达朗伯原理武汉理工大学理论力学ppt课件

1、 本章引见动力学的一个重要原理达朗伯原理(DAlemberts principle) 。运用这一原理，就将动力学问题从方式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的实际来求解。这种解答动力学问题的方法，因此也称动静法(method of dynamic equilibrium)。 151 惯性力的概念惯性力的概念 质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理 152 质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理 153 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 154 定轴转动刚体的轴承动反力定轴转动刚体的轴承动反力 静平衡与动平衡的概念静平衡与动平衡的概念 达朗伯原理的运用达朗伯原理的运用 第十五章第十五章 达朗伯原理

2、达朗伯原理15-1惯性力的概念惯性力的概念 质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理人用手推车amFF力 是由于小车具有惯性，力图坚持原来的运动形状，对于施力物体(人手)产生的对抗力。称为小车的惯性力。F 定义：质点惯性力 加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性对抗的总和。amQ一、惯性力(inertia force)的概念 222222dtzdmmaQdtydmmaQdtxdmmaQzzyyxx0222bbnnmaQvmmaQdtsdmmaQ注注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。力体反作用力的合力。 非自

3、在质点M，质量m，受自动力 ， 约束反力 ，合力FNamNFR0amNF0QNF质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理二、质点的达朗伯原理二、质点的达朗伯原理 该方程对动力学问题来说只是方式上的平衡，并没有改动动力学问题的本质。采用动静法处理动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种一致的解题格式。例例1 列车在程度轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向列车在程度轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车，相对于车厢静止。求车厢的加速度厢的加速度 。a 选单摆的摆锤为研讨对象 虚加惯性力 ) (

4、 maQamQ0cossin , 0QmgX tan ga 角随着加速度 的变化而变化，当 不变时， 角也不变。只需测出 角，就能知道列车的加速度 。摆式加速计的原理。aaa解：解：由动静法, 有 解得 15-2 质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理 对整个质点系，自动力系、约束反力系、惯性力系方式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：0)()()(0iOiOiOiiiQmNmFmQNF 设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有 ) ,1,2,. ( 0niQNFiii留意到 , 将质点系受力按内力、外力划分, 那么 0)( , 0)()(iiOiiFmF 0)()(

5、0)()(iOeiOieiQmFmQF 阐明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。dtKdvmdtdaMamQiiCiii)(dtLdvmmdtdammQmOiiOiiOiO)()()(对平面恣意力系：对平面恣意力系： 0)()( 0 0)()()(iOeiOiyeiixeiQmFmQYQX对于空间恣意力系：对于空间恣意力系：0)()( , 00)()( , 00)()( , 0)()()()()()(izeizizeiiyeiyiyeiixeixixeiQmFmQZQmFmQYQmFmQX 实践运用时, 同静力学一样恣意选取研讨对象, 列

6、平衡方程求解。用动静法求解动力学问题时， 15-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 简化方法就是采用静力学中的力系简化的实际。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 和一个惯性力偶 。QRQOM )( 与简化中心有关与简化中心无关QmMaMamQROQOCQ 无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。( Reduction of the inertia forces of a rigid body) 一、刚体作平动一、刚体作平动向质心C简化：CQaMR0)()(CiiCiiiCQCarmamrQmMcQaMR刚体平动时惯性

7、力系合成为一过质心的合惯性力。翻翻页页请请看看动动画画空间惯性力系平面惯性力系质量对称面O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：iiiamQ主矢：主矩：CQaMR)( 0 )()(2反向负号表示与OiiiiiniOiOQOIrmrmrQmQmM二、定轴转动刚体二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。O直线 i : 平动， 过Mi点，向O点简化：CQaMROQOIM向质点C点简化：CQaMRCQCIM作用在C点作用在O点讨论：讨论：刚体作匀速转动，转轴不经过质点刚体作匀速转动，转轴不经过质点C 。2meRQ讨论：讨论：转轴过质点转轴过质点C，但，但0，惯性力偶，惯性力

8、偶 与与反向反向CQIM讨论：讨论：刚体作匀速转动，且转轴过质心，那么刚体作匀速转动，且转轴过质心，那么0 , 0QCQMR主矢、主矩均为零 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为随基点质点C的平动：绕经过质心轴的转动： 作用于质心CQaMRCQCIM CQaMRCQCIM三、刚体作平面运动三、刚体作平面运动 对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：0)( , 0)(0 , 00 , 0)()()(QCeCCQyeQxeMFmFmRYYRXX本质上： )( , , )(22)(22)(22eCCeCe

9、CFmdtdIYdtydMXdtxdM例例1 均质杆长均质杆长l ,质量质量m, 与程度面铰接与程度面铰接, 杆由与平面成杆由与平面成0角角位置静止落下。求开场落下时杆位置静止落下。求开场落下时杆AB的角加速度及的角加速度及A点支座反力。点支座反力。 选杆AB为研讨对象 虚加惯性力系： 2mlRQ3 , 02mlIMmaRAQAnnQ解：解：根据动静法，有(3) 02/cos , 0)(2) 0sin , 0(1) 0cos , 0000QAAnQnAnQAMlmgFmRmgRFRmgRF。得代入得由得由 cos4 :(1) ; cos23 :) 3( ; sin :)2( 000mgRlgm

