同余定理解法的其他情况

1、同余定理分三类：口诀套用，化余为一，其他“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加 ”这是同余问题的口诀。所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称 作同余问题。首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差 同减差”。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所 以取-3，表示为60n-3。【60后面的“n”请见4、，下同】2、和同加和：

2、用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和 同加和”。例：“一个数除以4余3，除以5余2,除以6余1 ”，因为4+3=5+2=6+1=7， 所以取+7，表示为60n+73、余同取余 :用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数， 可以选除数的最小公倍数， 加上这个相同的余数， 称为 :“余 同取余”。例:“一个数除以 4 余 1，除以 5 余1，除以 6余 1”，因为余数都是 1，所以取 +1 ，表示为 60n+1 。4、最小公倍加 :所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍 （即上面 1、2

3、、3 中的 60n） 都满足条件，称为:“最小公倍加”，也称为:“公倍数作周期 ”。余数问题中的一个重要问题就是同余问题， 在同余问题解决过程中， 推荐代入法 和口诀法两大类。其中口诀法是公倍数做周期，余同取余，和同加和，差同减差 的应用，但是有时候会出现余不同， 和不同并且差也不同的现象， 这就需要我们 采用剩余定理进行解决。剩余定理的原理比较繁琐， 不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行 测中的类似问题。下面给出一些例题，对剩余定理的解题方法加以熟练 :【例 1】一个数被 3 除余 1，被 4 除余 2，被 5 除余 4，这个数最小是多少 ?题中 3、4、5 三个数两两互质。贝9 4,

4、 5=20 ；, 5=15 ；，4=12 ；, 4, 5=60。为了使20被3除余1，用20 X 2=40 ;使15被4除余1，用15 X 3=45 ；使 12 被 5 除余 1，用 12X 3=36。然后，分别乘以他们的余数 :40X 1+45X 2+36X 4=274，因为， 274>60 ，所以， 274-60 X 4=34 ，就是所求的数。【例 2】一个数被 3 除余 2，被 7 除余 4，被 8 除余 5，这个数最小是多少 ?在 1000 内符合这样条件的数有几个 ?题中 3、7、8 三个数两两互质。贝7， 8 =56；3， 8 =24；3， 7 =21 ；3， 7， 8 =1

5、68。为了使 56 被 3 除余 1，用 56X 2=112；使 24 被 7 除余 1，用 24X 5=120；使 21 被 8 除余 1，用 21X 5=105；然后， 112X 2+120X 4+105 X 5=1229。因为， 1229>168，所以， 1229-168 X7=53 ，就是所求的数。再用 (1000-53)/168 得 5, 所以在 1000 内符合条件的数有 5 个。【例 3】一个数除以 5 余 4，除以 8 余 3，除以 11 余 2，求满足条件的最小的自 然数。题中 5、8、11 三个数两两互质。贝9 8, 11=88 ；, 11=55 ；, 8=40 ；

6、5,8, 11=440。为了使88被5除余1，用88 X 2=176 ；使55被8除余1，用55 X 7=385 ；使40 被11 除余 1，用 40X8=320。然后， 176 X4+385 X 3+320 X2=2499 ，因为， 2499>440 ，所以， 2499-440 X5=299 ，就是所求的数。【例4】有一个年级的同学， 每9人一排多 5人，每7人一排多 1 人，每5人一 排多 2 人，问这个年级至少有多少人 ?题中 9、7、5 三个数两两互质。贝7， 5 =35；9， 5 =45；9， 7 =63；9， 7， 5 =315。为了使 35 被9除余 1，用 35X 8=2

7、80 ；使 45 被 7 除余 1，用 45X5=225；使 63 被 5 除余 1，用 63X2=126。然后， 280 X 5+225 X 1+126 X2=1877 ，因为，1877>315，所以，1877-315 X 5=302，就是所求的数。对剩余定理问题进行直接套用的方式是解决此类题目最快的方法， 华图公务 员考试研究中心希望考生记住解题步骤，进行相关问题的解决。来源:华图教育剩余定理的一般情况 :一个数，除以 7余 3，除以 8余6，除以 5余 2，求满足这些条件的所有三位数 卡卡西解析 :一个数除以 7 余 3，可以把这个数字表示为 7a+3 ，同理有 5b+2 8d+6

8、 7a+3=5b+27a+1=5ba=2 b=3 最小公倍数 3535c+17=8d+632c+8+3c+3=8d（ 因为 32C+8 肯定是 8 的倍数，所以不予再考虑 ） 3c+3=8dC=735*7+17=262 262+280N一个整数除 300、 262、205，得到相同的余数，问这个整数是几 ?分析 :根据同余的性质 :此三数种任何两数的差都应是除数的倍数，即除数应是此 三数中任两数的差的公约数。解:300-262=38262-205=57（28，57）=1912 +22 + 32 +20012+20022 除以7的余数是方法一:根据公式:1A2+2A2+ - +nA2=n(n+1

9、)(2n+1)/6方法二:宁 7=0-1 ,宁 7=0 4,宁 7=1 2,宁 7=2 2,宁 7=3 4,宁7=5 -1 ,十7=7(余数为0), , - 7与-7余数相同，同样地，-7与-7余数相同，. 所以，每7个连续自然数的平方之和除以 7的余数为 1+4+2+2+4+1 除以7的余 数，而(1+4+2+2+4+1) - 7=2(余数为0)，而2002 - 7=286，所以原式能被7整 除，即除以 7 的余数为 0今天星期一， 1998 的 1986 次方天后星期几 ?1998 的 1986 次 =(265*7+3)1986 次=3 的 1986 次3A0 整除 7 的余数是 13A1 整除 7 的余数是 33A2 整除 7 的余数是 23A3 整除