材料力学计算题库

1、第一章绪论【例1-1】 钻床如图1-6a所示，在载荷P作用下，试确定截面 m-m上的内力。【解】(1)沿m-m截面假想地将钻床分成两部分。取m-m截面以上部分进行研究 (图1-6b),并以截面的形心 。为原点。选取坐标系如图所示。(2)为保持上部的平衡，m-m截面上必然有通过点 O的内力N和绕点。的力偶矩M。(3)由平衡条件EF- 0-A7- C2明伊=Or产u 一加=oJJ【例1-2】图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布力p作用，已知边长=400mm ,受力后沿x方向均匀伸长 A=0.05mm。试求板中a点沿x方向的正应变。【解】由于矩形截面薄板沿 x方向均匀受力，可认为板内各点沿x方向具有

2、正应力与正应变，且处处相同，所以平均应变即a点沿x方向的正应变。x方向【例1-3】图1-9b所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板，b=250mm。若在p力作用下CD杆下移 Ab=0.025试求薄板中a点的剪应变。【解】由于薄方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。0.025250第二章拉伸、压缩与剪切【例题2.1】一等直杆所受外力如图 2. 1 (a)所示，试求各段截面上的轴力，并作杆的 轴力图。解：在AB段范围内任一横截面处将杆截开，取左段为脱离体(如图2. 1 (b)所示)，假定轴力Fn1为拉力(以后轴力都按拉力假设)，由平衡方程Fx 0, Fn1 30 0得Fn1

3、 30kN结果为正值，故Fn1为拉力。同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(如图2. 1 (c)所示)为Fn2 30 40 70(kN)在求CD段内的轴力时，将杆截开后取右段为脱离体(如图2. 1 (d)所示)，因为右段杆上包含的外力较少。由平衡方程Fx 0,Fn3 30 20 0得FN3 30 2010(kN)结果为负值，说明FN3为压力。同理，可得DE段内任一横截面上的轴力5曲为Fn4 20kN30kN(a)30kN30kN (a) 40kN80kN30kN20kN40kN80kN"30kNA30BNCDE40kN80kN30kN(b)30kN40kN(a)30kN80kNA(

4、a)bA30kN B20kN CDD(a)(b)(c)30kN(b)30kN40kN 8qbN 30kA30kN B)30版广 (b)BC 40kN0kN30kN 中30kN B20kN C_ FnJD-1 Fn2E FD80kNb40kNE30kNF n330kN20kNF N220kN30kN(c)30kNFc)40kN(d)30kN40kNV B CE30kN(e)40kN0kN (d)F2Fn2f FN4F2M20kN20kNEE20kN20kN(d)(d) (f)(f)130kN30kN20kNF N420kN(c)(f)(d) 30kN(f)30kNFn3 40kN30kN(f)7

5、0kNFn430kNFn220kN70kN(d)FN4 30kN 70kN 230kN120NN20kNFN420kN20kN20kN7dkN30kN30kN20kN10kN20kN(e) 20kNFN4(f)图2. 1 例题2.1图【例题2.2】一正方形截面的阶梯形砖柱，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图2.8(a)所示。已知P 40kN。试求荷载引起的最大工作应力。解：首先作柱的轴力图，如图 2.8(b)所示。由于此柱为变截面杆，应分别求出每段柱的 横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。I函段柱横截面上的正应力，分别由已求得的轴力和已知的横截面尺寸算得30.69(MPa)(压应力

6、)0.88(MPa)(压应力)Fni40 10 N1A(240mm)(240mm)_3FN2120103N2-'TLT 7A,(370mm)(370mm)由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为 0.88MPa,是压应力。【例题2.3】一钻杆简图如图2.9(a)所示，上端固定，下端自由，长为1,截面面积为A, 材料容重为 。试分析该杆由自重引起的横截面上的应力沿杆长的分布规律。解：应用截面法，在距下端距离为x处将杆截开，取下段为脱离体(如图2.8(b)所示)，设下段杆的重量为G(x),则有G(x) xA(a)设横截面上的轴力为Fn(x),则由平衡条件将(a)式值代入(b)式

7、，得Fx。，Fn(x) G(x) 0Fn (x) A x(b)(c)即Fn(x)为x的线性函数。当 x 0 时，Fn(0) 0当 x 1 时，Fn(1)FN,maxA 1(a)(b)图2.8 例题2.2图(a)£ nJ-i(b)(c)图2.9 例题2.3图式中FN,max为轴力的最大值，即在上端截面轴力最大，轴力图如图2.9(c)所示。那么横截面上的应力为(x)Fn(x)A(d)即应力沿杆长是x的线性函数。x 0 时，(0) 0当x 1时，(1)max式中max为应力的最大值，它发生在上端截面，其分布类似于轴力图。【例题2.4】 气动吊钩的汽缸如图 2.10(a)所示，内径D 180

