考研高数笔记

1、第一章函数、极限、连续第1节函数a) 反函数和原函数关于 y=x对称。b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。d) 2k个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2)。e) 如果f(x)是周期函数，周期为 T,贝U f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a| 。f) 基本初等函数包括：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数即上述 五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。第2节极限a) 左右极限存在

2、且相等极限存在。b) 如果函数在Xo极限为A,则可以将函数改写为 f(x)=A+ax)，其中lim a(x) = 0。(等价无穷x x0小)c) 极限存在极限唯一。(极限唯一性)d) lim f (x) A，且A>0,则在x的邻域内，f(x)>0。(保号性)x x0e) 函数f(x)在点x=x0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U,在U内f(x)有界。(有界性)f) 当 limf(x)=A , limg(x)=B ，那么lim(f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)=A+Blim(f(x)-g(x)=limf(x)-limg(x)=A-Blim(f(x)*g(x)=li

3、mf(x)*limg(x)=A*Blim(f(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于 0lim(f(x)A n=(limf(x)A n=Alim(f(x)Ag(x)=A(极限的四则运算)g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和有界量乘积仍然 是无穷小。h) lim !=1g(x)i. l=0 , f(x)=o(g(x).ii. l= m, f(x)是 g(x)低阶.iii. 0<l<s或-g<l<0 , l 工 1,同阶.iv. 1=1，等价无穷小，记作f(x) g(x).特别的，如果lim f(X

4、)k =1(1丰0)，则称f(x)是g(x)的k阶无穷小。 g(x)i) 等价无穷小代换：xxt 0 时，x sinx tanx arcsinx arctanx e -1 In(1+x)1-cosx 1 x2 =1-cos ax a x22 21 x -1 2x =(1 x)a-1 a xtanx-x 1 x3x-sinx 1 x36特殊的，xt0 时 ax-1 xlnaj) 只有因子才能进行等价无穷小的代换。k) 要注重推广形式。例如【xt0时，xsinx】，如果当xtx0时，f(x) t0,那么将原式中 成f(x)也成立。I) 求极限的方法:i. 禾U用函数的连续性(极限值等于函数值)。禾

5、U用极限的四则运算性质。ii. 抓头公式(处理多项式比值的极限)。1. 抓小头公式。(xt 0)2. 抓大头公式。(x Tm)(分子分母同除最高次项)(极限为【最高次项的系数比】)iii. 两个准则：1. 夹逼准则2. 单调有界必有极限iv. 两个重要极限:sinxlim =1X 0 v(利用单位圆和夹逼准则进行证明)1.2.lim (11)XYlim (1 x)X eX 0（利用单调有界准则进行证明）口诀：倒倒抄。（结合抓头公式）V.无穷小的运算性质、等价无穷小的代换1. 有限个无穷小之和为无穷小。有限个无穷小之积为无穷小。无穷小与有界量乘积为无 穷小。2. 12种等价无穷小的代换。vi.

6、左右极限：求分段函数分段点的极限值。vii. 利用导数的定义求极限。导数定义：增量比，取极限。构造出“增量比”的形式，则极限 就是导数。viii. 定积分的定义求极限。（处理多项求和的形式）ix. 泰勒公式1. 泰勒公式中系数表达式：?）?2. 当?=0的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。常用的麦克劳林公式：exsi nxcosxln（ x+1）（1+x）mx. 洛必达法则使用前提：（1）分子分母都趋向于 0。（ 2）分子分母的极限都存在。（3）分子分母导数 的比值为一个定值或为无穷。第一层次0*08第二层次0 oo0* o：转换成0或一0 oo - o：通分化为0 （常用换元的方法求解）第三

7、层次01 oo00使用？?进行转化。第3节连续与间断a）连续某点：极限值=函数值函数在该点连续开区间：在该区间中每个点都是连续的，则在开区间连续。闭区间：开区间连续切在端点连续b）间断第一类间断点（左右极限都存在） 可去间断点：左右极限相等 跳跃间断点：左右极限不相等第二类间断点（左右极限至少有一个不存在） 无穷间断点：因趋于无穷而造成的不存在。 振荡间断点：因振荡而不存在。c）初等函数的连续性i. 基本初等函数在相应的定义域内连续。ii. 区间I上的连续函数做四则运算形成的新函数在iii. 连续函数经过有限次的复合仍为连续函数。iv. 原函数连续且单调，反函数必为连续且单调。v. 切初等函数

