统计学课后答案第七八章

1、调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶查概率表:0.959=，0.059=，则子的灌装量服从标准差1.0盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过盎司的概率。解：总体方差知道的情况下， 均值的抽样分布服从 N , /的正态分布，由正态分布，标准化得到标准正态分布：z= x n 0,1，因此，样本均值不超过总体均值的概率P/Vn为：0.3 =P/ Jn°.3= =p _°.3一°.31n；-?9.1 9=P 0.9 z 0.9 =20.9 -1，查标准正态

2、分布表得0.9 =因此，Px0.3 =在练习题中，我们希望样本均值与总体均值的偏差在盎司之内的概率达到，应当抽取多大的样本0 3x0.30.3 x0.3解：P x0.3 =P祐芯P庙1屛=2 (03. n) 10.95(0.3, n) 0.9750.3 订 1.96 n 42.68288 n 43乙，Z2 ,Z6表示从标准正态总体中随机抽取的容量，n=6的一个样本，试确定常数b，使得6P z2 b 0.95i 1解：由于卡方分布是由标准正态分布的平方和构成的：设Z1, Z2,Z1是来自总体N(0,1)的样本，则统计量2 z 2 Z2 L Z2Z1Z2 L Zn因此，令26Zi2，则 2i 16

3、Zi2 :i 162 6，那么由概率 PZi2 b 0.95，可知i 1b=1 0.95 6，查概率表得：b=在习题中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差2 1的标准正态分布。假定我们计划随机抽取10个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到10个观测值，用这10个观n测值我们可以求出样本方差S2（S2 （Yi Y）2），确定一个合适的范围使得有较大的概n 1 i 1率保证S2落入其中是有用的，试求 b1, b2,使得p(b S2b2) 0.90解：更加样本方差的抽样分布知识可知，样本统计量:(n 1)s222(n 1)此处，n=10，21,所以统计量2 2吟9s2 2（n d1根据卡方分布的可

4、知：P b S2 b P 9b 9S2 9b20.90又因为:P f 2 n 1 9S22 2 n 11因此：P 9b 9S2 9b2P21 2 n19S222 n 110.902222P 9bi 9S9b2P 1 2n 1 9S2 n 12 2P 0.95 9 9S20.05 90.90则:29bl0.95 9 ,9b220.059b!0.95,b220.059bi20.95b220.059940的样本，样本均值为从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本容量为25。(1)样本均值的抽样标准差等于多少400.79置信区间为：x z 2 A,xZ 2s12(2 )在95%勺置信水平下

5、，估计误差是多少z /2 xZ0.0251.96 0.791.5495某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额。在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。(1)假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。_15 =/49(2)在95%的置信水平下，求边际误差。x t x ,由于是大样本抽样，因此样本均值服从正态分布，因此概率度t= z 2因此，x txZ 2xZ0.025x = X =(3)如果样本均值为120 元，求总体均值的95%的置信区间。置信区间为：xx，xx=1204.2,1204.2 =(,)从总体中抽取一个n=100的简单随机样本，得到x=81, s=12。

6、要求:大样本，样本均值服从正态分布:构建的90%的置信区间。z,2 = zo.o5=,置信区间为： 81 1.645 1.2,81 1.645 1.2 =(,)构建的95%的置信区间。Z ,.2 = Z0.025 =，置信区间为:81 1.96 1.2,81 1.96 1.2 =(,)构建的99%的置信区间。Z .-2 = Z0.005 =，置信区间为:81 2.576 1.2,81 2.576 1.2 =(,(1)X 253.5n60195%X z/225 z35250 025 厶0.8856一 nV60(2)X 119.6s 23.89n 75198%s23.89X z/2 .n119.6

7、z0.01 -V75119.66.4174(3)X 3.419s 0.974n 32190%s0.974X z/23.419z0.05 3.4190.2832利用下面信息，构造总体均值的置信区间。.32利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。(1)总体服从正态分布，且已知 X 8900500 n 15195%x z /2 -=8900500Z0.025.158900 253.03(2)总体不服从正态分布，且已知X 8900500 n 35195%x z /2 =8900500Z0.0258900 165.6472(3)总体不服从正态分布，c未知,X 8900 s 500 n 35190%sZ/

