反常积分习题课ppt课件

1、反常积分习题课第十一章第十一章 Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析基本问题：反常积分的敛散性判别及其计算u 无穷积分与暇积分的概念及其敛散性，无穷积分与暇积分的概念及其敛散性，绝对收敛性绝对收敛性u 敛散性判别：敛散性判别：CauchyCauchy准则，比较判准则，比较判据（据（CauchyCauchy），），DirichletDirichlet判据，判据，AbleAble判据判据u 无穷积分与暇积分的计算（极限）无穷积分

2、与暇积分的计算（极限）3；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析统一思想：转化思想，极端原理u 由熟悉（有界闭区间有界函数的性由熟悉（有界闭区间有界函数的性质）认识（极限性质）陌生；极端质）认识（极限性质）陌生；极端原理（抓主要矛盾、控制思想）。原理（抓主要矛盾、控制思想）。u 同号函数，越小越好。同号函数，越小越好。u 变号函数，分解为二，一单调，变号函数，分解为二，一单调，二震荡，二者相辅相成。二震荡，二者相辅相成。4

3、；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析基本要求：理解思想，牢记法则u 理解理解CauchyCauchy收敛准则的科学依据；收敛准则的科学依据；u 理解比较判别法、理解比较判别法、DirichletDirichlet及及AbleAble判判别法的科学依据；别法的科学依据；u 牢记两个特殊函数类的积分敛散性；牢记两个特殊函数类的积分敛散性；u 牢 记 三 种 判 别 法 ： 比 较 判 别 法 、牢 记 三 种 判 别 法

4、： 比 较 判 别 法 、DirichletDirichlet及及AbleAble判别法。判别法。5；6；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析一、反常积分及其敛散性概念一、反常积分及其敛散性概念7；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析无穷积分 =

5、无界区间上（有界函数）的积分三种情况： a, )； ( , b； ( , )暇积分 = （有界区间上）无界函数的积分三种情况：(a,b;a,b);a,c)(c,b8；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析在任何有限区间在任何有限区间a, u上可积，且存在极限上可积，且存在极限1. 无穷积分的收敛性lim( )duauf xx归结为变上限积分函数的极限问题归结为变上限积分函数的极限问题计算无穷积分的依据计算无穷积分的依据9；

6、. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析在任何内闭区间在任何内闭区间u, b (a, b上可积且存在极限上可积且存在极限2. 暇积分的收敛性lim( )d,buuaf xxJ归结为变下限积分函数的极限问题归结为变下限积分函数的极限问题计算暇积分的依据计算暇积分的依据10；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMa

7、thematical Analysis 数学分析数学分析3. 两类重要的反常积分1d pxx10d (0)qxqx当且仅当当且仅当p 1时收敛。时收敛。当且仅当当且仅当q a 使得使得非负函数非负函数 大的收敛大的收敛 小的收敛小的收敛 小的发散小的发散 大的发散大的发散0( )( ),f xg xxM 16；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式若若 f 和和 g 都在都在a, u

8、上可积上可积, g(x) 0, 且且 则有则有 :也发散也发散.( )lim,( )xf xcg x17；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析Cauchy判别法判别法设设 f 定义于定义于a, )(a 0), 且在且在任何有限区间任何有限区间a, u上可积上可积, 则则(i) 当当(ii) 当当其中M是某正实数。( ),pMf xx( ),pMf xx18；. Mathematical Analysis Mathemat

9、ical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析Cauchy判别法极限形式判别法极限形式 设设 f 定义于定义于a, ), 在任何在任何有限区间有限区间a, u上可积上可积, 且且则有则有lim( ),pxxf x( )( )1ppf xxf xx1( )pf xx19；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析Dirichle

10、t判别法判别法 若若原理：Cauchy判别准则，积分第二中值定理。(2) g(x)在在a, )当当x时时单调趋于单调趋于0.上有界上有界, (1)3. 3. 非负函数比较法则非负函数比较法则f (x)的原函数是有界函数的原函数是有界函数20；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析Abel判别法判别法 若若原理：Cauchy判别准则，积分第二中值定理。(1) (2) g(x)在在a, )上上单调有界单调有界.( )af x

