曲面的切平面与法向量ppt课件

1、上页 下页 返回 结束 曲面的切平面与法向量曲面的切平面与法向量一、隐式方程的情形二、显式方程的情形*三、参数方程的情形第六节第六节2 2第九章第九章上页 下页 返回 结束 0),(: zyxF一、隐式方程的情形一、隐式方程的情形设设 有光滑曲面有光滑曲面经过其上定点经过其上定点),(000zyxM0tt 设设对应点对应点 M,)(, )(, )(000ttt 切线方程为切线方程为)()()(000000tzztyytxx 不全为不全为0 . 那么那么 在在 , )(, )(, )(:tztytx 且且点点 M 的切向量为的切向量为恣意引一条光滑曲线恣意引一条光滑曲线下面证明下面证明:此平面称

2、为此平面称为 在该点的切平面在该点的切平面. 上过点上过点 M 的任何曲线在该点的切线都的任何曲线在该点的切线都在同一平面上在同一平面上. )(, )(, )(000tttT nTM上页 下页 返回 结束 证:在 上,)(, )(, )(:tztytx 0) )(, )(, )( tttF ,0处处求求导导两两边边在在tt ,0Mtt对应点对应点注意注意 )(0t 0 ),(000zyxFx),(000zyxFy ),(000zyxFz )(0t )(0t 得得)(, )(, )(000tttT ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令nT 切向量切向

3、量由于曲线由于曲线 的恣意性的恣意性 , 阐明这些切线都在以阐明这些切线都在以为法向量为法向量n的平面上的平面上 , 从而切平面存在从而切平面存在 .nTM上页 下页 返回 结束 )( ),(0000 xxzyxFx 曲面曲面 在点在点 M 的法向量的法向量法线方程法线方程 000zzyyxx )( ),(0000yyzyxFy 0)(,(0000 zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx nTM上页 下页 返回 结束 例例1. 1. 求球面求球面363222

4、2 zyx在点在点(1 , 2 , 3) 处的切处的切平面及法线方程平面及法线方程. 解解:3632),(222 zyxzyxF所以球面在点所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有处有:切平面方程切平面方程 )1(2 x03694 zyx即即法线方程法线方程321 zyx)2(8 y0)3(18 z149法向量法向量令令)6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1( n上页 下页 返回 结束 二、显式方程的情形二、显式方程的情形. 0)()(,()(,( :0000000 zzyyyxfxxyxfyx切切平平面面方方程程).,( ),(: 2 0000zyxMyxfz点点曲曲面面

5、 情情形形 ,),(),( 则则令令zyxfzyxF , 1 , , zyyxxFfFfF.1),(),( :0000000 zzyxfyyyxfxxyx法法线线方方程程) 1),(),(0000yxfyxfnyx，上页 下页 返回 结束 ,法向量法向量用用2211cosyxff 将将),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的方向余弦：法向量的方向余弦：表示法向量的方向角表示法向量的方向角, 并假定法向量方向并假定法向量方向.为锐角为锐角则则 分别记为分别记为那那么么,1cos,1cos2222yxyyxxffffff 向上向上,)1, ),(, ),(0000yxfyxfny

6、x 上页 下页 返回 结束 )(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的的全全微微分分在在点点函函数数),(),(00yxyxfz 由于曲面在由于曲面在M M处的切平面方程为处的切平面方程为上页 下页 返回 结束 ),)(,()(,( ),( 00000000yyyxfxxyxfyxfzyx 记记空间中的平面方程空间中的平面方程.1),(),( ),(,( 00000000 yxfyxfnyxfyxyx法向量为法向量为平面过点平面过点几何意义几何意义., ),(,( ),( , ),( ),( 000000点的切平面点的切平面这

7、张平面就是曲面在该这张平面就是曲面在该以用平面来近似以用平面来近似近旁的一小部分可近旁的一小部分可在点在点则曲面则曲面处可微处可微在点在点如果函数如果函数yxfyxyxfzyxyxfz 上页 下页 返回 结束 求求122yxz在点在点)4, 1 , 2(0X处的处的切平面和法线方程切平面和法线方程.解解1令1),(22zyxzyxF那那么么42)4 , 1 , 2(2xxxF22)4 , 1 , 2(1yyyF1)4 , 1 , 2(zF) 1, 2, 4(n切平面方程：切平面方程：0)4() 1(2)2(4zyx法线方程：法线方程： 142142 zyx0624zyx例例3.3.上页 下页 返回 结束 .)4 , 1 , 2(122切切平平面面和和法法线线方方程程处处的的在在点点求求旋旋转转抛抛物物面面 yxz, 1),(22 yxyxf),1,2 ,2()1,( yxffnyx, 0)4()1(2)2(4 : zyx所以切平面为方程所以切平面为方程.142142 zyx法线方程为法线方程为例例3解解2),1, 2 , 4()4, 1 ,2( n上页 下页 返回 结束 小结：小结： 曲面的切平面与法线向量都在点曲面的