高等数学课件：D1_8 极限存在准则 两个重要极限

1、高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期 第一章第一章 三、两个重要极限三、两个重要极限一、夹逼准则一、夹逼准则二、单调有界准则二、单调有界准则第一节第一节函数及其表示 第一章第一章 第八节极限存在的准则极限存在的准则两个重要极限两个重要极限高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期(2)limlimnnnnyza定理定理1. 18 (数列夹逼准则数列夹逼准则)(1)(1, 2,)nnnyxznlimnnxa 证证: 由条件由条件 (2) 0, 1,N 当当时时,当当2nN 时时,nza 令令 12max,NNN

2、 则当则当nN 时时, 有有,nayanaza由条件由条件 (1)nnnyxza a 即即,nxa 故故 limnnxa 2,N准则准则. 如果数列如果数列xn,yn及及zn满足下列条件：满足下列条件：1nN nya 夹逼准则夹逼准则 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例1. 证明证明证证: 利用夹逼准则利用夹逼准则 .2221112nnnnn22nnn 22nn 且且22limnnnn 1lim1nn 1 22limnnn 21lim1nn 1 limnn2221112nnnn1由由222111lim12nnnnnn高等数学高等数学 化学化学

3、141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例2解解求求.)(1)1(11lim222 nnnnn设设.)(1)1(11222nnnnxn 显然显然 ,2222)2(1)2(1)2(141nnnnn nx 22221111nnnnn 又又, 041lim2 nnn, 01lim2 nnn由夹逼准则知由夹逼准则知, 0lim nnx即即. 0)(1)1(11lim222 nnnnn高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例3解解求求.12111lim222 nnnnnnnn 22111nnn 212 nn, 1111limlim2 nnn

4、nnn又又, 1111lim1lim22 nnnnn由夹逼准则得由夹逼准则得. 112111lim222 nnnnn高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例4解解求求.!limnnnn 由由nnnnnnnn 321!nnnnnnn 21,22n 易见易见.2!02nnnn 又又.02lim2 nn所以所以!lim0.nnnn 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期5. 极限存在的条件极限存在的条件00lim( )lim ( )xxxxg xh xA( )( ),g xh x ( )f x0lim( )xx

5、f xA 0()xX()x ()x ()x (2)时，满足：时，满足：(1)00 xx 准则准则. 如果函数如果函数f(x),g(x)及及h(x) ,当当高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期夹逼原理夹逼原理注意注意: :)()()(xhxfxg 夹逼定理示意图夹逼定理示意图Annnyxz 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期单调有界准则单调有界准则如果数列如果数列xn满足条件满足条件,121 nnxxxx,121 nnxxxx单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列准则准则 单调有界数列必有极限

6、单调有界数列必有极限.例如例如, 单调增加数列单调增加数列:单调减少数列单调减少数列:.11nxn .11nxn 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限121nnxxxxM lim()nnxaMlim()nnxbm nx1nx M1x2xxmnx1nx 1x2xx( 证明略证明略 )ab准则准则121nnxxxxm 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例5证证设有数列设有数列,31 x,312xx ,31 nnxx求求.limnnx 显然显然,1nnxx nx是单

7、调递增的是单调递增的.下面利用数学归纳法证明下面利用数学归纳法证明nx有界有界.因为因为, 331 x假定假定, 3 kx则则kkxx 3133 . 3 所以所以nx是有界的是有界的.从而从而Axnn lim存在存在.由递推关系由递推关系,31nnxx 得得,321nnxx 即即,32AA ),3(limlim21nnnnxx 故故高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例5证证设有数列设有数列,31 x,312xx ,31 nnxx求求.limnnx 所以所以nx是有界的是有界的. 从而从而Axnn lim存在存在.由递推关系由递推关系,31nnx

8、x 得得,321nnxx 即即,32AA ),3(limlim21nnnnxx 故故解得解得,2131 A2131 A(舍去舍去).所以所以.2131lim nnx高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期BAx1osincos1xxx圆扇形圆扇形AOB的面积的面积两个重要极限两个重要极限 0sinlim1xxx 证证: 当当即即1sin2x 12x1tan2x 亦即亦即sintan(0)2xxxx (0,)2x 时，时，(0)2x 0limcos1,xx 0sinlim1xxx显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积的面积DC11sincosxxx

9、故有故有(1).注注高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例求极限求极限.coslim0 xx解解因为因为,2222sin2cos10222xxxx 故由准则故由准则 I, 0)cos1(lim0 xx故故. 1coslim0 xx得得注注高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例6. 求求解解: 0tanlimxxx0sin1limcosxxxx 0sinlimxxx 01limcosxx 1 0tanlimxxx高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例7.

