，代表12个生肖，放

22、入一个不透明袋中摇匀后，从中随机抽取一球，记下号码后放回，再摇匀后取出一球记下号码连续取出6个球为一次实验，重复上述实验过程多次，统计每次实验中出现相同号码次数除以总实验次数，得到实验频率可估计每6个人中有两个人生肖相同概率。 第四章 图形相似与相似三角形知识点解读知识点1.相似图形含义把形状相同图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边比也相等图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到（2）全等形可以看成是一种特殊相似，即不仅形状相同，大小也相同（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关例1放大镜中正方形与原正方形具有怎样关系

23、呢？分析：要注意镜中正方形与原正方形形状没有改变解：是相似图形。因为它们形状相同，大小不一定相同例2下列各组图形：两个平行四边形；两个圆；两个矩形；有一个内角80°两个等腰三角形；两个正五边形；有一个内角是100°两个等腰三角形，其中一定是相似图形是_(填序号)解析：根据相似图形定义知，相似图形形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一图形，而圆、正多边形、顶角为100°等腰三角形形状不唯一，它们都相似答案：知识点2比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段长度比与另两条线段长度比相等，即（或a:b=c:d）那么这四条线

24、段叫做成比例线段，简称比例线段解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段有顺序性（2）在比例式（或a:b=c:d）中，比例项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d是第四比例项（3）如果比例内项是相同线段，即或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和比例中项。(4)通常四条线段a,b,c,d单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等例3已知线段a=2cm, b=6mm, 求分析：求即求与长度比，与单位不同，先统一单位，再求比例4已知a,b,c,d成比例，且a=6

25、cm,b=3dm,d=dm，求c长度分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,d统一单位后代入求c知识点3相似多边形性质相似多边形性质：相似多边形对应角相等，对应边比相等解读：（1）正确理解相似多边形定义，明确“对应”关系（2）明确相似多边形“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性例5若四边形ABCD四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似四边形A1B1C1D1最大边长为30，则四边形A1B1C1D1最小边长是多少？分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且它们相似比为对应最大边长比，即为，再根据相似多边形对应边成比例性质，利用方程思

26、想求出最小边长知识点4相似三角形概念对应角相等，对应边之比相等三角形叫做相似三角形解读：（1）相似三角形是相似多边形中一种；（2）应结合相似多边形性质来理解相似三角形；（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“”表示，读作“相似于”；（5）相似三角形对应边之比叫做相似比注意：相似比是有顺序，比如ABCA1B1C1，相似比为k,若A1B1C1ABC，则相似比为。若两个三角形相似比为1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等例6如图，已知ADEABC，DE=2，BC=4，则和相似比是多

27、少？点D，E分别是AB，AC中点吗？ 注意：解决此类问题应注意两方面：（1）相似比顺序性，（2）图形识别解：因为ADEABC，所以，因为，所以，所以D，E分别是AB，AC中点知识点5相似三角判定方法（1） 定义：对应角相等，对应边成比例两个三角形相似；（2） 平行于三角形一边直线截其他两边（或其他两边延长线）所构成三角形与原三角形相似（3） 如果一个三角形两个角分别与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似（4） 如果一个三角两条边与另一个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（5） 如果一个三角形三条边分别与另一个三角形三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（6）

28、 直角三角形被斜边上高分成两个直角三角形与原三角形都相似经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型： 平行线型常见有如下两种，DEBC，则ADEABC 相交线型常见有如下四种情形，如图，已知1=B，则由公共角A得，ADEABC 如下左图，已知1=B，则由公共角A得，ADCACB如下右图，已知B=D，则由对顶角1=2得，ADEABC 旋转型已知BAD=CAE，B=D，则ADEABC，下图为常见基本图形 母子型已知ACB=90°，ABCD，则CBDABCACD 解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂图形中分解出（构造出）上述基本图形例7如图，点D在ABC边AB上，满足怎样条件时，ACD

29、与ABC相似？试分别加以列举 分析：此题属于探索性问题，由相似三角形判别方法可知，ACD与ABC已有公共角A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形判别方法寻找一个条件即可解：当满足以下三个条件之一时，ACDABC条件一：1=B；条件二：2=ACB；条件三：，即AC2=AD·AB知识点6相似三角形性质（1） 对应角相等，对应边比相等；（2） 对应高比，对应中线比，对应角平分线比都等于相似比；（3） 相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比平方例8如图，已知ADEABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7（1） 求DE、AE长；（2） 你还能发现哪些线段成比例 分析：此题

30、重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即解：（1）ADEABC， ，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7 设DE=x，则， 12x=8×15, x=10;设AE=a,则, a=14.(2) 例9已知ABCA1B1C1，=，ABC周长为20cm，面积为40cm2求（1）A1B1C1周长；（2）A1B1C1面积分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比平方求解易求出A1B1C1周长为30cm; A1B1C1面积90cm2五、视图与投影1、视图三视图包括：主视图、俯视图和左视图。在画视图时，看得见部分轮廓线通常画成实线，看不见部分轮廓线通常画成虚线。例 如图，一几

31、何体三视图如右：那么这个几何体是 . 主视图 左视图 俯视图 例 如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么下面右图由7个立方体叠成几何体，从正前方观察，可画出平面图形是（ ）2、投影（1）投影：物体在光线照射下，在地面上或墙壁上留下它影子，这就是投影现象。（2）平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样光线所形成投影称为平行投影。（3）中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯光线可以看成是从一点发出，像这样光线所形成投影称为中心投影。（4）区分平行投影和中心投影：观察光源；观察影子。（5）从正面、上面、侧面看到图形就是常见正投影，是当光线与投影垂直时投影。点在一个平面上投影仍是一个点；线段在一个面上投影可分为三种情况：线段垂直于投影面时，投影为一点；线段平行于投影面时，投影长度等于线段实际长度；线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段实际长度。平面图形在某一平面上投影可分为三种情况：平面图形和投影面平行情况下，其投影为实际形状；平面图形和投影面垂直情况下，其投影为一线段；平面图形和投影面倾斜情况下，其投影小于实际形状。例 小明在操场上练习双杠时，在练习过程中他发现在地上双杠两横杠影子AEDCB（ ）A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法确定例 小明希望测量出电线杆AB高度，于是在阳光明媚一天，他在电线杆旁点D