期末概率论复习(1)ppt课件

1、1 1(二十一)开场王柱2021.05.272 2第七章续第七章续 特殊的区间估计特殊的区间估计3 3(7.4.1 ) 大样本情形下总体均值大样本情形下总体均值的区间估计的区间估计 由概率论中的中心极限定理可知，不论所调查的总体分由概率论中的中心极限定理可知，不论所调查的总体分布如何，只需样本容量布如何，只需样本容量n n足够大，样本均值近似地服从足够大，样本均值近似地服从正态分布。即正态分布。即设总体设总体X X的分布是恣意的，均值的分布是恣意的，均值 和方差和方差 都是未知的。用样本都是未知的。用样本 对总对总体平均数体平均数 作区间估计。作区间估计。E(X) D(X) 2 ),(21nX

2、XX (0,1)nXDXN)(E(X) 由于样本容量由于样本容量n n足够大，总体方差近似地用样本方差替足够大，总体方差近似地用样本方差替代，也近似地服从正态分布。即代，也近似地服从正态分布。即(0,1)nSX2NE(X) 4 4于是，由于是，由得，总体平均数得，总体平均数 的区间估计为的区间估计为 1unXDXP21)(E(X)/)nSuXnSuX(2121 /, 5 5 某市为了解在该市民工的生活情况，从中某市为了解在该市民工的生活情况，从中随机抽取了随机抽取了100个民工进展调查，得到民工月平均个民工进展调查，得到民工月平均工资为工资为230元，规范差为元，规范差为60元，试在元，试在9

3、5%的概率保的概率保证下，对该市民工的月平均工资作区间估计。证下，对该市民工的月平均工资作区间估计。 这里这里n=100可以以为是大样本。可以以为是大样本。 1- =0.95, /2=0.025,查附表查附表2得得 u 0.975=1.96, 于是于是, 置信度为置信度为0.95的置信区间为的置信区间为(218.24,241.76)。 解解:218.24100601.96230nsux21 241.76100601.96230nsux21 置信下限置信下限 ( (元元) ) 置信上限置信上限 ( (元元) ) 例例21-01.21-01.6 6设有一容量大于设有一容量大于50的样本的样本,它来

4、自参数为它来自参数为p的的0-1分分布的总体布的总体 X .又例又例. 0-1分布参数的区间估计分布参数的区间估计求求: p的置信度为的置信度为1- 的置信区间的置信区间.p)np(1npXnp)np(1npXn1ii 样本为样本为 X1,X2,Xn,由于样本容量大由于样本容量大,以为以为近似地服从正态分布近似地服从正态分布N(0,1).于是有于是有1zp)np(1npXnzP2/2/7 7)4(2121acbbap而不等式而不等式于是有，于是有，p 的近似的、置信度为的近似的、置信度为1- 的置信区间为的置信区间为221/z)p(npnpXnz等价于等价于0)2()(222/222/Xnpz

5、Xnpzn记记)4(2122acbbap222222Xnc),zXn(b),zn(a/).,(21pp8 8例、从一大批产品的例、从一大批产品的100个样品中个样品中, 得一级品得一级品60个个.一级品率一级品率 p 是是0-1分布的参数分布的参数.计算得计算得于是所求于是所求p的置信度为的置信度为0.95的近似置信区间为的近似置信区间为. 6 . 0100/60 x).69.0,50.0(求求:这大批产品的一级品率这大批产品的一级品率 p 的置信度为的置信度为0.95的置的置信区间信区间.解解:这里这里 1- =0.95, /2=0.025 ，n=100, u 0. 975=1.96,.36

