第五章控制系统的稳定性分析

1、1第五章 控制系统的稳定性分析第一节 系统稳定的基本概念第二节 劳斯稳定判据第三节 奈氏稳定判据第四节 玻德稳定判据25-1 系统稳定的基本概念稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。问题 分析系统的稳定性问题。 提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一 3基本概念 控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰，例如，负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。 设一线性定常

2、系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。 基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。 线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。有关稳定性的定义和理论较多。 5-1 系统稳定的基本概念5.1.1 稳定性概念40a)(tyt0)(tytb)图5-1 系统稳定性示意图 a) 稳定系统 b) 不稳定系统 动画动画5如果脉冲响应函数是收敛的，即有当0)(limtgt

3、表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可知，系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。 系统仍能回到原有的平衡状态由于单位脉冲函数的拉氏反变换等于1，所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。 )()(ttr65.1.2 系统稳定的基本条件 描述线性系统动态微分方程的一般形式为 ：)()(.)()(01111tyadttdyadttydadttydannnnnn)()(.)()(01111txbdttdxbdttxdbdttxdbmmmmmm（5-1） 01110111.)()()(asasasabsbsbsbsDsMsGnnnnmmmm0.0111asasasa

4、nnnn特征方程为：7令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则上式可改写为 )533()2()()()()(22111nknkkrkjqjimiSSPSZSKssGq+2r=n 01110111.)()()(asasasabsbsbsbsDsMsGnnnnmmmm8用部分分式展开 系统的脉冲响应函数为 )543(0,1sin1cos)(2211teCteBeAtgknktkkqjrknktktpjnkknkkj闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面 0)(limtgt系统稳定不稳定系统 充要条件不稳定系统的结果 物理系统的输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制

5、，或者系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，（而使线性微分方程不再适用。）由于非线性因素存在，仅表现为等幅振荡。 要有至少一个正实根或一对实部为正的复数根 发散 rkkkkkkqjjjssCsBpsAsc1221 2)(9结论：1）系统的极点全部位于S左半平面，则系统稳定。2）只要系统有任何一个极点位于S右半平面，则系统不稳定。3）系统有一个零极点或一对及一对以上纯虚根，系统临界稳定。10不稳定稳定4 . 04st0理论实际11一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？ssR1)(单位阶跃函数 分析 )2()()()()(22111n

6、knkkrkjqjimiSSPSSSSKssGrkrkknktkknktkqjtpjtteCteBeAAtCnkknkkj112210)493(01cos1sin)(3-47) 稳态分量瞬态分量瞬态分量系统的结构和参数确定 参考输入一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定 衰减 一个无限小的领域 )()()(sRssC（书3-66）125-2劳斯稳定判据(Rouths stability criterion) 5.2.1劳斯稳定判据的必要条件线性系统稳定闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。 充要条件0111.)(asasasasDnnnn设系统的特征方程为： 则系统

7、稳定的必要条件是： 1）特征方程的各项系数a0、a1、an均不为零。 2）特征方程的各项系数符号一致（或均为正值）。 135.2.2 劳斯稳定判据的充要条件充要条件：劳斯表第一列元素均0（无变号）则系统稳定，否则系统不稳定，且劳斯表第一列元素符号改变的次数就是特征方程含有S右半平面根的数目。14劳思稳定判据：必要条件：特征方程所有系数均0。充要条件：劳思表第一列元素均0。则系统稳定，否则系统不稳定。且劳思表第一列元素符号改变的次数=特征方程正实根的数目。15将各项系数，按下面的格式排成劳斯表)553(000122110 aaSaSaSaSannnnn1021132123213432127531

8、16420fSeeSdddScccSabbbSaaaaSaaaaSnnnn b416121211141713131512121311170613150412130211,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab 表中这样可求得n+1行系数 劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。17 已知一调

9、速系统的特征方程式为0103 . 25175 .41423SSS例：试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表401423103 . 25 .380103 . 25 .4105171SSSS由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。18已知某调速系统的特征方程式为 例：0)1 (16705175 .4123KSSS求该系统稳定的K值范围。解：列劳斯表)1 (167005 .41)1 (16705175 .410)1 (16705 .41051710123KSKSKSS由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：0)1

10、(16700)1 (2 .40517KK9 .111K19例：特征方程为 判断系统稳定性。0)102)(3(2sss解：030423sss30261304301410123ssss劳思表第一列元素符号改变两次，有两个极点位于S右半平面，系统不稳定。20练习： 判断稳定性。 065432234ssss622)18(6)2(325364201234sssss行列式的性质：某一行扩大或缩小整数倍，结果不变，则稳定性不变。变号两次，不稳定。21特征方程为二阶，三阶的系统，判断稳定性的简便方法。02120asasa2011202asasaas0 , 0 , 0210aaa特征方程的系数全为正值，则二阶系

