信号与系统--第七章有限长单位脉冲响应FIR数字滤波器的设计方法ppt课件

1、 引言7.1 线性相位FIR滤波器的特点7.2 窗函数设计7.3 频率抽样设计法7.4 IIR与FIR滤波器的比较 本章小结第七章 有限长单位脉冲呼应FIR数字滤波器的设计方法引言 IIR数字滤波器的特点： 1、优点在于可以利用AF设计的现成成果，较简单、方便 2、但它不是线性相位 3、 H(z)为有理分式 FIR数字滤波器的特点： 1、容易获得严厉的线性相位，同时可以有恣意的幅度特性 2、单位脉冲呼应有限长，滤波器一定是稳定的全零点型 3、总是可实现的任何非因果有限长序列，经延时可成因果性 4、运算量化噪声可作得很小，可用FFT高效运算 5、为了得到好的衰减特性，FIR的H(z)的阶次比II

2、R要高H(z)为 的多项式1z FIR数字滤波器的 ，设计方法有： 1、直接近似法-窗函数法 2、频率抽样法、等波纹逼近法7.1 线性相位FIR滤波器的特点一，实现线性相位的条件一，实现线性相位的条件)(10)()()(jgNnnjjeHenheH）（：第二类线性相位）（：第一类线性相位0n 0 N-1)1(Nh)0(h21N(a) 0 N-1n)1(Nh)0(h21N(b)n 0 )1(Nh)0(h21N1N(c) 0 )0(h21Nn)1(Nh1N(d)N为奇数N为偶数思索：对于一个多项式思索：对于一个多项式H(z) ，如何判别它的线性相位特性？，如何判别它的线性相位特性？)1()(nNh

3、nh或 奇对称)1()(nNhnh偶对称因果FIR系统满足线性相位的充要条件： h(n)为长度N的实序列，并满足：先看h(n)偶对称的情况: h(n)=h(N-1-n) 0nN-11010)1()()(NnnNnnznNhznhzH将m=N-1-n代入 1010)1()1()()()(NmmNmNmNzmhzzmhzH其系统函数为即 )()(1)1(zHzzHN上式改写成 10212121)1(101)1(2)( )(21)()(21)(NnNnNnNnNnNnNzznhzzzznhzHzzHzH滤波器的频率呼应为 102121cos)(| )()(NnNjezjnNnhezHeHj我们可以看

4、到，上式的以内全部是标量，假设我们将频率响运用相位函数()及幅度函数H()表示 )()()(jjeHeH那么有： 21)(21cos)()(10NnNnhHNn上式的幅度函数H()是标量函数，可以包括正值、负值和零， 而且是的偶对称函数和周期函数; 而|H(ej)|取值大于等于零, 两者在某些值上相位相差。相位函数()具有严厉的线性相位，如下图。 图 h(n)偶对称时线性相位特性 2o()(N1)数字滤波器的群延迟()定义为 )()()(ddeHgrdj式中，grd(groupdelay)为群延迟函数。由上式可知，当h(n)满足偶对称时，FIR数字滤波器具有(N-1)/2个采样的延时， 它等于

5、单位脉冲呼应h(n)长度的一半。也就是说，FIR数字滤波器的输出呼应整体相对于输入延时了(N-1)/2个采样周期。 1、h(n)偶对称偶对称)21cos()()(10)21(NnnheeHNnNjj二，线性相位的特点二，线性相位的特点102121)21(2)()(NnnNnNNzznhzzH系统函数) 1(21)(21cos)()(10NNnnhHNng2、h(n)奇对称奇对称2) 1(21)(21sin)()(10NnNnhHNng1、h(n)偶对称时21)(N)(02) 1(N滤波器有(N-1)/2个采样间隔的延时2、h(n)奇对称时221)(N)()23(N022滤波器有(N-1)/2个