6、,84.123,84.103cba.69. 0,50. 021pp例例21-02.21-02.9 9下面调查总体下面调查总体X X服从二点分布服从二点分布 情形，其分布情形，其分布律为律为 ，从总体中抽取一个，从总体中抽取一个容量为容量为n n的样本，其中恰有的样本，其中恰有 m m 个个“1 1，现对，现对p p作区间作区间估计。此时，估计。此时， 在最后一式推导中，需留意仅能取在最后一式推导中，需留意仅能取“1 1和和“0 0，把这些，把这些量代入上式，得量代入上式，得p p的置信度为的置信度为1- 1- 的置信区间是的置信区间是), 1 (pB p10XPp,1XP nmXn1Xp,E(

7、X)n1ii )nm(1nmnm)m(n)nm(nmXXn1S222n1i2i2 )nm(1nmn1unm, )nm(1nmn1unm(2121 1010 从一大批产品中随机的抽出从一大批产品中随机的抽出100个进展个进展检测，其中有检测，其中有4个次品，试以个次品，试以95%的概率估计这批产的概率估计这批产品的次品率。品的次品率。 记次品为记次品为“1，正品为，正品为“0，次品率为。总体分，次品率为。总体分布是二点分布，根据题意布是二点分布，根据题意n=100，m=4,由由1- =0.95, /2=0.025,查附表查附表2得得 u 0.975=1.96。置信下限置信下限 于是于是, 置信度

8、为置信度为0.95的置信区间为的置信区间为(0.002, 0.078)。解解:置信上限置信上限 0.0020.960.041011.960.04)nm(1nmn1unm21 0.0780.960.041011.960.04)nm(1nmn1unm21 例例21-03.21-03.11 11需求指出，上面引见的两种情况均属于总体分布为需求指出，上面引见的两种情况均属于总体分布为非正态分布的情形，假设样本容量较大普通非正态分布的情形，假设样本容量较大普通时，可以按正态分布来近似其未知参数的估计区时，可以按正态分布来近似其未知参数的估计区间。假设样本容量较小普通间。假设样本容量较小普通 时，不能用时

9、，不能用上述的方法求参数的估计区间。上述的方法求参数的估计区间。参数估计采用表格的方式小结于表参数估计采用表格的方式小结于表7-4-1中。中。50n50n1212 设对于给定的值设对于给定的值 (01),假设由样本假设由样本 X1,X2,Xn 1.假设统计量假设统计量 (X1,X2,Xn),满足满足 7.5： 单侧置信区间单侧置信区间 我们称随机区间我们称随机区间 ( , )为为 的置信度为的置信度为1- 的单的单(上、右上、右)侧置信区间侧置信区间, 称称 为置信度为为置信度为1- 的单侧置信下限的单侧置信下限.1),.,(1nXXP2.假设统计量假设统计量 (X1,X2,Xn),满足满足1

10、),.,(1nXXP 我们称随机区间我们称随机区间 (- , )为为 的置信度为的置信度为1- 的单的单(下、左下、左)侧置信区间侧置信区间, 称称 为置信度为为置信度为1- 的单侧置信上限的单侧置信上限.1313如如,正态总体正态总体 X; 均值均值 ,方差方差 2均为未知均为未知.设设X1,X2, Xn为该总体为该总体 N (, 2)的样本的样本.并给定置并给定置信度为信度为1- , 由由于是得到于是得到 的置信度为的置信度为1- 的单的单(下下)侧置信区间侧置信区间为为)1(/ntnSX有有(1)1,/XPtnSn (1)1,SPXtnn 即即(,(1).SXtnn 的置信度为的置信度为

11、1- 的单的单(下下)侧置信区间的置信上限侧置信区间的置信上限为为(1).SXtnn 1414留意到留意到 因此，因此， 的置信度为的置信度为1- 的单的单(下下)侧置信区间侧置信区间1(1)(1)tntn 即即即即(,(1).SXtnn 的置信度为的置信度为1- 的单的单(下下)侧置信区间的置信上限侧置信区间的置信上限(1).SXtnn 1(,(1).SXtnn 1(1).SXtnn 1515由由于是得到于是得到 的置信度为的置信度为1- 的单的单(上上)侧置信区间侧置信区间为为)1(/ntnSX有有1(1)1,/XPtnSn 1(1)1,SPXtnn 即即1(1),).SXtnn 的置信度

