圆锥曲线轨迹问题(教师版)

1、_第四讲有关圆锥曲线轨迹问题（教师版）根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数” ，将“曲线”转化为“方程” ，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。求轨迹方程的的基本步骤： 建设现代化（检验）建（坐标系） 设（动点坐标） 限（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入） 化（化简整理） 检验（要注意定义域“挖”与“补” ）求轨迹方程的的基本方法

2、：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。1直接法： 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；yM例 1、已知直角坐标系，点Q（ 2，0），圆 C 方程为 x2y21，动点 MN到圆 C 的切线长与MQ 的比等于常数(0) ，求动点 M的轨迹。OQx222。 M ( x, y) , 则【解析】设 MN切圆 C 于 N，则 MNMOONx2y2 1(x 2)2y2化简得(21)(x2y2 )4 2 x(1 42) 0当1时，方程为 x45 ，表示一条直线。( x2 2) 2y 21

3、 3 2当1时，方程化为21( 21) 2表示一个圆。【练习】如图，圆 O1 与圆 O2 的半径都是1，O1O24 . 过动点 P 分别作圆 O2 、圆 O2 的切线 PM ，PN（ M ，N分别为切点） ，使得 PM2PN . 试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程 .【解析】以 O1O2的中点 O 为原点， O1O2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1( 2，0) ， O2(2，0) .由已知 PM2PN ，得 PM 22PN2.因为两圆半径均为1，所以PO1212( PO221).设 P(x ，y) ，则 ( x2) 2y 212( x 2) 2y 21 ，即 (

4、x 6) 2y233 .(或 x 2y212x 3 0 )评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系, 设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的精品资料_证明可以省略，但要注意“挖”与“补 ”。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可， 求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。2定义法： 运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义） ，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例 2、已知动圆过定点p ,0 ，且与直线 xp 相切，其中 p 0 .22求动圆圆心 C 的轨迹的方程；p,02ppxp解析】如图，设 M 为动圆圆心，,0为记为 F2的垂线，垂足为

5、 N ，2，过点 M 作直线 x2由题意知： MFMN 即动点 M 到定点 F 与定直线 xp 的距离相等， 由抛物线的定义知，2点 M 的轨迹为抛物线，其中 Fp ,0 为焦点， xp 为准线，轨迹方程为 y22 px( P 0) ；22【练习】 已知圆 O的方程为 x 2+y2=100, 点 A 的坐标为（ -6 ，0）， M为圆 O上任一点， AM 的垂直平分线交 OM于点 P，求点 P 的方程。【解析】由中垂线知，PAPM 故 PAPOPMPOOM10 ，即 P 点的轨迹为以 A、 O为焦点的椭圆，中心为（-3 ， 0），故 P 点的方程为 (x 3) 2y 21252516已知 A、

6、B、C是直线 l 上的三点，且|AB|=|BC|=6 ，O切直线 l 于点 A，又过 B、C作 O异于 l 的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P 的轨迹方程 .【解析】设过 B、C 异于 l 的两切线分别切 O于 D、E 两点，两切线交于点 P. 由切线的性质知： |BA|=|BD| ， |PD|=|PE| ， |CA|=|CE| ，故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|EPO'DABCl=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18 6=|BC| ，故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B、 C 为两焦点的椭圆，以 l 所在的直

7、线为 x 轴，以 BC的中点为原点，建立坐标系，22可求得动点 P 的轨迹方程为：xy18172评析：定义法的关键是条件的转化 转化成某一基本轨迹的定义条件。三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点 P(x,y) 却随另一动点 Q(x，y)的运动而有规律的运动，且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将 x,y 表示为 x,y 的式子，再代入 Q的轨迹方程，然而整理得 P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。精品资料_例 3、如图，从双曲线 x2-y 2 =1 上一点

8、 Q引直线 x+y=2 的垂线，垂足为 N。求线段 QN的中点 P 的轨迹方程。【解析】设动点P 的坐标为（ x,y ） , 点 Q的坐标为（ x1,y 1）则 N（ 2x-x 1,2y-y 1）代入 x+y=2, 得 2x-x 1+2y-y 1=2又 PQ垂直于直线 x+y=2，故yy11，即 x-y+y11xx1-x =0由解方程组得 x13x1y1, y1131, 代入222xy2双曲线方程即可得 P 点的轨迹方程是 2x2 -2y 2-2x+2y-1=0【练习】已知椭圆x 2y21(ab0)的左、右焦点分别是 F （ c， 0）、F （ c， 0），12a 2b 2Q 是椭圆外的动点，