6、采样间隔的延时，它还是理想的正交变换网络，称为90o移相器三，幅度函数的特点三，幅度函数的特点偶对称单位冲激响应h(n) h(N1 n)相位响应21)(N情况1()o( N1)情况2N为奇数h(n)0N1nna(n)21NN为偶数h(n)0nN1b(n)01 22Nn2/ )1(0cos)()(NnnnaHH()o2/1 21 cos)()(NnnnbHH()2o0N为奇数h(n)0nN 1C(n)0121NnN为偶数h(n)0N 1nd(n)012Nn221)(N相位响应情况3()2o 23 N情况42/ ) 1(1)sin()()(NnnncHH()o22/121sin)()(NnnndH

7、H()o2 h(n) 实序列 有：0)(1zH)(0)(*1*1zHzH假设那么)()(*nhnh)()(*zHzH对线性相位FIR，更有：)1()(1zHzzHN )1()(nNhnh0)(1zH假设那么0)1(1zH四，线性相位四，线性相位FIR的零点的零点1，普通，普通 ： 四个零点为一组四个零点为一组4个零点镜像、共轭：*11zzzz2，特例，特例 ： 1 两个实零点：两个实零点： 2单位圆上的两个纯虚数：单位圆上的两个纯虚数： zj 和和 z=j 3一个单独零点：一个单独零点： z=1 或或 z= 1zz1和*1z*11z1z11zRezImzj0117.2 窗函数设计法一，窗函数法

8、根本思想一，窗函数法根本思想)(jeH1、设计目的、设计目的在于在于FIR中寻觅一个中寻觅一个)(jdeH希望特性去逼近)(jdeH普通 是逐段恒定的，且边境不延续其对应的deeHnhjjdd)(21)(往往是无限长，而且是非因果的)(nhd是有限长)( nh10)()(NnnjjenheH而)(nhd2、设计方法、设计方法去近似即，令 使)()()(nnhnhd)()(jdjeHeH例： 希望理想低通、线性相位ccjjdeeH0)(cc10)(jdeH0)(d)(nh如何用)()(sin21)(nndeenhcnjjdccn1N)(nh)(nhd0c如何在时域里选取h(n)去近似替代 ? 最

9、简一方法是：)( nhd 无限长、非因果的)1()(nNhnh显然，这样的h(n)满足线性相位条件：21N令)()()(nRnhnhNd可写作deWeHeHjjdj)()(21)()(而nnjjenweW)()(其中普通)()()(nnhnhd)()(jdjeHeH最终使二、矩形窗法二、矩形窗法)(10)()()(jRNnnjNjReWenReW其幅频特性)(*)()(RdWHH10)0()(HHN2N2c0895. 00895. 00468. 0c5 . 0)(dH10ccN2N2dB0dB13NWR)0(021)(N2sin2sin)(NWR其中如上面LP，对 用矩形窗截取后，有：)(nh

10、d)()(21)(dWHeeHRdjj 频带边境构成过渡区取决于窗的主瓣可见，加窗后偏离了理想特性 ：)(dH 过渡区两边产生肩峰和余振取决于窗的旁瓣dB21%)95. 8(log2010阻带最小衰减为为此，寻觅窗函数来减少Gibbs效应： 尽量窄的主瓣宽度将能量尽能够地集中在主瓣内 力求尽量低矮的旁瓣高度在 趋近于时，能量迅速趋于零三，各种窗函数三，各种窗函数05 . 00 . 1n)(nw1N21N05 . 00 . 1)(nw1Nn21NdB0806020400)(lg20jeWN2dB0204060800)(lg20jeWN2(a) 矩形窗 (b) 三角形窗(Bartleet) 巴特列

11、特窗-13dB-26dB (c) 升余弦窗(Hanning) 汉宁窗 (d) 改良的升余弦窗(Hamming) 海明窗05 . 00 . 1)(nw1Nn21N05 . 00 . 1)(nwn21N1NdB0806020400)(lg20jeWN2)(lg20jeW0N2dB020406080-31dB-41dB (e) 二阶升余弦窗(Blackman) 布拉克曼窗 (f) 凯泽窗(Kaiser)05 . 00 . 1n)(nw1N21N)(lg20jeW0N2dB02040608005 . 00 . 1n)(nw1N21N44. 55 . 8可以自在调理参数，来改动窗函数的外形10)()1/