12、为的置信度为1- 的单的单(上上)侧置信区间的置信下限侧置信区间的置信下限为为1(1).SXtnn 同理同理1616留意到留意到 因此，因此， 的置信度为的置信度为1- 的单的单(上上)侧置信区间侧置信区间1(1)(1)tntn 即即即即(1),).SXtnn 的置信度为的置信度为1- 的单的单(上上)侧置信区间的置信下限侧置信区间的置信下限(1).SXtnn 1(1),).SXtnn 1(1).SXtnn 17 17又由又由于是得到于是得到 2 的置信度为的置信度为1- 的单的单 (下下)侧置信区间侧置信区间为为有有即即 2的置信度为的置信度为1- 的单的单(下下)侧置信区间的置信上限侧置信

13、区间的置信上限为为)1()1(222nSn,1)1()1(222nSnP,1)1()1(222nSnP),)()(,(11022nSn.)1()1(222nSn1818又由又由于是得到于是得到 2 的置信度为的置信度为1- 的单的单 (上上)侧置信区间侧置信区间为为有有即即 2的置信度为的置信度为1- 的单的单(上上)侧置信下限为侧置信下限为)1()1(222nSn2212(1)(1)1,nSPn 2221(1)1,(1)nSPn 22(1)(,)(1)nSn 2221(1).(1)nSn 1919 从一批灯泡中随机取从一批灯泡中随机取5只作寿命实验只作寿命实验. 测得测得的寿命如下的寿命如下

14、:1050 1100 1120 12501280设灯泡寿命近似地服从正态分布设灯泡寿命近似地服从正态分布. 这里这里 1- =0.95, n=5, t 0. 95(4)=2.1318,计算得计算得于是所求置信度为于是所求置信度为0.95的单的单(上上)侧置信下限为侧置信下限为.9950,11602sx15(1)1065.xtnn 求灯泡寿命平均值的置信度为求灯泡寿命平均值的置信度为0.95的单的单(上上)侧置信下限侧置信下限.解解:例例21-04.21-04.2020第八章续第八章续 特殊的假设检验特殊的假设检验2121(*1)基于成对数据的检验基于成对数据的检验n1=n2=n ，12 22

15、且未知且未知为了比较两种产品、两种仪器、两种方法等为了比较两种产品、两种仪器、两种方法等 的差的差别，我们常在一样的条件下做对比实验，得到一别，我们常在一样的条件下做对比实验，得到一批成对批成对n1=n2=n的察看值。然后分析察看数据做的察看值。然后分析察看数据做出推断。这种方法称为逐对比较法。出推断。这种方法称为逐对比较法。令令 , ,), 2 , 1(niYXZiii),(222121NZi),(222121NZ),(21nZZZ视视 为总体为总体 的的一个样本，于是，所要进展的检验等价于一个正态一个样本，于是，所要进展的检验等价于一个正态总体，方差未知的检验即可总体，方差未知的检验即可(

16、t(t检验检验) ) 。其中：。其中： 那么那么 , ,0:,0:211210HH2121)(11,1ZZnsZnZniinii) 1(2ntnSZt2222(*2) 总体方差总体方差12 22 都未都未知，且知，且n1 n2的检验的检验令，令，并设并设X1,X2,Xn1为来自总体为来自总体 N (1, 12)的样本的样本. Y1,Y2,Yn2为来自总体为来自总体 N (2, 22)的样本的样本. 这这两个样本相互独立。两个样本相互独立。 n1 n2.检验为检验为H0:1 =2; H1: 1 2 。), 2 , 1(111121212121niYnYnnYnnXZnkknkkiii2323那么