8、在相应定义区间内连续。d）闭区间连续函数的性质 如果f（x）在a,b连续，则：1. f（x）在a,b有界。2. 有最大最小值3. 介值定理4. 零点定理：f（a）*f（b）0，a、b之间必有零点。第二章一元函数微分学第1节导数与微分1 导数a）导数定义：增量比，取极限。b）左导数和右导数存在且相等导数存在c）函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。d）导数的物理意义：对路程函数中的t求导为瞬时速度e）导数的经济意义：边际成本、边际收益、边际利润。?f）函数的相对变化率（弹性）：;?' （?）g）可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。h）偶函数的导数是奇函数。I上仍然是连续函

9、数。.etc2微分微分定义：自变量？x沿着切线方向的增量？y。3 求导法则a) 导数微分表(4组16个)。b) 导数的四则运算。c) 反函数的导数：原函数导数的倒数。d) 复合函数求导法则。e)参数方程求导:dy dy ? dx= dT/?f) 隐函数求导：左右两侧同时求导，y当作x的函数处理。g) 对数求导法i. 幕指函数：先将等式两边同时化为In的真数，再运用隐函数求导法则。ii. 连乘函数：先将等式两边同事化为In的真数，变成连加，再运用隐函数求导法则。4高阶导数? (?)?(?3? ?？ ？(? )3a)莱布尼茨公式：U(X)V(X)(?)= £?=0 ? (?-?(?)b)

10、 反函数的二阶导数：c) 参数方程的二阶导数:第2节微分中值定理1罗尔中值定理条件：(1) f(x)在a,b连续。(2) f(x)在(a,b)可导。(3) f(a)=f(b)。结论：在a和b之间必有一个值？使得f '(?=0。几何意义：在该条件下的函数，必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。引申-费马引理y=f(x)，若 X0 为 y=f(x)的极值点，则 f( x0)=0。2 拉格朗日中值定理条件：(1) f(x)在a,b连续。(2) f(x)在(a,b)可导。结论：在a和b之间必有一个值？使得f '?)=?-?(?)o几何意义：在该条件下的函数，必可在其区间内找到一点使

11、得切线斜率与端点连线斜率相等。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。证明：使用曲线减去两端点连线得出一个函数，再对该函数应用罗尔中值定理。 使用该定理的信号：要求证的式子中有一个端点处函数值之差。3 柯西中值定理条件：(1) f(x)、g(x)在a,b连续。(2) f(x)、g(x)在(a,b)可导。且 g' (x)0? z结论：在a和b之间必有一个值？使得莎(?) ?-?(?)(?=) ?-?(?)。柯西中值定理是拉格朗日中值定理推广。证明：使用参数方程，将 f(x)和g(x)作为参数表示。证明过程与拉格朗日中值定理相同。 使用该定理的信号：要求证的式子中有两个端点处函数值之差。4

12、泰勒中值定理泰勒中值定理即带有拉格朗日余项的泰勒公式。?(?)?+1) (?=刀?-?!0-)(?- ?)?+(?+ ；?(? ?)?+1?=0.八拉格朗日中值定理是带有拉格朗日余项的泰勒中值定理的特例。使用该定理的信号：高阶导数。般选取使用方法：(1)确认n的取值，一般根据高阶导数的阶数选取。(2)确认x0的取值,题中已知导数值的点。(3)确认x的取值，一般为题中所给已知值的点或端点和极值点。第3节微分学的应用1单调性、极值单调性：f '(X)的区间，f(x)单调增的区间；f' (x)<B区间，f(x)单调减的区间。极值：极值点和导数为零的点没有充要条件关系。可导函数的

13、极值点，对应的导数值为0。(费马引理)驻点(导数为0的点)不一定是极值点。第一判定法：若在?的邻域内，?左右导数异号，则？?是一个极值点。第二判定法：？?为驻点，且在？?处，f(x)的二阶导数存在。通过二阶导数的符号进行判定。2最值(闭区间)最值可能出现在(1)极值点(2)区间端点。3凹凸、拐点凹凸：视觉定位：俯视?+?、 f(?)+f(?)ep 上匚？+?、 f(?)+f(?)凹函数：f(厂)< -2 -凸函数：f(厂)> 2 凹函数：f ''>切凸函数：f'' (X)<拐点：可能出现在f'' =0)或f '&#