8、mm,壁厚 8mm,气 压p 2MPa ,活塞杆直径d 10mm,试求汽缸横截面 B B及纵向截面C C上的 应 力。解：汽缸内的压缩气体将使汽缸体沿纵横方向胀开，在汽缸的纵、横截面上产生拉应 力。(1)求横截面B B上的应力。取B-B截面右侧部分为研究对象 (如图2.10(c)所示)， 由平衡条件22Fx 0 ， -(D d )p Fn04当D d时，得B B截面上的轴力为2Fn Dp4B-B截面的面积为A (D ) (D那么横截面BB上的应力为2180 24 811.25(MPa)4D p Dp-D - 4x称为薄壁圆筒的轴向应力。图2.10 例题2.4图(2)求纵截面C C上的应力。取长

9、为 衡条件l的半圆筒为研究对象(如图2.10(d)所示)，由平l -D .Fv0, p 一 d l sin2Fn10y02得C C截面上的内力为2FniplDC-C截面的面积为A12lCC上的应力为当D>20时，可认为应力沿壁厚近似均匀分布，那么纵向截面2FniplDpD 180 2y22.5(MPa)A2l22 8y称为薄壁圆筒的周向应力。计算结果表明：周向应力是轴向应力的两倍。【例题2.7】螺纹内径d 15mm的螺栓，紧固时所承受的预紧力为 F 22kN。若已知 螺栓的许用应力150MPa,试校核螺栓的强度是否足够。解：(1)确定螺栓所受轴力。应用截面法，很容易求得螺栓所受的轴力即为

10、预紧力，有Fn F 22kN(2)计算螺栓横截面上的正应力。根据拉伸与压缩杆件横截面上正应力计算公式(2-1),螺栓在预紧力作用下，横截面上的正应力为FnA3124.6 (MPa)4 22 103.14 154(3)应用强度条件进行校核。已知许用应力为150(MPa)螺栓横截面上的实际应力为124.6MPav 150 (MPa)所以，螺栓的强度是足够的。【例题2.8】一钢筋混凝土组合屋架，如图 2.25(a)所示，受均布荷载q作用，屋架的上 弦杆AC和BC由钢筋混凝土制成，下弦杆 AB为Q235钢制成的圆截面钢拉杆。已知： q 10kN/ m , l 8.8m, h 1.6m,钢的许用应力 1

11、70MPa ,试设计钢拉杆 AB的直 径。解：(1)求支反力Fa和Fb,因屋架及荷载左右对称，所以11Fa Fb ql 10 8.8 44(kN) 22(停kN加网<b)图2.25 例题2.8图(2)用截面法求拉杆内力 Fnab ,取左半个屋架为脱离体，受力如图2.25(b)所示。由Me 0 , Fa 4.4 q - - Fnab 1.602 4得1244 4.4 - 10 8.8_128FnabFa4.4 ql2/1.6 8 60.5(kN)81.6(3)设计Q235钢拉杆的直径。 由强度条件F nab21.29(mm)4Fnab4 60.5 103 170【例题2.9】 防水闸门用一

12、排支杆支撑着，如图2.26(a)所示，AB为其中一根支撑杆。各杆为d 100mm的圆木，其许用应力10 MPa。试求支杆间的最大距离。解：这是一个实际问题， 在设计计算过程中首先需要进行适当地简化，画出简化后的计算简图，然后根据强度条件进行计算。(1)计算简图。防水闸门在水压作用下可以稍有转动，下端可近似地视为钱链约束。AB杆上端支撑在闸门上，下端支撑在地面上，两端均允许有转动，故亦可简化为钱链约束。于 是AB杆的计算简图如图 2.26(b)所示。n上墙由品jm一根支撑杆所承受 的静水压力商职品 (0 例题2.9图(b)图 2.26AB杆上，如图2.26(a)中阴影部分(2)计算AB杆的内力。