10、gRAnAcos2331cos22lgmllmg0 , cos23g , , 此时时000lt用动量矩定理用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：质心运动定理再求解此题：解：选解：选AB为研讨对象为研讨对象2coslmgIA由得：由质心运动定理：nAnARmgmaglamgRma000sin0cos432 cos00cos4 , sin mgRmgRAnA 例2 牵引车的自动轮质量为m，半径为R，沿程度直线轨道滚动，设车轮所受的自动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩M，车轮对于经过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M

11、 之最大值。TS、 取轮为研讨对象 虚加惯性力系： 2mIMmRmaRCQCCQ解：解：由动静法，得：O(3) 0 , 0)(2) 0 , 0(1) 0 , 0QCCQMFRMFmSPNYRTFX由(1)得TFmRRQ得代入所以(3) mRTF (4) )()( 2222RTRRFTFRFRMmRTFmFRMFRMQC由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动，必需 Ff N =f (P+S) (5)RTRRSPfM22)( 可见，可见，f 越越大越不易滑动。大越不易滑动。 Mmax的的值为上式右端值为上式右端的值。的值。把(5)代入(4)得：O15-4 定轴转动刚体的轴承动反力定轴转动刚体

12、的轴承动反力 静平衡与动平衡的概念静平衡与动平衡的概念 一、刚体的轴承动反力一、刚体的轴承动反力 刚体的角速度刚体的角速度 ，角加速度，角加速度逆时针逆时针 自动力系向自动力系向O点简化点简化: 主矢主矢 ,主矩主矩 惯性力系向惯性力系向O点简化点简化: 主矢主矢 ,主矩主矩RQROMQOM )()()( )(kQmjQmiQmkMjMiMQmQrMaMRiziyixQzQyQxiOiiQOCQiiiiiiiiiiiiiniiiixnixixQxRzmRzmamzamzQmQmQmMcossin cossin )()()( 2ziiiiiizQzyzzxQyIRmRamQmMIIM22)( 同

13、理可得)()( /co /sin 2iiiiiiQxiiiiiizymxzmMRxsRy故而2 , yzzxQxiiiyziiizxIIMzymIxzmI惯性积令根据动静法：. 0, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 QzzBAQyyABQxxzBQyyBAQxxBAMMOBXOAXMMOAYOBYMMRZRRYYRRXX其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l , OA=l1, OB=l2 可得/)()( /)()(/)()( /)()(11112222xBQxQyxyBQyQxyxBQyQxyxAQxQyxyARZllRMlRMXllRMlRMYllRMlRMYllRMlRMX 由两部分

14、组成，一部分由自动力引起的，不能消除，称为由两部分组成，一部分由自动力引起的，不能消除，称为静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动反力，它可以经过调整加以消除。反力，它可以经过调整加以消除。 使附加动反力为零，须有静反力静反力附加动反力附加动反力动反力动反力0QyQxMM0QyQxRR当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。0022yzzxyzzxIIII)0(04222yzzxxzIII00CyCxMaMa0CCyx对z 轴惯性积为零，z 轴为刚体在O点的惯性主轴

15、；过质心 静平衡：刚体转轴过质心，那么刚体在仅受重力而不受其它自动力时，不论位置如何，总能平衡。 动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。二、静平衡与动平衡的概念二、静平衡与动平衡的概念例例1 质量不计的刚轴以角速度质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个匀速转动，其上固结着两个质量均为质量均为m的小球的小球A和和B。指出在图示各种情况下，哪些是静。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？平衡的？哪些是动平衡的？静平衡： (b)、 (d)动平衡： ( a) 动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，

16、不一定是动平衡的。不一定是动平衡的。GrrgGmrGrrRMbGrmrGrMaQQQ2222212121 , 0 : )(21 , 0 : )(对对2121 ,例例2 两个一样的定滑轮如以下图示，开场时都处于静止，问两个一样的定滑轮如以下图示，开场时都处于静止，问哪个角速度大？哪个角速度大？(a) 绳子上加力G(b) 绳子上挂一重G的物体OO 根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的方式来建立动力学方程的方法，称为动静法。运用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于知运动，求质点系运动时的动约束反力。 运用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切方式上的便利。例如，矩心可以恣意选

17、取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，运用动静法求解它们时就方便得多。 达朗伯原理的运用达朗伯原理的运用 选取研讨对象。原那么与静力学一样。 受力分析。画出全部自动力和外约束反力。 运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出 方向。 运用动静法求动力学问题的步骤及要点：运用动静法求动力学问题的步骤及要点：虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要 在在 正确进展运动分析的根底上。熟记刚体惯正确进展运动分析的根底上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。性力系的简化结果。 列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 建立补充方程