8、2.n8900500Z0.05V358900 139.0155、35x（4）总体服从正态分布，c未知,x 8900500 n 35199%8900 217.697350020.005 -V35某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7 500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）：求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%, 95%和99%。解:(1)样本均值X =,样本标准差s=;(2)抽样平均误差:重复抽样:sX = JnJn=6=不重复抽样:N ns- nN n 1.61N367500 367500 1=x、0.995 =

9、x =(3)置信水平下的概率度:1=，t= Z 2 = Z0.05 =1=，t= Z 2 = Z0.025 =1=, t= Z 2 = Z0.005 =(4)边际误差（极限误差）, X t X Z 2 X = Z0.05重复抽样:xz2 x = z0.05 x = X =不重复抽样:z 2 x = Z0.05-X = X =z 2 x = z0.025夫重复抽样:2 x = z0.025"X =X =不重复抽样:z 2 x = z0.025-x =X =z 2 x = z0.005-X重复抽样:x = Z0.005-x =X =不重复抽样:x = z0.005-X =X =(5)置信

10、区间:x，x重复抽样:x，Xx= 3.32 0.441,3.32 0.441 = (,)不重复抽样:x = 3.32 0.439,3.32 0.439 =(,)重复抽样:=3.32 0.525,3.32 0.525 =(,)不重复抽样:x = 3.32 0.441,3.32 0.441 =(,)重复抽样:=3.32 0.69,3.32 0.69 =(,)不重复抽样:x = 3.32 0.688,3.32 0.688 =(,)从一个正态分布总体中随机抽取样本容量为8的样本，各样本值分别为：10, 8, 12, 15,6, 13，5，11。求总体均值的 95%勺置信区间。解：x 10, s2 12

11、,s 3.4641X t /2 n 1 亍 10 tc.025 73.464110 2.896116个人组成的一个随机样本,95%的置信区间。某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由他们到单位的距离（单位：km）分别是：10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2假定总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的解：小样本，总体方差未知，用t统计量均值=，样本标准差s=置信区间：=，n=16，t n 1 =to.o25 15 =s - 养,X9.375 2.13,9.375 2.134.1116从一批零件中随机抽取36个，测得其平均长度为，标准

12、差为（1）试确定该种零件平均长度的95%的置信区间149.5 t0.025 351.93.36149.5 0.6530或者xsZ 2 -,n149.51.93.36149.5 0.630455I00g。现从某天生产7. 11某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量 （单位：g）如下:每包重量（g）包数969829810031QQ1Q21Q21Q41Q41Q63474合计5Q已知食品包重量服从正态分布，要求:(1)确定该种食品平均重量的95%的置信区间。解：大样本，总体方差未知，用z统计量xz : N 0,1/vn样本均值=

13、样本标准差s= 置信区间:"n,x1=, Z 2 = Zq.025 =s -,n,x=101.4 1.961.829 101.4 1.96501.82950(,(2)如果规定食品重量低于IQQg属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。解：总体比率的估计大样本，总体方差未知，用z统计量N 0,1样本比率=(5Q-5 ) /5Q= 置信区间:P1 P，P1=,Z 2=Zo.025 =/P 1 P "n ，P=0.9 1.96严 f 1.96V 500.9 1 0.950(,7. 13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18个员工。

14、得到他们每周加班的时间数据如下（单位：小时）:62117207081629381211921251516假定员工每周加班的时间服从正态分布。估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。解：小样本，总体方差未知，用t统计量均值=，样本标准差s=置信区间:=13.56 1.73697.801,13.56 181.73697.801(,7. 15在一项家电市场调查中.随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比例的置信区间， 置信水平分别为90%和95%解：总体比率的估计大样本，总体方差未知，用z统计量zP: N 0,1P 1 P样

15、本比率=置信区间:P1 P，P，Z 2 = Z0.025 =P1 P，P0.23 1.645°23 1 °23 ,0.23 1.6452000.23 1 0.23200，Z 2= Z0.025 =P1 P，P0.23 1.960.23 1 0.230.23 1 0.230°23 1.96200一位银行管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额，他假设所有顾客存款额的标准差为1000元，要求估计误差在200元一位，置信水平为 99%则应选取多大的样本解：n2 2z2z21000Za/22Z0.0052E200165.87计算下列条件下所需要的样本量(1)E0.02