13、水压力通过防水闸门传递到 所示，每根支撑杆所承受的总水压力为Fp其中 为水的容重，其值为10 kN/31Fp102103 32 b345 10 bm ; h为水深，其值为3m； b为两支撑杆中心线之 间的距离。于是有根据如图2.26(c)所示的受力图，由平衡条件MCCCD 0其中CD 3sin3 -432 422.4(m)F 生Fnab2.44533 18.752.4103 根据AB杆的强度条件确定间距 b的值。 由强度条件F NABA34 18.75 10 bd2Wd210 106 3.140.1234 18.75 1034 18.75 104.19(m)【例题2.10】No.14a的槽钢组

14、成,三角架ABC由AC和BC两根杆组成，如图 2.34(a)所示。杆AC由两根 许用应力 160 MPa；杆BC为一根No.22a的工字钢，许用应力为100MPa。求荷载F的许可值Fo解:(1)求两杆内力与力 的平衡方程为解得(a)(b)图2.34 例题2.10图F的关系。取节点C为研究对象，其受力如图2.34(b)所示。节点CFxFy0， Fnbc COS6F NACcos 060， Fnbc sin Fnacsin - F66FNBCFNAC(a)4-Aac 18.51 1024237.02 10 m , ABC4242 10 m。根据强度条件(2)计算各杆的许可轴力。由型钢表查得杆AC和

15、BC的横截面面积分别为NA得两杆的许可轴力为643Fnac (160 10 ) (37.02 10 ) 592.32 10 (N) 592.32(kN)643Fnbc (100 10 ) (42 10 ) 420 10 (N) 420(kN)(3)求许可荷载。将Fnac和Fnbc分别代入(a)式，便得到按各杆强度要求所算出的许可荷载为Fac Fnac 592.32kNFbc Fnbc 420kN所以该结构的许可荷载应取F 420kN。【例题2.5】已知阶梯形直杆受力如图2.37(a)所示，材料的弹性模量E 200GPa,杆各段的横截面面积分别为AAB=ABc=1500mm 2, AcD=100

16、0mm2。要求：(1)作轴力图；(2)计算杆的总伸长量。图2.37 例题2.5图解：(1)画轴力图。因为在 A、B、C、D处都有集中力作用，所以 AB、BC和CD三段杆的 轴力各不相同。应用截面法得Fnab 300 100 300100(kN)Fnbc 300 100 200(kN)Fncd 300(kN)轴力图如图2.37(b)所示。(2)求杆的总伸长量。因为杆各段轴力不等，且横截面面积也不完全相同，因而必须分 段计算各段的变形，然后求和。各段杆的轴向变形分别为lABFNAB l AB100103000.1(mm)EAAB20010315001FNBCl BC2001033000.2(mm)

17、lBCEAbc2001031500l _FNCDlCD3001033000.45(mm)lCDEAcd2001031000川町巳、伸尺里为3llii 10.1 0.20.45 0.55(mm)【例题2.6如图2.38(a)所示实心圆钢杆 AB和AC在杆端A较接，在A点作用有铅垂 向下的力F。已知F 30kN , dAB=10mm, dAc=14mm ,钢的弹性模量 E 200GPa。试求 A 点在铅垂方向的位移。图2.38 例题2.6图解：(1)利用静力平衡条件求二杆的轴力。由于两杆受力后伸长，而使A点有位移，为求出各杆的伸长，先求出各杆的轴力。在微小变形情况下，求各杆的轴力时可将角度的微小变

18、化 忽略不计。以节点 A为研究对象，受力如图 2.38(b)所示，由节点 A的平衡条件，有Fx0, FNcSin30° FNBSin45Fy0，Fnc cos30°FnbCOs45° F 0解得各杆的轴力为Fnb0.518F 15.53(kN),Fnc 0.732F21.96kN(2)计算杆AB和AC的伸长。利用胡克定律，有l BlCFNB lBEAbFNClCEAc15.53 103292200 10 (0.01)41.399(mm)321.96 100.8 21.142(mm)_92200 109 - (0.014)2(3)利用图解法求A点在铅垂方向的位移。如

19、图2.38(c)所示，分别过 AB和AC伸长后的点Ai和A2作二杆的垂线，相交于点 A ,再过点A作水平线，与过点 A的铅垂线交于点A ,则AA便是点A的铅垂位移。由图中的几何关系得可得lBAAcos(45lCAAcos(30°tan0.12,6.87°AA 1.778(mm)所以点A的铅垂位移为AAcos1.778cos6.87° 1.765(mm)从上述计算可见，变形与位移既有联系又有区别。位移是指其位置的移动， 而变形是指构件尺寸的改变量。变形是标量，位移是矢量。【例题2.11 两端固定的等直杆 AB,在C处承受轴向力F (如图2.37(a)所示)，杆的拉