18、。运动学补充方程运动量之间的关系。 求解求知量。 注 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。QOQMR , OQOCQIMmaR , 例1 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。 取系统为研讨对象解：解：方法1 用达朗伯原理求解虚加惯性力和惯性力偶：IIMamRamROQOQQ , , 222111由动静法：00 , 0)(222111221122112211IramramgrmgrmMrRrRgrmgrmFmQOQQO列补充方程： 代

19、入上式得：2211 , raragIrmrmrmrm2222112211方法2 用动量矩定理求解 2211)(222211222111)( grmgrmMIrmrmIrvmrvmLeOOgIrmrmrmrm2222112211 根据动量矩定理：2211222211)( grmgrmIrmrmdtd取系统为研讨对象gIrmrmrmrm2222112211 )(2 21212122221122222211IrmrmIvmvmTgdrmrmIrmrmdWdTF)()(2 22112222112得由取系统为研讨对象，任一瞬时系统的 )gdr-mr(m dgrmdgrmgdsmgdsmWF2211221

20、12211 元功两边除以dt，并求导数，得方法3 用动能定理求解例例2 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为均为均质物体，各重为P和和Q，半径均为，半径均为R，绳子不可伸长，其，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试试求：求：(1)鼓轮的角加速度？鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？绳子的拉力？ (3)轴承轴承O处的支反处的支反力？力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力不计滚动摩擦？圆柱体与斜面间的摩擦力不计滚动摩擦？解：方法解：方法1 用达朗伯原

21、理求解用达朗伯原理求解取轮取轮O为研讨对象，虚加惯性力偶为研讨对象，虚加惯性力偶OOOQRgQIM221列出动静方程：(3) 0 sin0(2) 0cos0(1) 0 , 0)(TQ , YYT , XXMMTRFmOOQOAAQRgPagPR2QA21M , 取轮A为研讨对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQC如图示。QR列出动静方程：(5) 0sin , 0(4) 0sin , 0)(PFRTXMRTRRRPFmQQAQC运动学关系： ，OAOAARRa 将MQ，RQ，MQA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：。 )3()sin3( , )3()sin(22RPQQRMPTgRPQR

22、PMO代入(2)、(3)、(5)式，得：。 )3()sin(, sin)3()sin3( , cos)3()sin3(RPQPRMP FQRPQQRMPYRPQQRMPXOO方法方法2 用动力学普遍定理求解用动力学普遍定理求解(1) 用动能定理求鼓轮角加速度。 取系统为研讨对象)sin( sinPRMPRMWF)sin()3(4 , 2212PRMCRPQgWTTOF得由 )( AORRv222222221)3(4 22121221)( RPQgRgPvgPRgQTCTOAO常量gRPQPRMO2)3()sin(2 两边对t求导数： )sin(2)3(412OOOPRMRPQg(2) 用动量矩

23、定理求绳子拉力 定轴转动微分方程 取轮O为研讨对象，由动量矩定理得TRMRgQO22RPQQRMPT)3()sin3(3) 用质心运动定理求解轴承O处支反力 取轮O为研讨对象，根据质心运动定理：sin0 , cos0 , TQYYMaTXXMaOCyOCxQRPQQRMPYRPQQRMPXOO sin)3()sin3( , cos)3()sin3(4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力 取圆柱体A为研讨对象， 根据刚体平面运动微分方程)( OAAAFRIRPQPRMPgRPQPRMRgPRRIFAA)3()sin()3()sin(22122方法方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度：用动能定理求鼓轮

24、的角加速度 用达朗伯原理求约束反力绳子拉力用达朗伯原理求约束反力绳子拉力 、轴承、轴承O处反处反 力力 和和 及摩擦力及摩擦力 。TOXOYF例例3 均质圆柱体重为均质圆柱体重为P，半径为，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由，无滑动地沿倾斜平板由静止自静止自O点开场滚动。平板对程度线的倾角为点开场滚动。平板对程度线的倾角为 ，试求，试求OA=S时平板在时平板在O点的约束反力。板的重力略去不计。点的约束反力。板的重力略去不计。解：解：(1) 用动能定理求速度，加速度用动能定理求速度，加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时，圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止形状，故处于静止形状，故T1=0；在末位

25、置；在末位置时，设角速度为时，设角速度为 ，那么，那么vC = R , 动动能为：能为：P222224322121CCvgPRgPvgPT 自动力的功：sinPSWF由动能定理 得FWTT12sin34 sin04322gSvPSvgPCC对 t 求导数，那么：sin32 , sin32RggaC(2) 用达朗伯原理求约束反力取系统为研讨对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQCQRPsin3sin3221, sin322PRRgRgPMPagPRQCCQ 0sincossin32sin3 , 0)(0sinsin32 , 00cossin32 , 0RPPSRPRPMFm ,PP YY , P XXOOOO列出动静方程：SP MOcos2sin3P XO)sin3212P( YO例例4 绕线轮重绕线轮重P，半径为，半径为R及及 r ，对质心，对质心O转动惯量为转动惯