12、(211()(020NnINnInw以 为中心呈偶对称，21Nn1)21(Nw-57dB(a) 矩形窗 (b) 三角形窗 (c) 汉宁窗 (e) 布拉克曼窗 (f) 凯泽窗 (d) 海明窗过渡带宽(主瓣宽)旁瓣峰值(dB)阻带最小衰减(dB)-25-13-31-41-25-57-57)865. 7(N4N8N12N10N8N8-21-53-44-74-80教材 P209 表7.2.2 六种窗函数的根本参数对加窗后的对加窗后的Filter而言而言窗函数窗函数汉宁海明布拉克曼三角形矩形021N1N)(nw0 .18 .04 .06 .02 .0可见：1、窗函数时域宽度变小 将使窗谱主瓣变宽 旁瓣肩

13、峰、余振变小 过渡区变宽 2、窗函数时域曲线缓慢下降 有利于旁瓣变矮小四，窗函数法设计步骤四，窗函数法设计步骤1，给定所要求的，给定所要求的)(jdeH2，先求得，先求得20)(21)(deeHnhnjjdd或者运用计算机：在给定1,.1 , 0)(MkkHd)()(nhnhdM当M很大时，有频域抽样导致时域序列周期(M)延拓:)()()(nRrMnhnhMrdM)()(1)(2102kHIDFTeeHMnhdknMjMkkMjdM3，由过渡区宽度，由过渡区宽度以及阻带最小衰减的要求，选定窗函以及阻带最小衰减的要求，选定窗函数的外形，并估计数的外形，并估计N值，普通值，普通N要试探几次最后确定

14、。要试探几次最后确定。普通AN4，求得所设计的，求得所设计的FIR的的1,.,1 , 0)()()(Nnnwnhnhd5，求得，求得)()()(jjdjeWeHeH还应验算能否满足设计要求，不行时那么改动N或变换窗函数其中A 与窗函数有关，如矩形窗的 A=4 例例 1 用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器 0)(ajjdeeH-c-0c 0-c, 0+c 1 设计N为奇数时的h(n)。 2 设计N为偶数时的h(n)。 3 假设改用海明窗设计，求以上两种方式的h(n)表达式。 五 举例解解 根据该线性相位带通滤波器的相位根据该线性相位带通滤波器的相位 21)(N可

15、知该滤波器只能是h(n)=h(N-1-n)即h(n)偶对称的情况，h(n)偶对称时，可为第一类和第二类滤波器，其频响 21)()(NjjHeH 1当N为奇数时，h(n)=h(N-1-n)，可知H(ej)为第一类线性相位滤波器，H()关于=0, , 2有偶对称构造。标题中仅给出了Hd(ej)在 0上的取值，但用傅里叶反变换求hd(n)时， 需求Hd(ej)在一个周期-,或0, 2上的值，因此, Hd(ej)需根据第一类线性相位滤波器的要求进展扩展，扩展结果为 0-c0+c, -0-c-0+c -0+c0-c, -0-c, 0+c 0)(ajjdeeH那么 )(cos2)()(sin)(21)(2

16、12121)(21)(0)()(00000000nnnnjenjedeedeedeeHnhcnjnjnjajnjajnjjddcccccccc h(n)=hd(n)R(n) (2) N 为偶数时，H(ej)为第二类线性相位滤波器，H()关于=0 呈偶对称。所以, Hd(ej)在-,之间的扩展同上， 那么hd(n)也同上，即: )(cos2)()(sin)(nnnnhccd)()()(nRnhnhNd(3) 假设改用海明窗 )(12cos46. 054. 0)(nRNnnwN那么 N为奇数时 )()(cos2)()(sin)(0nwnnnnhcN为偶数时 )()(cos2)()(sin)(0nw

17、nnnnhc 上面两个表达式方式虽然完全一样，但由于N为奇数时， 对称中心点=(N-1)/2 为整数，N为偶数时，为非整数，因此N在奇数和偶数情况下，滤波器的单位脉冲呼应的对称中心不同， 在 0nN-1 上的取值也完全不同。 例 2 根据以下技术目的，设计一个FIR低通滤波器。 通带截止频率p=0.2，通带允许动摇Ap=0.25dB； 阻带截止频率s=0.3，阻带衰减As=50dB。 解 查表可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于 50 dB的衰减。但海明窗具有较小的过渡带从而具有较小的长度N。 根据题意，所要设计的滤波器的过渡带为 1 . 02 . 03 . 0ps 由表可知，利用海明窗设计的