20、压刚度为EA,试求两端的支反力。解：根据前面的分析可知，该结构为一次超静定问题，须找一个补充方程。为此，从下 列3个方面来分析。图2.38 例题2.11图(1)静力方面。杆的受力如图2.38(b)所示。可写出一个平衡方程为Fy 0，FraFrb F 0(a)(2)几何方面。由于是一次超静定问题，所以有一个多余约束，设取下固定端B为多余约束，暂时将它解除，以未知力Frb来代替此约束对杆 AB的作用，则得一静定杆(如图2.38(c)所示)，受已知力F和未知力Frb作用，并引起变形。设杆由力F引起的变形为If (如图2.38(d)所示),由Frb引起的变形为1b (如图2.38(e)所示)。但由于B

21、端原是固定的，不能上下移动，由此应有下列几何关系1f 1b 0(3)物理方面。由胡克定律，有FaFrb1lF， lBEAEA(b)(c)将式(c)代入式(b)即得补充方程FaFrbIEAEA(d)最后，联立解方程(a)和(d)得F RAFbFal求出反力后，即可用截面法分别求得lAC段和BC段的轴力。【例题2.12】有一钢筋混凝土立柱,受轴向压力P作用，如图2.39所示。Ei、A1 和 E2、A2分别表示钢筋和混凝土的弹性模量及横截面面积，试求钢筋和混凝土的内力和应力各为多少?解：设钢筋和混凝土的内力分别为Fn1和Fn2 ,利用截面法，根据平衡方程Fy0，Fn1Fn2P(a)这是一次超静定问题

22、， 短l,刚性顶盖向下平移,必须根据变形协调条件再列出一个补充方程。由于立柱受力后缩所以柱内两种材料的缩短量应相等，可得变形几何方程为l1l2(b)由物理关系知11Fn1IE1AFn2 lE2 A2将式(c)代入式(b)得到补充方程为FnIE1A联立解方程(a)和(d)得Fn2IE2 A2E1A1E1A1E2 A2p e7a2 EA可见Fn2E2A2pE1A1E2 A2p"E1X1E2 A2(c)I7T7(d)FN1F N2EiAiE2A2即两种材料所受内力之比等于它们的抗拉(压)刚度之比。图 2.39例题2.12图可见Fn1AFn2A2 E1 E2E1E1AE2A2E2E1AE2A

23、2即两种材料所受应力之比等于它们的弹性模量之比。【例题2.14 如图2.42(a)所示，、杆用钱相连接，当温度升高t 20°C 时,求各杆的温度应力。已知：杆与杆由铜制成,E1 E2 100 GPa,30。，线膨胀系12 16.52A3 100mm ,3 12.5 106/(C)。106/(°C),A A 200mm2 ；杆由钢制成，其长度 l 1m, E3 200GPa,解：设fn1、Fn2、Fn3分别代表三杆因温度升高所产生的内力，假设均为拉力，考虑A钱的平衡（如图2.42（b）所示）,则有FxFyB例题2.14图图 2.42FN2FsinFN2Sin(a)2FniC0

24、SF N3Fn32cos(b)变形几何关系为1i13 cos(c)物理关系（温度变形与内力弹性变形）为l1l3ltcostlFniI3 tlFni cosE1A(d)E3A3(e)将（d）、（e）两式代入（c）得11 cosFni1tlEiAiCosFN3lE3A3cos(f)联立求解（a）、（b）、（f）三式，得各杆轴力Fn3 1492NFni Fn2-F2cos杆与杆承受的是压力，杆承受的是拉力,860N各杆的温度应力为Fn33%FniAi14921008602004.3 (MPa)14.92 (MPa)【例题2.13】 两铸件用两钢杆1、制造的过长e 0.11mm的铜杆3（如图2连接，其

25、间距为l 200mm （如图41（a）所示）现需将2.41（b）所示）装入铸件之间，并保持三杆的轴线平行且有间距 a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径d 10mm ,铜杆横截面为20mm 30mm的矩形，钢的弹性模量 E 210GPa,铜的弹性模量 E3 100GPa。铸铁很厚,其变形可略去不计。解：本题中三根杆的轴力均为未知，但平面平行力系只有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。因铸铁可视为刚体，其变形协调条件是三杆变形后的端点须在同一直线上。由于结构对称于杆3,故其变形关系如图 2.41(c)所示。从而可得变形几何方程为l3 e l1物理关系为图2.41 例题2.13图Fn11E