11、统稳定。220322130asasasa30130211312203asaaaaasaasaas3021aaaa且各系数0三阶系统稳定，则所有系数0，且一次项与二次项系数乘积三次项与常数项系数的乘积。235.2.4劳斯判据特殊情况 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零。(劳斯表出现零元素)若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定是以一个很小的正数来代替为零的这项解决的办法据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列请看例题24劳思表出现零元素例：0161243234ssss判断系统的稳定性。16164160)4(12) 1

12、(3164101234sssss0164劳思表第一列元素符号改变两次，系统不稳定。劳思表第一列出现零元素，用 代替， 为无穷小正数。255.2.5 稳定裕量在时域分析中，以实部最大的特征根到虚轴的距离a来表征系统的稳定裕量，或相对稳定性。 因为，当特征根紧靠虚轴时，系统的动态过程将具有强烈的振荡特性或缓慢的非周期特性。为保证系统具有良好的动态响应，常常希望系统特征根与s平面上虚轴之间有一定的距离a。 0-aajRe26劳斯判据的应用实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离

13、虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。azass1代入原方程式中，得到以 1sa01sas稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。解决的办法设右侧。请看例题275.2.5 稳定裕量劳斯判据的应用用劳斯判据检验下列特征方程041310223SSS是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线1S的右方。 例：解：列劳斯表 42 .121081304101320123SSSS第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。28令1 ZS代入特征方程：04) 1(3) 1(10) 1(223ZZZ014223ZZZ式中有负号，显然有根在1S的右方。列劳斯表1211

14、4120123SSSS第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线1S的右方。041310223SSS29例5-5设单位反馈控制系统的开环传递函数为 ) 125. 0)(11 . 0()(sssKsGk试用劳斯稳定判据确定使系统稳定的开环增益的取值范围。如果要求闭环系统的特征根全部位于s=-1垂线左侧时，则K的取值范围又如何？ 解 系统的闭环传递函数为 KsssKsGsGsGkkB40)4)(10(40)(1)()(则系统的特征方程为 040401423Ksss相应的劳斯阵列表为 KKKssss4014)40560(40144010123为了使系统稳定，劳斯阵列表中第一列元素必须全

15、部为正，得140 K30如果要求闭环系统的特征方程根全部位于s=-1垂线左侧，可令带入原特征方程，得到如下的特征方程 11 ss040401423Ksss040) 1(40) 1(14) 1(12131Ksss0)2740(151112131Ksss整理得 相应的劳斯表为 274011)2740(16527401115101112131KKKssss令劳斯表中第一列元素均为正，得 8 . 4675. 0 K上述分析表明，系统参数对系统稳定性是有影响的。适当选取系统某些参数，不但可以使系统获得稳定，而且可以使系统具有良好的动态响应。 31作业：P131 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5

16、-6325-3 奈氏稳定判据奈氏稳定判据是通过系统开环奈氏曲线来判别系统闭环稳定性的方法。若稳定，可求出稳定裕量。5.3.1 幅角原理设系统的开环传递函数为： )()()(sDsMsGK特征方程可表示为如下形式： 0).()()(21nnpspspsasD式中， 、 、 是特征方程的根，它可以是实根，也可以是共轭复根。 1p2pnp将 取代s ，得到特征函数 j)(jD).()()(21nnpjpjpjajD以下根据特征方程根所处位置不同，当由 变化时，对矢量 的幅角变化情况进行分析。 0)(jDi331） 为负实根时，它位于 平面的负实轴上。当由 变化时，矢量 的幅角变化正好为 （这里幅角变

17、化以逆时针方向为正）。记为 ，如图5-4a所示。 1p,j011)(pjjD22)(1jD0ReIm0j1)(1pjjD1Pa)0ReIm0j)(2jD2Pb)2) 为正实根时，它位于 平面的正实轴上。当由 变化时，矢量 的幅角变化正好为 。记为 ，如图5-4b所示。 2p,j022)(pjjD22)(2jD图5-4 幅角原理343） 、 为一对共轭复根，并具有负实部时，它位于 平面的左侧。当由 变化时，矢量 的幅角变化为 ，记为 ，而矢量 的幅角变化为 ，记为 ，它们的幅角变化的平均值仍为 ，如图5-4c所示。 3p4p,j0)(3jD02032)(jD)(4jD02042)(jD20ReI