16、0.4196%2nZa/2(1 )E2Z0O204 夢 2530.7310.022 (1 ) nZa/2£220.5 0.5z0 025 厂 600.22790 25 0.042(3) E 0.050.55190%2 (1 ) nZa/2e22 0.45 0.55z：05 267.84880.052(2) E 0.04 未知 195%7. 20顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有关,比如，银行业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。为此，某银行准备采取两 种排队方式进行试验，第一种排队方式是：所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队 方式是：顾客在

17、三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取 10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间(单位：分钟)如下:方式1方式210要求:(1)构建第一种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。解：估计统计量n 1 S22经计算得样本标准差s=置信区间：n 1 S22 n 1 S222n 121 2 n11=,n=10,22 n 1 =29 =0.025212 n 1 =0.9759n1 s2n 1 S2 9 0.227290.2272=(,)22? n 1 '122 n 119.02，2.7因此，标准差的置信区间为(，)(2)构建第二种排队方式等待时间标

18、准差的95%的置信区间。解：估计统计量218经计算得样本标准差2S1 =置信区间:n 1 S2 n 1 2n 1 S21=， n=10,0.0259 =，2 /2 n 1 =0.975 9 =n 1 S222 n 1n 1 S2122 n 19 3.3189 3.31819.022.7因此，标准差的置信区间为（,根据和的结果，你认为哪种排队方式更好第一种方式好，标准差小!(1)n2从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，他们的均值和标准差如下表所示:来自总体1的样本来自总体2的样本样本均值为25样本均值为23样本方差为16样本方差为20100,求1- 2的95%的置信区间(X1X2)Z /

19、2(2)设n1n210,Sfn22 1.96 0.62 1.176:,求1- 2的 95%的置信区间S21)S21)S；(X1(3)X2) t设n11) (n2 1)/2(18)s2 s2n1n2n2 10,2 2.1009,362 3.9862I,求1- 2的95%的置信区间设ni(4)212 4.0030910,n2202 ,求 1 -S2 S；22的95%的置信区间sp1)S2 (n2 1)s；131(X1X2) t(5)设n1(X11) (n2 1)/2 (28)10,n2巨笙)2n1 n2 n/n1X2)/22 2.04842.80712 3.4320n1n220,2的95%的置信区

20、间(n 2)22.621.6210石 22.°915202.07392 2 3.34407. 23下表是由4对观察值组成的随机样本。配对号来自总体A的样本来自总体B的样本1202573106485(1)计算A与B各对观察值之差，再利用得出的差值计算d和sd 。d =，sd =设1和2分别为总体A和总体B的均值，构造2的95%的置信区间。s-Sd=1.75 3.1822.62996,1.753.1822.62996解：小样本，配对样本，总体方差未知，用t统计量如-一亠：t n 1Sd n均值=，样本标准差s=置信区间：sd -:n,d1=，n=4, t .-2 n 1 = to.025

21、 3 =Sd 7 石,d得到的一家人才测评机构对随机抽取的10名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试,自信心测试分数如下：人贝编号方法1方法2178712634437261489845917464951768558766098577105539构建两种方法平均自信心的分之差的95%勺置信区间解：d =11, sd =Sd11 to.025（9）g6.531973JQ114.6726927. 25从两个总体中各抽取一个n2 = 25Q的独立随机样本,来自总体1的样本比例为山=40%，来自总体2的样本比例为p2 = 30%。要求:(1)构造12的90%的置信区间。构造12的95%的置信区间。解:

22、总体比率差的估计大样本，总体方差未知，用Z统计量p1 p212hl C 彳z: N 0,1P1 1 P1P2 1 P2V n1n2样本比率p1 = , p2=置信区间：/P1 1P2 1 P2/P1 1 P1P2 1 P2P1P2 Z 2、, P1P2 Z 2V nn> mn21=, Z 2 = Zq.025 =P1 P2 Z . 2 4丄虫工 P1 P2 Z jd、n1n2片 nn20.1 1.6450.4 1 0.40.3 1 0.30.4 1 0.4矿。1 1450.3 1 0.3250250250（% %=,Z 2= Zq.025 =P1P2 Z 2I f P2 Z2P1 1 P