26、A11F N3I(b)(c)以上两式中的 A和A3分别为钢杆和铜杆的横截面面积。式(c)中的1在理论上应是杆3的原长1 e,但由于 e与1相比甚小，故用1代替。将(b)、(c)两式代入式(a),即得补充方程且3Le FNllE3A3EA在建立平衡方程时，由于上面已判定 1、2两杆伸长而杆2的轴力为拉力而杆 3的轴力为压力。于是，铸铁的受力如图(d)3缩短，故须相应地假设杆1、2.41(d)所示。由对称关系可知F N1F N2(e)另一平衡方程为Fx0， Fn3 Fni Fn2 0FN1FN2eEA联解(d)、(e)、三式，整理后即得装配内力为11 2-EA-E3 A3FN3eE3A3l2EA所

27、得结果均为正，说明原先假定杆 各杆的装配应力为1、2为拉力和杆3为压力是正确的。FN12AeE l1,c EA1 2 E3 A3(0.11 1039m) (210 10 Pa)0.2m2 (210 109Pa)(10 10 3m)21 9433 (100 10 Pa) (20 10 m) (30 10 m)74.5310 6 Pa 74.53(MPa)FN3A3eE31丁 1 E3 A32EA19.51(MPa)【例题3.6】两块钢板用三个直径相同的挪钉连接，如图2.44(a)所示。已知钢板宽度b 100mm ,厚度t 10mm,挪钉直径d 20mm ,挪钉许用切应力100MPa ,许用挤压应

28、力bs 300MPa ,钢板许用拉应力160MPa 。试求许可荷载 F 。图2.44 例题3.6图解:(1)按剪切强度条件求F。由于各挪钉的材料和直径均相同，且外力作用线通过挪钉组受剪面的形心，可以假定各娜钉所受剪力相同。因此，娜钉及连接板的受力情况如图2.44(b)所示。每个挪钉所受的剪力为F Fs 3根据剪切强度条件式(3-17)FS< As可得22d3.14 20F < 3 3 100 94200N 94.2kN44(2)按挤压强度条件求F。由上述分析可知，每个挪钉承受的挤压力为根据挤压强度条件式(3-19)bsFbs< Absbs 180(kN)可得F < 3

29、bs Abs 3 bs dt 3 300 20 10 180000N s ss(3)按连接板抗拉强度求 F。由于上下板的厚度及受力是相同的，所以分析其一即可。如图2.44(b)所示的是上板的受力情况及轴力图。1 1截面内力最大而截面面积最小，为危险截面，则有Fn1 1A 14A1 1由此可得F < (b d)t 160 (100 20) 10 128000N 128kNFs根据以上计算结果，应选取最小的荷载值作为此连接结构的许用荷载。故取F 94.2kN【例题3.7】 两块钢板用挪钉对接，如图2.47(a)所示。已知主板厚度t1 15mm ,盖板厚度t2 10mm ,主板和盖板的宽度 b

30、 150mm，挪钉直径d 25mm。挪钉的许用切应力100MPa，试对此挪接进行校核。解：(1)校核挪钉的剪切强度。此结构为对接接头。挪钉和主板、盖板的受力情况如图2.47(b)、图2.47(c)所示。每个挪钉有两个剪切面，每个挪钉的剪切面所承受的剪力为F F2n 6f 施K L1f 而(c)图2.47 例题3.7图根据剪切强度条件式(3-17)FSAF/64d23300 106 2524101.9(MPa) > 超过许用切应力1.9%,这在工程上是允许的，故安全。(2)校核挤压强度。由于每个挪钉有两个剪切面，挪钉有三段受挤压，上、下盖板厚度 相同，所受挤压力也相同。而主板厚度为盖板的1

31、.5倍，所受挤压力却为盖板的2倍，故应该校核中段挤压强度。根据挤压强度条件式(3-19)_ _ _ 33 理0_0_ 266.67(MPa) < bsdt13 25 15剪切、挤压强度校核结果表明，挪钉安全。(3)校核连接板的强度。为了校核连接板的强度，分别画出一块主板和一块盖板的受力图及轴力图，如图2.47(b)和图2.47(c)所示。主板在11截面所受轴力为危险截面，即有FN1 111 X7(bF"djt；3300 10160(MPa)(150 25) 15主板在22截面所受轴力Fn222F，但横截面也较1 1截面为小，所以也应校核, 3Fn2 22F/32 2 A2 2(