9、满足 |F1Q|2 . 点P是线段1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段 F2Q上，并aF且满足 PT TF2 0,|TF2 |0.求点 T 的轨迹 C的方程；【解析】解法一：（相关点法）设点 T 的坐标为 (x, y).当 | PT | 0 时，点（ a ， 0）和点（ a ，0）在轨迹上 .当 |PT| 0 |TF2 | 0时，由PT TF20，得2 .且PT TF又 | PQ | | PF2 | ，所以 T 为线段 F2Q的中点 .x cx ,设点 Q的坐标为（ x , y ），则2yy .2因此 x 2x c, 由 | F Q | 2a得 ( x c) 2y 24a2 .y 2 y.1将代

10、入，可得 x 2y2a 2 .综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2y2a2 .解法二：（几何法）设点 T 的坐标为 (x, y). 当 | PT | 0 时，点（ a ，0）和点（ a ，0）在轨迹上.当| PT|0且 |TF2 |0 时，由|PT| |TF2 |0，得PTTF2.又|PQ| |PF2|，所以 T21 2中， |OT1| F Q | ax2y2a2 .为线段 F Q的中点 . 在 QFF|1，所以有2综上所述，点 T 的轨迹 C的方程是 x2y2a 2 .评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。精品资料_四、参数法： 求轨迹方程

11、有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使 x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。例 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y=x2 上异于坐标原点O的两不同动点、A B满足 AO BO（如图 4 所示） . 求 AOB的重心 G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；【解析】解法一：以 OA的斜率 k 为参数由 ykx2 解得 A（ k， k2 ）yx OAOB， OB： y1 x 由 y1 x解得 B1 , 1kyx2kk k2x1k1设 AOB的重心 G（ x， y），则3k1k 21y3k2消去参数 k得重心 G的轨迹

12、方程为 y3x223xx1x23解法二：设 AOB的重心为 G(x,y),A(x 1,y1 ),B(x2,y 2 ), 则（1）y1y2y3 OAOB kOAkOB1 , 即 x1 x2y1 y21， (2)又点 A，B 在抛物线上，有 y1x12 , y2 x22，代入（ 2）化简得 x1x21 yy1 y21 ( x12x22 )1( x1x2 ) 22x1 x2 1(3x)223x 22333333所以重心为 G的轨迹方程为 y3x 22 。3【练习】如图，设抛物线 C : yx 2 的焦点为 F，动点 P 在直线 l : xy2 0上运动，过P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且

13、与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点 . 求 APB的重心 G 的轨迹方程 .yBAGOxPl精品资料_【解析】设切点 A、 B 坐标分别为 ( x,x02 )和( x1 , x12 )( x1x0 ) ，切线 AP的方程为： 2x0 xyx020; 切线 BP的方程为： 2x1 xy x120;解 得 P 点 的 坐 标 为 ： xPx02x1 , yPx0 x1 所 以 APB 的 重 心 G的坐标为x0 x1xPy0y1yPx02x12x0 x1( x0 x1 ) 2x0 x14xP2y p,xG3xP ， yG3333所以2yp3yGG ，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心

14、G的轨迹方程为：4 xx ( 3y 4x2 ) 2 0,即 y1 (4x 2x 2).3评析： 1. 用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。2. 选用什么变量为参数， 要看动点随什么量的变化而变化， 常见的参数有： 斜率、截距、定比、角、点的坐标等。3. 要特别注意消参前后保持范围的等价性。4. 多参问题中，根据方程的观点，引入 n 个参数，需建立 n+1 个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少） 。五、交轨法： 求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联

15、系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。例 5 、抛物线 y24 px( p0) 的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB，求抛物线的顶点 O在直线 AB上的射影 M的轨迹。解 1（交轨法）：点 A、B 在抛物线y24px(p0)上，设（ y A2, y A )，B（ yB2,yB) 所以A4 p4 pkOA= 4 pk OB= 4 p , 由 OA 垂直 OB 得 kOA kOB =-1 ，得 yAyB= -16p 2,又 AB 方程可求得y AyBy AyBy A2，即（+y ）y-4px-yy =0, 把 y y = -16p2代入得 AB方程（ y +y ）y y Ay A2