17、那么其中，其中，2122212211)(nnnnZEi2221212121221222221122222121221221212211)222()(1)(1)()(21nnnnnnnnnnnnnnnnnYnYnnYnnXEZDnkknkkiii),2,1,(0),(1njijiZZCovji2424在在H0H0成立的条件下，选用统计量成立的条件下，选用统计量 即可，其中即可，其中 于是，视于是，视 为来自正态总体为来自正态总体的一个样本。原来的问题等价于一个正态总体，的一个样本。原来的问题等价于一个正态总体，未知方差，检验未知方差，检验)(1112ntnSZt2n1ii12n1ii1)Z(Z1

18、n1S,Zn1Z11 ),(121nZZZ),(22212121nnN0:, 0:211210HH2525 在平炉上做操作方法的实验在平炉上做操作方法的实验.交替进展两种方交替进展两种方法各法各10炉炉,其得率为其得率为:这里取这里取 =0.05, 由表由表8.3.1知此检验问题的回绝域知此检验问题的回绝域为为设两个样本相互独立设两个样本相互独立.且来自两个正态总体且来自两个正态总体N ( 1, 2), N ( 2, 2).问新法问新法y能否提高得率能否提高得率?(取取 =0.05).解解:按题意需检验按题意需检验 H0:1-2=0; H1: 1-2 0 。有时提出的假设检验问题能够是：有时提

19、出的假设检验问题能够是： 此时称为右边检验。此时称为右边检验。在显著性程度在显著性程度 下，检验假设下，检验假设 H0： = 0； H1： 0 的回绝域的回绝域.取检验统计量取检验统计量nXz0.,0待定kknXz 当假设当假设H0为真时为真时, z不应太大不应太大.因此回绝域的方式因此回绝域的方式为为 当假设当假设H0为真时为真时, ) 1 , 0(0NnXzzk 由正态分布分位点的定义得由正态分布分位点的定义得, . 回绝域为回绝域为.unXz10z.00knXP2929类似地类似地:在显著性程度在显著性程度 下，左边检验问题下，左边检验问题 “ H0： = 0； H1： 0 。3.在显著

20、性程度在显著性程度 下，左边检验假设下，左边检验假设 H0： = 0； H1： 0 。回绝域的方式为回绝域的方式为取检验统计量取检验统计量nXz0.10zunXz3232 知某种水果罐头知某种水果罐头(维生素维生素C)的含量服从正的含量服从正态分布。规范差为态分布。规范差为3.98(毫克毫克)。产质量量规范中，。产质量量规范中，Vc的平均含量必需大于的平均含量必需大于21毫克。现从一批这种水果罐头毫克。现从一批这种水果罐头中抽取中抽取17罐，测得含量平均值罐，测得含量平均值 (毫克毫克)。问这批罐头的问这批罐头的Vc含量能否合格？取含量能否合格？取 =0.05。解解:由于此题要求的平均含量必需

21、大于由于此题要求的平均含量必需大于21毫克，少毫克，少了判为不合格品，所以用单侧检验。了判为不合格品，所以用单侧检验。 在成立的条件下，在成立的条件下，23x21:21:100HH) 1,0(2201NUnXnXU例例21-07.21-07.3333由检验程度由检验程度=0.05 ，查规范正态分布表，得临界值，查规范正态分布表，得临界值 ，确定否认域为，确定否认域为 。由样本察看值计算由样本察看值计算 所以，否认，即以为这批罐头的含量符合规范。所以，否认，即以为这批罐头的含量符合规范。 38. 11u)(1，u38. 107. 21798. 321232200 , 1nXU34342. 2为未

22、知为未知,关于均值关于均值 的的检验检验(t检验检验)nSXt/0采用统计量采用统计量总体为总体为 N (, 2),其中其中, 2为未知为未知,我们来求检验问我们来求检验问题题:H0： = 0； H1： 0 。在显著性程度在显著性程度 下的回绝域下的回绝域.作为检验统计量作为检验统计量,当当 t 过分大时就回绝过分大时就回绝H0,回绝域回绝域的方式为的方式为./knSXt0)(11ntk35353. 单个正态总体方差的假单个正态总体方差的假设检验设检验设总体为设总体为N ( , 2) , 、 2均为未知均为未知,要求要求 检检验假设验假设(显著性程度为显著性程度为 )： H0： 2 = 02