32、b 2d)t132 300 10盖板在33截面受轴力fN3 3133.33(MPa) <3 (150 2 25) 15-,横截面被两个挪钉孔削弱，应该校核，有2Fn3 3 3 3A3 3F /2(b 2d)t23300 102 (150 225) 10150(MPa)<结果表明，连接板安全。第三章扭转【例题3.1】 传动轴如图3.9(a)所示，其转速n 200r/min ,功率由A轮输入，B、C两轮输出。若不计轴承摩擦所耗的功率，已知： P 500kW , F2 150kW , F3 150kW及R 200kW 。试作轴的扭矩图。图3.9例题3.1图解:计算外力偶矩。各轮作用于轴上

33、的外力偶矩分别为M19550 500 N m 23.88 103N m 23.88kN m200 1503M2 M39550 N m 7.16 103N m 7.16kN m2002003M49550 N m 9.55 10 N m 9.55kN m200(2)由轴的计算简图(如图3.9(b)所示)，计算各段轴的扭矩。先计算CA段内任一横截面22上的扭矩。沿截面 22将轴截开，并研究左边一段的平衡，由图 3.9(c)可知Mx 0, T2M2 M30同理，在BC段内在AD段内T2M2T1M2M314.32kN m7.16kN mT3 M 4 9.55kN m(3)根据以上数据，作扭矩图(如图3.

34、1(d)所示)。由扭矩图可知，Tmax发生在CA段内，其值为14.32kN m。【例题3.2】 某传动轴，轴内的最大扭矩 T 1.5kN m,若许用切应力=50MPa ,试 按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量。(1)实心圆截面轴的直径d1。(2)空心圆截面轴，其内、外径之比为 解：(1)确定实心圆轴的直径。由强度条件而实心圆轴的扭转截面系数为那么，实心圆轴的直径为d/D 0.9。(3-13)式得WP>Tmax d；Wp一163 16 (1.5 106N mm)3.14 50MPa53.5mm(2)确定空心圆轴的内、外径。由扭转强度条件以及空心圆轴的扭转截面系数可知，空 心圆轴

35、的外径为16T J 16 (1.5 106N mm)(14) 1 3.14 (1 0.94) 50MPa76.3(mm)而其内径为d 0.9D 0.9 76.3mm 68.7mm(3)重量比较。上述空心与实心圆轴的长度与材料均相同，所以，二者的重量之比于其横截面之比，即22_22(D2 d2)476.32 68.72TZ_24di53.5上述数据充分说明，空心轴远比实心轴轻。0.385【例题 3.3】 阶梯形圆轴如图3.18(a)所示，AB段直径di 100mm , BC 段直径d2 80mm。扭转力偶矩 MA 14kN m , MB 22kN m , MC8kN m 。已知材料的许用切应力8

36、5MPa，试校核该轴的强度。解：(1)作扭矩图。用截面法求得 AB、BC段的扭矩，扭矩图如图 3.18(b)所示。(2)强度校核。由于两段轴的直径不同，因此需分别校核两段轴的强度。AB段1,maxT1WP114 106 N mm71.34(MPa) < BC段2,max丁2W23(100mm)3168 106 N mm79.62(MPa) < 一 (80mm)316因此，该轴满足强度要求。【例题3.4】一汽车传动轴简图如图3.19(a)所示，转动时输入的力偶矩Me9.56kN m,轴的内外直径之比2。钢的许用切应力40MPa ,切变模量G 80GPa,2许可单位长度扭转角0.3(o

37、)/m。试按强度条件和刚度条件选择轴的直径。解:(1)求扭矩To用截面法截取左段为脱离体(如图3.19(b)所示)，根据平衡条件得9.56kN m(2)根据强度条件确定轴的外径。WpD316(14)D316D3161516和Tmax<%16T4(1)316 (9.56 103N m) 1615 (40 1 06 Pa)3109 10 m 109mm根据刚度条件确定轴的外径。I p0<D432(14)D416D4 15321644G 32(1)18011_ O .0.3( )/m4 32 (9.56 103N m) 16 180:(80 109 Pa) 153125.5 10 m 1

38、25.5mm所以，空心圆轴的外径不能小于125.5mm,内径不能小于 62.75mm。第四章弯曲内力【例题4.1】试求图4.5(a)所示连续梁的支反力。解：静定梁的AC段为基本梁或主梁，CB段为副梁。求支反力时，应先取副梁为脱离体求出支反力Fb ；然后，取整体为研究对象，求出A处的支反力Fax, FAy , Ma。(a)Af-=5kN-iT图4.5例题4.1图(1)取CB梁为脱离体，如图4.5(b)所示，由平衡方程MC 0, Fb 5 Me q 3 2.5 0得Fb 29kN(2)取整体为脱离体，如图 4.5(a)所示，由平衡方程Fx 0，Fax 0Fy 0，FAy Fb F q 3 0FAy