14、39;不存在的点，但不一定是。4渐近线水平渐近线：当f(x)趋向于8时，极限存在，则该极限为水平渐近线。铅直渐近线：当f(x)趋向于?时，极限趋向于则?为该函数的铅直渐近线。斜渐近线：当 f(x)趋向于8时，f(x)-(kx+b)=0，则(kx+b)为该函数的斜渐近线。其中,k=?(?)?，b=?i?a8?-?5函数图像的描绘利用极值点、拐点、与坐标轴交点、单调性、凹凸性、渐近线进行描绘。6 曲率弧微分：ds=Vl + ?(?2?曲率即：角度在单位弧长的变化。?/? |? |曲率:K-3(i+(y)221曲率半径：p=?P的长度，即得到曲率圆的圆心。曲率圆：从弧上某点出发，向凹侧沿法线方向移动

15、第三章一元函数积分学第1节不定积分(一) 定义1. F' (x)=f(x)称 F(x)为 f(x)的原函数。F(x)+C' =f(x)称 F(x)+C 为 f(x)的原函数组。2./?=?+ ?为f（x）的不定积分。(二) 性质1 (?(?= r? ? + ? '/ JJ)2. J?= ? + ?' = ?(?) 3 J? ?f?5 J'/J/ 4. J?(? ± ?(?)? J?± /?(?（三）基本几分公式24个公式=13 （基本导数表）+11 （常用公式）（四）积分方法1. 凑微分法（第一换元法）/? ?（?= ?（? + C

16、有13个常用公式。2. 换元法（第二换元法）/?= J? ?（?y?=F（t）+C=F|?-1 （?）+ ?可导且存在反函数。（根式换元、三角换元、倒代换）3. 分部积分法J? = ?- /?(?) 口诀：反对幕指三，谁先出现谁留下。第2节定积分（一）定义：分割，近似，求和，取极限。几何意义：曲线与 x轴所围面积的代数和。（二）性质：1. J?= 0? ?2.J ?= - J ?3. J? ?J? ? ?4. 以朋？ ± ? = J?1?：?± J?2( ?5.? ? ?J?= J?+ J?6. 若 f(x) >0, xa,b，则 J?> 0, ? ?7. 若

17、f(x) >g(x) , xa,b，则 J?> J?8. mw f(x) w M , xa,b，贝U m(b-a)< J?M(b-a)(三) 基本定理1.积分中值定理：?f(x)在a,b连续，则在a,b中存在一点 匕使得J?x)?= ?( E )-b a)常把f（ E称为积分平均值。2.变限积分：函数变上限(f)(x)=?4?(?)= ?(?)变下限<f)(x)=?4 ? j?d(?)= -?(?)0(x)=?(?)4 ' ?*?d(?)=?, 1(?)0(x)=?4?*?(?)'d(?)=-? ? ?'(?)O(x)=4?(?4?(?) ? &

18、#39; d(?)=? ?(?-?' (?)3牛顿-莱布尼茨公式：F' （x）=f（则為?？?？ ？?|?= ?- ?（?）第3节反常积分（广义积分）定积分：（1）有限区间。（2）区间内有界。（一）无穷区间上的广义积分?£? ?= ?叩+頁£?若极限存在，称广义积分是收敛的。若极限不存在，称广义 积分是发散的。/二?= ?lim_灵$?若极限存在，称广义积分是收敛的。若极限不存在，称广义 积分是发散的。+x99+x/灵?= /二？?？易?若两个广义积分极限都存在，称原广义积分是收敛 的。若至少有一个广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。常用公式：47 ?