11、dx收敛收敛, ,21；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析重要例子重要例子与与在在p 0时时收敛收敛.1sindpxxx1cosdpxxx21sind ,xx21cosd ,xx41sind ,xxx收敛收敛( (绝对收敛绝对收敛) )的无穷积分的被积函数的无穷积分的被积函数( (即使连续即使连续) )未必趋于未必趋于0 0，甚至可能是无界的。，甚至可能是无界的。若无穷积分收敛且被积函数若无穷积分收敛且被积函数f(x)

12、收敛收敛或或一致连一致连续续或或单调单调，则被积函数，则被积函数 f(x) 趋于趋于0 0。22；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析三、瑕积分的性质与收敛判别三、瑕积分的性质与收敛判别23；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析1. 1. Cauc

13、hy收敛准则收敛准则任给任给 0, 存在存在 0, 只要只要u1, u2 (a, a ), 总有总有2121( )d( )d( )d.bbuuuuf xxf xxf xx瑕积分瑕积分 (瑕点为瑕点为a) 收敛的充要条件是收敛的充要条件是:( )baf x dx24；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析线性可加性线性可加性2. 基本性质1 1221122( )( ) d( )d( )d .bbbaaak f xk fxxk

14、f xxkfxx区间可加性区间可加性( )d( )d( )d ,bcbaacf xxf xxf xx终点无关性终点无关性(a为瑕点为瑕点)( )dcaf xx( )dbaf xx与同敛散.25；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析绝对收敛性绝对收敛性设设 f 的瑕点为的瑕点为a, f 在在(a, b的任一内闭区间的任一内闭区间u, b上可上可( )d|( )|d .bbaaf xxf xx积积. 则当则当 收敛时收敛时,

15、 也必收敛也必收敛, 并并有有|( )|d .baf xx( )dbaf xx绝对收敛者一定收敛，反之未必绝对收敛者一定收敛，反之未必. . 当当 收敛时收敛时, 称称 绝对收敛；收敛绝对收敛；收敛而非绝对收敛者称条件收敛而非绝对收敛者称条件收敛|( ) |d .baf xx( )dbaf xx26；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析比较法则比较法则 设定义在设定义在(a, b上的两个函数上的两个函数 f 和和g, 瑕

16、点同为瑕点同为x a, 在任何在任何u, b (a, b上都可积上都可积, 且满足且满足( )dbaf xx3. 3. 非负函数比较判别法非负函数比较判别法0( )( ), ( , ,f xg xxa b27；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析比较判别法渐近性态比较判别法渐近性态若若g(x) 0, 且且 则有则有:( )lim,( )xaf xcg x28；. Mathematical Analysis Mathema

17、tical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析Cauchy判别法判别法上可积上可积, 则则(i) 当当设设 f 定义于定义于(a, b, a为其瑕点为其瑕点,且在任何且在任何u, b (a, b(ii) 当当|( )|, ()pMf xxa|( )|, ()pMf xxa29；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析Cau

18、chy判别法渐近性态判别法渐近性态则有则有:上可积上可积. 如果如果设设 f 定义于定义于(a, b, a为其瑕点为其瑕点,且在任何且在任何u, b (a, blim()( ),pxaxaf x1( )()pf xxa30；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析Dirichlet判别法判别法(2) g(x)在在(a, b当当x a+时时单调趋于单调趋于0.原理：Cauchy判别准则，积分第二中值定理。若若4. 4. 变号函数判别法变号函数判别法f (x)的原函数是有界函数的原函数是有界函数31；. Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematical Analysis 数学分析数学分析Abel判别法判别法 若若(2) g(x)在在(a, b上单调有界上单调有界.32； Mathematical Analysis Mathematical Analysis 数学分析数学分析 Mathematical AnalysisMathematica