39、 81kNM A 0, Mra 96.5kN m上述求得的约束反力为正值，说明假定的约束反力方向与实际情况一致。为了校核所得支反力是否正确，也可取AC梁为脱离体，验证所求的支反力是否满足平衡条件。【例题4.2】梁的计算简图如图4.8(a)所示。已知Fi、F2,且F2 f1，以及尺寸a、b、l、c和d。试求梁在E、F点处横截面上的剪力和弯矩。解：为求梁横截面上的内力一一剪力和弯矩，首先求出支反力FA和FB (如图4.8所示)。由平衡方程MA 0 , FBl F1a F2b 0和MB 0,FAlF1(la) F2(lb)0解得Fi(1 a)F2(lb)F1aF2bF a, F Bll图4.8例题4

40、.2图当计算横截面E上的剪力Fse和弯矩Me时，将梁沿横截面 E假想地截开，研究其左段梁，并假定Fse和Me均为正向，如图4.8(b)所示。由梁段的平衡方程Fy °，Fa Fse 0可得Fse F a由M E 0 , M E FaC 0可得Me Fac结果为正，说明假定的剪力和弯矩的指向和转向正确，即均为正值。读者可以从右段梁(如图4.8(c)所示)来计算Fse和M e以验算上述结果。计算横截面F上的剪力Fsf和弯矩Mf时，将梁沿横截面F假想地截开，研究其右段梁,并假定Fsf和Mf均为正向，如图4.8(d)所示。由平衡方程Fy 0, Fsf Fb 0可得FsfFb由M f 0 , M

41、 f FBd 0可得MF FBd结果为负，说明与假定的指向相反(Fsf)；结果为正(Mf),说明假定的转向正确。将Fa 和Fb代入上述各式即可确定 E、F截面的内力值。【例题4.3 如图4.9(a)所示为一在整个长度上受线性分布荷载作用的悬臂梁。已知最大荷载集度q0,几何尺寸如图所示。试求C、B两点处横截面上的剪力和弯矩。图4.9例题4.3图解：当求悬臂梁横截面上的内力时，若取包含自由端的截面一侧的梁段来计算，则不必求出支反力。用求内力的简便方法，可直接写出横截面C上的剪力Fsc和弯矩MC。有三角形比例关系，可得nFscFii 1Meqc1qe 2a a a236qe；qo ,则2qoaF s

42、c2l3Me 晅6l【例题4.4 如图4.11(a)所示的悬臂梁，自由端处受一集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：为计算方便，将坐标原点取在梁的右端。利用求内力的简便方法，考虑任意截面x的右侧梁段，则可写出任意横截面上的剪力和弯矩方程：Fs(x)F(a)M (x) Fx(OWxWl)(b)由(a)式可见，剪力图与x无关，是常值，即为水平直线，只需确定线上一点，例如x 0处，Fs F ,即可画出剪力图(如图4.11(b)所示)。由式(b)可知，弯矩是x的一次函数，弯矩图是一斜直线，因此，只需确定线上两点，如 x 0处，M 0, x l处，M Fl ,即可绘出弯矩图(如图4.11所示)。F

43、'nTTTn 111111111 in _w图 (c)图4.11 例题4.4图【例题4.5如图4.12(a)所示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试作梁 的剪力图和弯矩图。解：对于简支梁，须先计算其支反力。由于荷载及支反力均对称于梁跨的中点，因此， 两支反力(如图4.12(a)所示)相等。Fa Fb q1 2 任意横截面x处的剪力和弯矩方程可写成Fs(x) Fa qx q- qx(0 < x < 1)2一i 一 2 x qlx qx M (x) Fax qx - (0 < x < 1)222由上式可知，剪力图为一倾斜直线，弯矩图为抛物线。仿照例题4.4

44、中的绘图过程，即可绘出剪力图和弯矩图(如图4.12(b)和图4.12(c)所示)。斜直线确定线上两点，而抛物线需要确定三个点以上。©图4.12 例题4.5图由内力图可见，梁在梁跨中点横截面上的弯矩值为最大，Mmax q,而该截面上的8Fs 0 ；两支座内侧横截面上的剪力值为最大，Fs,max 1(正值，负值)。【例题4.6如图4.13(a)所示的简支梁在C点处受集中荷载力F作用。试作梁的剪力 图和弯矩图。解：首先由平衡方程Mb 0和Ma。分别算得支反力(如图4.13(a)所示)为FaFbl由于梁在C点处有集中荷载力 F的作用,Fb Fa l显然，在集中荷载两侧的梁段，其剪力和弯矩方程