18、滤波器的过渡带宽=8/N，所以低通滤波器单位脉冲呼应的长度为 801 . 088N3 dB通带截止频率为 25. 02psc理想低通滤波器的单位脉冲呼应为 )()(sin)(nnnhcd21N海明窗为 )(12cos46. 054. 0)(nRNnnwN那么所设计的滤波器的单位脉冲呼应为 )(12cos46. 054. 0)()(sin)(nRNnnnnhNcN=80 所设计的滤波器的频率呼应为 10)()(NnnjjenheH 利用计算机编程实现，结果如下图。图a是理想低通滤波器的单位脉冲呼应hd(n); 图 (b)是海明窗函数; 图 (c) 是实践低通滤波器的单位脉冲呼应h(n); 图 (

19、d)是实践低通滤波器的幅频特性|H(ej)|，以dB为单位。滤波器长N=80，实践阻带衰减为As=53dB，通带动摇为Ap=0.0316 dB，均满足设计要求。 图 例2中低通滤波器设计结果 0.3n0.20.10.10hd (n)20406010.30.20.100.1020406080h(n)(c)0.80.60.40.20020406080w (n)(a)nn(b)50050100150(d)20 lg|H(ej)| / |H(ej0)| /dB8000/27.3 频率抽样设计法一、根本思想方法一、根本思想方法 窗函数法-从时域开场去设计频率抽样法-直接从频域去设计)(nh 有限长替代)

20、(nhd 无限长替代)( kH有限多点无限多点)(jeH逼近)(jdeH力求力求插值恢复F变换重要的是窗函数重要的是插值函数二、频率抽样设计法二、频率抽样设计法1，由 抽样得到N个H(k)值 )(jdeH1,.1 ,0)()(2NkeHkHkNjd2，由N个H(k)独一确定有限长的h(n)1,.1 ,0)()(NnkHIDFTnh3，由H(k)值按插值公式恢复)()(jdjeHeH，它将逼近)2()()(10kNkHeHNkj)21()2/sin()2/sin(1)(NjeNN其中)2sin()2(sin1)()()1(10)21(NkNkNeNkHeeHkNNjNkNjj)()(2) 1 (

21、jdeHkHkN上，在各个频率采样点的曲线平滑情况有关误差与而成，存在逼近误差。权内插函数的移位叠加的加是由各个采样点在各采样点之间的)()()()2(jdjeHkHeHN2sin2sinN21NN 02N2N4内插结果平坦段：误差不大突变段：误差很大过渡采样点 例 3 利用频率采样法，设计一个线性相位低通FIR数字滤波器，其理想频率特性是矩形的 01| )(|jdeH0c 其他 知c=0.5，采样点数为奇数N=33。试求各采样点的幅值Hk及相位k，也即求采样值H(k)。 解解 N=33, 且低通滤波器幅度特性且低通滤波器幅度特性H(0)=1。可知，这属于第一。可知，这属于第一类线性相位滤波器

22、。第一类线性相位滤波器的幅度特性类线性相位滤波器。第一类线性相位滤波器的幅度特性H()关于关于=为偶对称，为偶对称， 即即 21)()(NjjeHeH 且有： kjkeHkHHH)()2()(那么Hk满足偶对称特性，因此有： kNNkHHkkNk33322120k32 又 25. 83325 . 0)/2(,5 . 0Ncc故 01kH0k8, 25k32 9k24 kjkeHkH)(0k32 频率采样法的优点是可以在频域直接设计，并且适宜最优化设计; 缺陷是采样频率只能等于2/N的整数倍，因此不能确保截止频率c的自在取值，要想实现自在地选择截止频率，必需添加采样点数N，但这又使计算量加大。 三、频率抽样设计法特点：三、频率抽