16、yB2 (x4 p )yABA BA BAB4 p4 py-4px+16p 2=0 又 OM的方程为yy AyB x4PAB即得 x2y24px0，即得 (x 2 p)2y24p2。由消去得 y +y所以点 M的轨迹方程为 (x2 p) 2y 24 p2 ，其轨迹是以 (2 p,0) 为圆心，半径为 2 p 的圆 ,除去点（ 0，0）。评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得精品资料_到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。2=0可得 AB 过定点（ 4p,0 ）而解 2（几何法）：由解 1 中 AB 方程（ y +y ）y-4p

17、x+16pABOM垂直 AB，所以由圆的几法性质可知： M 点的轨迹是以 ( 2 p,0)为圆心，半径为 2 p 的圆。所以方程为 ( x 2 p) 2y 24 p 2 ，除去点（ 0，0）。五、向量法：（ 1995 全国理）已知椭圆如图6， x2y2xy例 6 、24 1，直线 L：12 1，168P是L上一点，射线交椭圆于点 ，又点Q在上且满足 | ·| |2.OPROPOQOPOR当点 P 在 L 上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线总结：以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法，对于下面几点，在复习轨迹问题时是值得我们引起高度重视的：1. 高考方向要把握图 6高考考查

18、轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法。2. “轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量） 。3. 抓住特点选方法处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累。所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不再重复）。4. 认真细致定范围确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：准确理解题意，挖掘隐含条件；列

19、式不改变题意，并且要全面考虑各种情形； 推理要严密，方程化简要等价； 消参时要保持范围的等价性； 数形结合，查“漏”补“缺”。5. 平几知识“用当先”在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；简化条件式；转化化归。6. 向量工具“用自如”向量是新课改后增加的内容，它是数形转化的纽带，它在初等数学的各个分支中起着十分重要的工具作用，在复习时应加强训练，使学生熟练掌握，并能运用自如。精品资料_巩固练习：1.点M xy与定点F的距离和它到直线x=4的距离的比为2,则动点 M(,)(1,0)的轨迹方程为 ().A.x2y 21B.x2y21C.

20、 3x2 - y2-34x+65=0D. 3x2- y2-30 x+63=04343(目的:掌握直接法求轨迹方程的基本思路及步骤 ,同时掌握双曲线第二定义 ,避免错误使用)答案: D解析 :(x1) 2y 22, 两边平方即得 3x2- y2-30x+63=0x42 . P 是椭圆 x2y 21上的动点 ,作 PD y 轴, D为垂足 ,则 PD中点的轨迹方程为 ( ).169A. x2y 21B.x 2y21C.x 2y 21D.x 2y 219166499449(目的 :掌握代入法求轨迹方程的基本思路及步骤 ,理解其适用的题型 ) 答案 : D解析:设PD中点为 M x,y),则P点坐标为

21、(2x,y),代入方程 x 2y 21,即得(169x2y 21.493.已知双曲线 x 2y21,(a>0,b>0),A1、A2 是双曲线实轴的两个端点 ,MN是垂直于a 2b2实轴所在直线的弦的两个端点 ,则 A1M与 A2N 交点的轨迹方程是 ().A.x2y21B.y 2x21C.x2y21D.a2b2a2b2a2b 2y 2x 21( 目的:熟悉参数法求轨迹方程的基本思路 ,理解相交点轨迹方程的解题技巧 )a 2b 2答案: A解析:设 M x1,y1),N x1,-y1),A1M与 A2N交点为P(xy),A1(-aA2a则(,0),(,0),A1 M 的方程是yx a,A2M的方程是yx a,两式相乘 ,结合x12y12即y1x1y1x11aaa2b 2得.抛物线的准线 l的方程是 y=1,且抛物线恒过点 P4.(1,-1),则抛物线焦点弦的另一个端点 Q的轨迹方程是 ().(B)A. (x-1) 2=-8( y-1) B.( x-1) 2=-8( y-1)( x 1)C. (y-1