10、 求求解解: 令令arcsin,tx 则则sin ,xt 因此因此原式原式0limsinttt sintt101lim t 0arcsinlimxxx高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期解解: 原式原式 =2202sinlimxxx说明说明: 计算中注意利用计算中注意利用()0sin( )lim1( )xxx 20sinlim2xxx 例例8. 求求201cos2limxxx 2 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期课堂练习课堂练习填空题填空题sin1.lim_;xxx 12.limsin_;xxx 0

11、13.limsin_;xxx 010高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期(2)exxx )11(lim定义定义ennn )11(lim先证明先证明数列数列xn 极限存在极限存在其中其中1(1) (1, 2,)nnxnn高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例. 设设证明数列证明数列xn 极限存在极限存在证证: 先证明单调性，先证明单调性，利用二项式公式利用二项式公式 , 有有1(1)nnxn1 11!nn2(1)12!n nn 3(1)(2)13!n nnn (1)(1)1!nn nn nnn 1111

12、(1)2!n 11(1)3!n2(1)n 1121(1)(1)(1)!nnnnn 1(1) (1, 2,)nnxnn高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期11nx 11(1)2!n 11(1)3!n2(1)n 111nx 11(1)2!1n 112(1)(1)3!11nn大大 大大 正正1(1, 2,)nnxxn 1(1)11nnxn 又又比较可知比较可知1121(1)(1)(1)!nnnnn 112(1)(1) (1)(1)!121nnnnn 再证明有上界再证明有上界12!13! 1!n高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年

13、第一学期学年第一学期根据准则根据准则 可知数列可知数列xn 记此极限为记此极限为 e ,1lim(1)nnen e 为无理数为无理数 , 其值为其值为2.718281828459045e 即即有极限有极限 .11又又3 1132n 1(1)11nnxn 12!13! 1!n12212 112n 1121112n 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期ennn )11(lim可以证明可以证明exxx 10)1(lim另一种形式另一种形式1lim(1)xxex高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期2.1lim(

14、1)xxex证证: 当当0 x 时时, 设设1,nxn则则1(1)xx 11(1)nn 1(1)1nn 1lim(1)1nnn limn 11(1)1nn 111n e 11lim(1)nnn 11lim(1) 1nnnn（）e 1lim (1)xxex高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期tx 令令ttxxtx )11 (lim)11 (limttt)111 (lim )111 ()111 (lim1 tttte exxx )11 (lim1tx 令令ttxxtx)11 (lim)1 (lim10 e exxx 10)1(lim高等数学高等数学 化

15、学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例9解解求求.11lim3 nnn311lim nnn 31111limnnnn311lim 1lim 1nnnnn1 e. e 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例10. 求求解解: 令令,tx 则则1lim(1)ttt 1lim t 一般地一般地1limxkxkex1lim(1)xxx 1lim(1)xxx1(1)tt 11ee 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例11解解.)21(lim10 xxx 求求xxx10)21(li

16、m 2210)21(lim xxx.2 e高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期exxx)11(lim1）（exxx10)1 (lim2）（1(.)(.)lim (1)(lim0)xxe 只只要要公式特点：公式特点：11 （）型型不不定定式式注：注：(2) 指数位置上的部分与指数位置上的部分与一定要一定要 互为倒数互为倒数高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 12解解求求.23lim2xxxx xxxx223lim 2211lim xxx222211lim xxx422211211lim xxxx.2

17、e 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例13 已知已知课堂练习课堂练习3lim()2cxxxcx 求求c的值的值解解331lim()limc1xxxxcxcxcxx 33lim 1lim 1xxxxcxcx 33ccee 232ce 3ln22c 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期内容小结内容小结1. 夹逼准则夹逼准则如果数列如果数列nnyx ,及及nz满足下列条件满足下列条件 :);, 3 , 2 , 1()1( nzxynnn.lim,lim)2(azaynnnn 那么数列那么数列nx的极限存

18、在，的极限存在，且且.limaxnn 2. 单调有界准则单调有界准则单调有界数列必有极限，单调有界数列必有极限，即单调增加有上界或即单调增加有上界或减少有下界的数列必有极限减少有下界的数列必有极限 .单调单调高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期3. 两个重要极限两个重要极限; 1sinlim)1(0 xxx.11lim)2(exxx 1. 夹逼准则夹逼准则2. 单调有界准则单调有界准则内容小结内容小结高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期两个重要极限两个重要极限0sin(1)lim1 1(2)lim( 1

19、)e或或10lim(1)e注注: 代表相同的表达式代表相同的表达式高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期1.求极限求极限0tansinlim.xxxx 2.课堂练习课堂练习求极限求极限+0lim.1cosxxx 3. 求极限求极限02arcsinlim.3xxx答案：答案：0答案：答案：2e答案：答案：53高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期4. 求极限求极限1lim1xxxx 课堂练习课堂练习5. 求极限求极限答案：答案：2e答案：答案：2e6. 求极限求极限答案：答案：532lim(1)xxx 2511limsin31xxxx 高等数学高等数学 化学化学14