45、均不相同，故需将梁分为AC和CB两段，分别写出其剪力和弯矩方程。图4.13例题4.6图对于AC段梁，其剪力和弯矩方程分别为Fs(x)Fa(0 < x< a)(a)M(x) Fax对于CB段梁，剪力和弯矩方程为F(l b) FaFs(x) Fa FllFaM (x) Fax F(x a) (l x)(0 < x< a)(a < x < l)(a < x< l)(b)(c)(d)由(a)、(c)两式可知，左、右两梁段的剪力图各为一条平行于x轴的直线。由(b)、(d)两式可知，左、右两段的弯矩图各为一条斜直线。根据这些方程绘出的剪力图和弯矩图如图4.1

46、3(b)和图 4.13(c)所示。由图可见，在b> a的情况下，AC段梁任一横截面上的剪力值为最大,Fb .本Fs,max l , nri八一 ,一 、一 .一，Fah集中荷载作用处横截面上的弯矩为最大，Mmax 型；在集中荷载作用处左、右两侧截面l上的剪力值不相等。【例题4.7】图4.14(a)所示的简支梁在C点处受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：由于梁上只有一个外力偶作用，因此与之平衡的约束反力也一定构成一反力偶,A、B处的约束反力为匚如匚如F a ? F bll由于力偶不影响剪力，故全梁可由一个剪力方程表示，即MeFs(x) Fa 7(0< x a)而弯矩

47、则要分段建立。MeAC 段：M(x) Fa 丁 x(0< x a)(a)(b)CB段:M (X)Fax M eMe“、(lX)(a x< l)(c)l由式（a）可知，整个梁的剪力图是一条平行于x轴的直线。由（b）、（c）两式可知，左、右两梁段的弯矩图各为一条斜直线。根据各方程的适用范围，就可分别绘出梁的剪力图和弯矩图（如图4.14（b）和图4.14（c）所示）。由图可见，在集中力偶作用处左、右两侧截面上的弯矩值有突变。若b>a,则最大弯矩发生在集中力偶作用处的右侧横截面上,M maxM eb /士十（负值）。图4.14例题4.7图【例题4.9】 图4.19（a）所示为一悬臂刚

48、架，受力如图所示。试作刚架的内力图。解：计算内力时，一般应先求支反力。但对于悬臂梁或悬臂刚架，可以取包含自由端部分为研究对象，这样就可以不求支反力。下面分别列出各段杆的内力方程为Fn(x)BC段:Fs(x)M (x)qx2 qx2(0w X< l)BA段:Fn(Xi)Fs(xi)M (x)qiql22在BA段中假定截面弯矩使外侧受拉为正。根据各段的内力方程，即可绘出轴力、剪力和弯矩图。如图4.19（d）所示。4.19(b)、图 4.19(c)和图qqiFs图(a)(b) (b)(c)图4.19例题4.9图qiFn图(c)(d) (d)(b)图4.19 (续)F作用，如图【例题4.10】一

49、端固定的四分之一圆环在其轴线平面内受集中荷载4.20(a)所示。试作曲杆的弯矩图。解：对于环状曲杆，应用极坐标表示其横截面位置。取环的中心O为极点，以OB为极轴，并用表示横截面的位置(如图4.20(a)所示)。对于曲杆，弯矩图仍画在受拉侧。曲杆的 弯矩方程为M ( ) Fx FRsin(0< < -)2在上式所适用的范围内，对取不同的值，算出各相应横截面上的弯矩，连接这些点，即为曲杆的弯矩图(如图4.20(b)所示)，由图4.20可见，曲杆的最大弯矩在固定端处的A截面上，其值为FRo(b)(b)图4.20 例题4.10图第五章弯曲应力【例题5.1】受均布荷载作用的工字形截面等直外伸梁如图5.2(a)所示。试求当最大正应力max为最小时的支座位置。解：首先作梁的弯矩图(如图5.2(b)所示)，可见，支座位置 a直接影响支座 A或B处截 面及跨度中央截面 C上的弯矩值。由于工字形截面的中性轴为截面的对称轴，最大拉、压应力相等，因此当截面的最大正、负弯矩相等时，梁的最大弯矩的绝对值为最小， 即max把%Wz为最小。建立