23、1P2 1 P2n>0.1 1.96 卩4 1 0.42500.3 1 0.3 ,0.12501.960.4 1 0.40.3 1 0.3=(% %)生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。差。下面是两部机器生产的袋茶重量（单位:250250当方差较大时，需要对序进行改进以减小方机器1机器2g）的数据:12/；的95%的置信区间。要求：构造两个总体方差比解：统计量:s2/2: F m 1,n2置信区间:S2m 1,n2 1F-i 2 m 1,n2 1=，2S2 =2n1=n2=211=, F 2 n 112 ,215，若要求误差范围不超过 5,相应 n21 = F 0.02520,20

24、=,F1 2 n11也1 =1F 2 n? 1,n11F1 2 n11川21 =1-F0.97520,20=F0.025 20, 202S2=()J' ?F 2 m 1,n2 1F1 2 nh 1,n2 17. 27根据以往的生产数据，某种产品的废品率为2%。如果要求95%的置信区间，若要求边际误差不超过 4%,应抽取多大的样本解：z 22z 2 p 1 p2p202，Z 2 = Z0.O25 =2Z 2 P 12p1.962 0.02 0.980.042=，取n=48或者50。7. 28为120元，现要求以95%的置信水平估计每个顾客平均购物金额的置信区间,并要求边际误差不超过20元

25、,应抽取多少个顾客作为样本解：n2Z 22X2-,1，Z 2 = Z0.025 =,某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约2Z 22x7. 29 假定两个总体的标准差分别为:1.962 1202卄亠十亠十2=，取 n=139 或者 140,或者 150。的置信水平为 95%，假定口 n2，估计两个总体均值之差i 2时所需的样本量为多大2 2 2解:Z 2 1 2n1=n2=n2, 1=, z ；.2 = Z0.025 =,X1 X2n1=n2= n2 22z 2 12=2X1 *21.962122 15252=，取 n=58，或者 60。95%，估计两个总体比

26、例之差7. 30假定m n2，边际误差E= 0. 05,相应的置信水平为1 2时所需的样本量为多大解：n1= n2=nZP1 P2 2P1 1P1P2 1 P2，Z 2=Z0.025 =,取 P仁P2=,n1=n2= nZ22P1 1 P1 P2 1 P22P1 P22 2 21.960.50.5=，取n=769,或者0.052780 或 800。已知某炼铁厂的含碳量服从正态分布N(,),现在测定了 9炉铁水，其平均含碳量为。如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量为(显著性水平为)解：H): 口 =; Hi: 口 工已知：x = , n=9检验统计量：X ° _ 4.

27、484 4.55 =s n 0.108、9当a =，查表得z /2 =。因为z>- z /2，故不拒绝原假设，说明可以现在生产的铁水平平均 含碳量为。& 2 一种元件，要求其使用寿命不得低于 700小时。现从一批这种元件中随机抽取36件,测得其平均寿命为 680小时。已知该元件寿命服从正态分布，=60小时，试在显著性水平0. 05下确定这批元件是否合格。解：H): 口 >700; H : 口 v 700已知：又=680= 60由于n=36> 30,大样本，因此检验统计量:x0680 7006036当a=，查表得Z =。因为zV - Z，故拒绝原假设，接受备择假设，说明

28、这批产品不合格。某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg，其标准差为30kg。现用一种化肥进行试验，从25个小区进行抽样，其平均产量为270kg。这种化肥是否使小麦明显增产( a =)解：H): 口 w 250; H:(1 >已知：X = 270= 30, n=25X 0 _ 270 250 =.n 30 、25当a =，查表得z /2 =。因为Z>z /2，故拒绝原假设，这种化肥是否使小麦明显增长。& 4 糖厂用自动打包机打包，每包标准重量是100千克。每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得9包重量(单位：千克)如下：99. 3 98 . 7 100 .