19、> 0）当p>o时收敛，值为 耳。当p>i时发散。（二）无界函数的广义积分（瑕积分）? ?f（x）在a点无界：4? ?m+ 4?+?若极限存在，称积分收敛。若极限不存在，称 积分发散。? ? ?f（x）在b点无界：4? ?i?m+ 4? ?若极限存在，称积分收敛。若极限不存在，称 积分发散。? ? ? 一 一一f（x）在c点无界：4?= 4? 4?右两个广义积分极限都存在，称原广义积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。第4节定积分的应用(一) 微元法：u1确定变量x,确定x的范围a,b。2. dx Du=f(x)dx?3. U=/?= £

20、;?(二) 几何问题1. 面积：(1) 直角坐标系(2) 极坐标系：S=/?2?(?极坐标系转化为直角坐标系：？=?+ ?,x= p cos,yy= p sin,G= arctan彳?2体积：?(1) 截面面积已知的几何体的体积：v=/?$? ?(2 )旋转体的体积：绕 x 轴转：v= j?绕 y 轴转：v= £?V= j2?(?)?3. 曲线的弧长? ,(1) 参数方程:S=jV ? ? 2+ ?(? 2 dt(2) 直角坐标系：S=j?"i+ ?(?2dx(3) 极坐标系:S=j?V ?'?2+ ?2dB(三) 物理问题运用微元法三步求解。第四章多元函数微分学第

21、1节基本概念(1) 多元函数：二元函数：z=f(x,y) D定义域几何意义：曲面(2) 二元函数的极限：趋向方式有无数种，若不同趋向方式得到的极限不同，则极限不存在(极限唯一性)。(3) 二元函数的连续极限值等于函数值，则函数在该点连续。 闭区域上连续函数的性质：D为闭区域，f(x,y)在D上连续，则：1. f(x,y)在D上有界。2. 存在最大最小值。3. 可应用介值定理。4. 可应用零点定理。第2节偏导数与全微分(1) 偏导数：z=f(x,y)对x的偏导数：lim?+? ?(? ?)>0 ? =?=? ?=:?(? ?) 1? ?+?-?(? ?)?/对y的偏导数：?m0? ?=:?

22、(?)2二阶偏导数：若？?(？?和？?(？?连续，贝V ?(?等于？?(？?？。(2) 全微分：z=f(x,y)若?=A?+B?+o("? +? ?)则 z 可微。? ?dz=Adx+Bdy+ o(v? +? ?)=厉<?+卿丫(3) 偏导数与全微分的关系全微分存在？函数连续 全微分存在？ ? ?存在 ? ? ?连续？可微(4) 偏导数的计算直接计算：对不求导的变量当作常量处理(二元 多元复合函数求导(链式法则)?'1. z=f(u,v)u=u(x,y)v=v(x,y)? ? ? ? ?+ ? ? ? ? ? ? ? ? + ?' ? ? ? ?画树状图找到求导

23、路径隐函数的偏导数左右同时求导多元隐函数求导公式：? ? ?厂? ?第3节多元函数微分学的应用(数二只要求极值、最值问题)(1)二元函数的极值问题(无条件)极值点：可能是一阶偏导数为零或不存在的点。?2?2 ?2?判定极值点：当求出某点可能为极值点(?,？?)，带入？=? ?=?、？気。计算7? - ?。当其小于零：? > 0为极小值点? < 0为极大值点 大于零：不是极值点 无法判断(2) 条件极值先构造拉格朗日函数，再求各值的偏导数。(3) 闭区域上的最值1. 先找极值。2. 边界点(条件极值)。3. 比较，选出最大最小值。第五章重积分第1节二重积分(1) 几何意义：f(x,y

24、)>0，以D为底，以f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。(2) 计算?99.(99)a) 直角坐标系下：9 ?9?9?9 X9?X9(?9)?9?口诀：后积先定限r 一9992(99)b) 极坐标系下：先积r 后积 B9 99? J9?9?(；?)?9?)?9?坐标系选择：极坐标系：1. D :圆(环)、扇(环)992. f(x,y): ?9 + 99、刁?除此之外一般选择直角坐标系。第六章常微分方程第1节基本概念1. 常微分方程含未知函数的导数的方程。2. 阶未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。3. 解通解：含有任意常数的个数与阶数相同。 特解：通解中的任意常数确定。初始条件：y(?)=?, ?(?)=?,，？?-1)(?3)=?-14. 线性方程y和y的各阶导数都是以一次式出现的。第2节一阶微分方程1.可分离变量的微分方程:? ?转化： 询(x)?g(x)? /希 /?2.两边同时积分齐次微分方程:,E ?如果?=f(?，那么设？=u,则 y=x?u(x)? ?那么