23、； H1： 2 02 。由于由于s2 是是 2的无偏估计，当的无偏估计，当H0 为真时，为真时，比值在比值在 1 附近摆动，而不应过分大于附近摆动，而不应过分大于1，也不应过分小于也不应过分小于1。我们知。我们知),1() 1(2202nSn3636我们取我们取,)1(2022sn 其回绝域的方式为：其回绝域的方式为：作为检验统计量。作为检验统计量。,)(ksn20221此处此处k的值由下式确定：的值由下式确定：).(1212nk), ) 1(21n3737 机器包装食盐，假设每袋盐重服从正态分布，机器包装食盐，假设每袋盐重服从正态分布，规定每袋盐规范分量为规定每袋盐规范分量为500克，规范差

24、不能超越克，规范差不能超越10克。克。某日开工后，从装好的食盐中随机抽取某日开工后，从装好的食盐中随机抽取9袋，测得分量袋，测得分量为为(单位：克单位：克)：497 507 510 475 484 488 524 491 515。问这天包装机的任务能否正常。问这天包装机的任务能否正常(取取 =0.05)？所以所以, ,不能否认不能否认H0 H0 ，即可以以为平均每袋盐重为，即可以以为平均每袋盐重为500500克。克。在在H0H0成立的条件下成立的条件下解解:包装机任务正常指包装机任务正常指 克和克和 ，因此分两步进展，因此分两步进展检验。检验。 如今如今, n=9, =0.05，得临界值，得临

25、界值又得又得 5002210500:500:100HH) 1(20ntnsXt306. 2)8(21t306. 2187. 0903.16500499|2200nsXt例例21-08.21-08.3838 所以，否认所以，否认 ，即可以以为方差超越，即可以以为方差超越(10)2 (10)2 ，包装机任务不稳定。，包装机任务不稳定。 由、可以以为，包装机任务不正常。由、可以以为，包装机任务不正常。在在 成立的条件成立的条件下下如今如今, n=9, =0.05，得临界值，得临界值又得又得 22122010:10:HH0H) 1() 1(10) 1(22222221nsnsn5 .15)8(215

26、.1556.201003.168) 1(2220220,1sn0H3939 总体总体 X N (, 2), =2, =40。如今。如今用新法消费。随机取用新法消费。随机取n=25。样本均值为。样本均值为 =41.25。设总体均方差不变。问在显著性程度设总体均方差不变。问在显著性程度= 0.05之下之下产品有否提高？产品有否提高？X解解:按题意需检验假设按题意需检验假设“ H0： = 0 =40 ； H1： 0。这是右边检验问。这是右边检验问题。题。回绝域为回绝域为6451z0500.nXz.如今如今645.1125.32524025.41z落在回绝域中。回绝落在回绝域中。回绝H0，以为产品有显

27、著的提高。，以为产品有显著的提高。例例21-09.21-09.4040是利用假设是利用假设H0为真时服从为真时服从N(0,1)分布来确定回绝域的的统计量分布来确定回绝域的的统计量, nXU0这种检验法称为这种检验法称为 u 检验法检验法.0X上面例上面例1中中,如将需求检验的问题写成以下的方式更如将需求检验的问题写成以下的方式更为合理为合理:H0： 0； H1： 0 。取显著性程度取显著性程度 ，来确定回绝域，来确定回绝域. 由于在由于在H0中的中的 都比在都比在H1中的中的 要小，从直要小，从直观上看观上看,较合理的检验法那么应是较合理的检验法那么应是:假设察看值的假设察看值的 与与0的差的差 过分大过分大,即即 那么我那么我们回绝们回绝H0,因此因此 回绝域