29、 5 101 . 2 98 . 3 99 . 7 99 . 5 102 . 1 100 . 5已知包重服从正态分布，试检验该日打包机工作是否正常(a = 0 . 05)解：H)：1 = 100; H :1工 100经计算得：X = S =检验统计量：t X 0 = 99.9778 100 =s .n 1.21221当a=，自由度n 1 = 9时，查表得t 2 9 =。因为t v t 2，样本统计量落在接受区域，故接受原假设，拒绝备择假设，说明打包机工作正常。袋，发现有6袋低于250克。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，问该批食品能否出厂（a = 0. 05）解:H）： n w； H:

30、n >已知：p= 6/50=检验统计量：& 5某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250克。今从一批该食品中任意抽取50P 00.12 0.050.051 0.05V 50当a=，查表得z =。因为z > z，样本统计量落在拒绝区域，故拒绝原假设，接受备择假设，说明该批食品不能出厂。某厂家在广告中声称，该厂生产的汽车轮胎在正常行驶条件下超过目前的平均水平25000km。对一个由15个轮胎组成的随机样本做了实验，得到的样本均值和标准差分别为27000km和5000km。假定轮胎寿命服从正态分布，问该厂家的广告是否真实（a=）解：H0: 口 w 25000; H : 口 &g

31、t;25000经计算得：X = 27000 S = 5000检验统计量：X 027000 25000t -0 =_=s .n 5000 .15当a =，自由度n 1 = 14时，查表得t 14 =。因为t> t，样本统计量落在拒绝区域，故拒绝原假设，即该厂家的广告真实。& 7 某种电子元件的寿命 x（单位：小时）服从正态分布。现测得 16只元件的寿命如下:159 280 101 212 224 379 179 264222 362 168 250 149 260 485 170问是否有理由认为元件的平均寿命显著地大于225小时（a = 0. 05） 解：H0： 口 w 225;

32、H: 口225经计算知：x = s =检验统计量：x 0 _ 241.5 225s . n 98.726、16当a=，自由度n 1 = 15时，查表得t 15 =。因为t v t，样本统计量落在接受区域，故接受原假设，拒绝备择假设，说明元件寿命没有显著大于225小时。随机抽取9个单位，测得结果分别为为：85 59 66 81 35 57 55 63 66以久=的显著性水平对下述假设进行检验：HO: /w 100; H : /> 100解：2 (n ?S8 215.75 17.26 o05 (8) 15.507310 100所以拒绝原假设，即方差显著大于100A , B两厂生产同样材料。已

33、知其抗压强度服从正态分布，且A 632B 572，从2A厂生产的材料中随机抽取81个样本，测得xA 1070kg / cm ；从b长生产的材料中随机抽取64个样品，测得XB 1020kg/cm2。根据以上调查结果，能否认为A, B两厂生产的材料平均抗压强度相同(a解:H。：H1:1070 1020632572】81645.00587 z0.0251.96所以不能认为 A, B两厂生产的材料平均抗压强度相同 & 10装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方法的效率更高。劳动效率可以用平均装配时间反映。现从不同的装配方法中各抽取12件产品，记录各自的装配时间(单位：分钟)如

34、下：甲方法：31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26乙方法：26 24 28 29 30 29 32 26 31 29 32 28(a = 0. 05)两总体为正态总体，且方差相同。问两种方法的装配时间有无显著不同 解：建立假设=3总体正态，小样本抽样，方差未知，方差相等，检验统计量根据样本数据计算，得ni = 12,n2 =12 ,X1 =,S1 =,x2 = ,S2 =o2n1 1 s2n 1 1 sfq n2 212 1 0.92216212 10.71067212 12 2a =时，临界点为t _,.2 n1 n2 2 = t0.025 22 =，此题中t

35、 > t .2，故拒绝原假设,认为两种方法的装配时间有显著差异。& 11调查了 339名50岁以上的人，其中 205名吸烟者中有 43个患慢性气管炎，在 134 名不吸烟者中有13人患慢性气管炎。调查数据能否支持“吸烟者容易患慢性气管炎”这种观点(a = 0. 05)解：建立假设H : n 1< n 2； H: n 1 > n 2p= 43/205= n1=205p2= 13/134= n2=134检验统计量P1 P2dzP1 1 P1P2 1 P2n1n20.2098 0.09700.2098 1 0.20980.097 1 0.097134205 当a=，查表得Z =。因为Z > Z，拒绝原假设，说明吸烟者容易患慢性气管炎。8 12为了控制贷款规模，某商业银行有个内部要求，平均每项贷款数额不能超过60万元。随着经济的发展，贷款规模有增大的趋势。银行经理想了解在同样项目条件下，贷款的平均规模是否明显地超过60万元，故一个n=144的随机样本被