18、m0j)(3jD3Pc)(4jD04p0ReIm0j)(5jD5Pd)(6jD06p图5-4 幅角原理354） 、 为一对共轭复根，并具有负实部时，它位于 平面的右侧。当由 变化时，每个矢量的相应幅角变化的平均值为 ，如图5-4d所示。 ,j05p6p2由此得出结论：如果系统是稳定的，特征方程根应全部位于 平面的虚轴左侧，则对于特征函数 来说，当由 变化时，它的总幅角变化 （n阶系统），即 。如果总幅角变化不等于 ，则说明出现了右根，系统不稳定。 ,j)(jD02n2)(njD2n365.3.2 辅助函数F(S)R(s)+-C(s)图5-5 闭环系统框图G(s)H(s)图示系统的开环传递函数

19、)()()()()(sDsMsHsGsGK系统的闭环传递函数为 )()()()()()(1)()(sDsMsDsGsHsGsGsGB令辅助函数 )(1)(sGsFK则有 )()()()()(1)(sDsDsMsDsMsFm阶n阶)(mn 分子、分母同为n阶37F(S)的特点：1）使F(S)分子0的点是闭环极点。 使F(S)分母0的点是开环极点。 F(S)的分子、分母同阶，均为n阶。2）)()(1)(jHjGjF 曲线可由 （开环奈氏曲线）向右平移一个单位长度而得。)(jF)()(jHjG-1)()(jHjG050)()(1)(jHjGjF0601规定：顺时针为负385.3.3 奈氏稳定判据的三

20、种描述1. 根据 幅角得变化来描述闭环系统稳定性)(jF由于辅助函数 的分子为闭环系统特征函数，而分母则是开环系统的特征函数。若开环系统是稳定的，则对应的特征方程根均位于s平面左侧，那么，开环特征函数 ，当由 变化时，它的幅角变化为 （n阶系统）。若闭环系统也是稳定的，则同样当 由 变化时，闭环系统特征函数的幅角变化也为 （分子分母阶次相等）。这样，辅助函数，当 由 变化时它的幅角变化等于零。 )(jF)(jD02n02n)()()()()()()(1)(SDSNsDsDsMsDsMsF)()()()()()(1)()(sDsMsDsGsHsGsGsGB)()()()()(sDsMsHsGsG

21、K0不包围原点即）幅角变化为，辅助函数)(0,0:)(0)()()(jFjFjDjNjF结论：系统开环稳定时，则闭环稳定的必要且充分条件是 。相反，如果辅助函数 ，当 由 变化时，幅角变化不等于零，则系统不稳定。 0)(jF)(jF0392. 根据系统开环频率特性的奈奎斯特图形是否包围了S平面上的 点来判定闭环系统的稳定性。 )0, 1(jImRe0)(jG0, 1 jgImRe0)(jG0, 1 jgImRe0)(jG0, 1 jga)b)c)如果开环系统是稳定的，则闭环系统稳定的充分且必要条件是开环传递函数的极坐标图形不包围 点，如图5-6c所示。当图形正好经过 点时，则闭环系统为一临界稳

22、定系统，如图5-6b所示。 )0, 1(j)0, 1(j403.根据系统开环奈氏图形与单位圆和负实轴交点的位置来判别闭环系统的稳定性。 如果系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是，当 由 变化时，开环奈氏图先相交单位圆，然后才与负实轴相交。相反，如果开环奈氏图形先相交负实轴，然后才与单位圆相交，则闭环系统不稳定。图5-7所示中，曲线1为稳定系统，曲线2为不稳定系统。 0Re01g0gcc12图5-7 表示稳定性的奈氏图动画415.3.4 奈氏稳定判据的两点说明1.前面讨论的奈氏稳定判据，前提条件为：系统开环稳定，若系统开环不稳定，则不能用此判据。2.系统含有积分环节的处理。 此时奈氏曲线不封闭，

23、从 开始，逆时针补半径为 的圆，直到正实轴，然后判断奈氏曲线是否包围(-1,j0)点。)0(jGab图都稳定动画动画425.3.5 举例例5-6例5-7例5-8例5-943结论：1.开环系统中积分环节个数越多，系统型别越高，则开环奈氏图就越容易包围(-1,j0)点，闭环系统就越不容易稳定，一般不超过型系统。2.微分环节时间常数越大，在低频时就开始影响奈氏曲线形状，可使系统趋于稳定，微分环节时间常数小时，在高频时对奈氏曲线起作用，这样对闭环稳定性不利。445-4 玻德稳定判据因为玻德图与奈氏图有一一对应关系。 故玻德稳定判据是奈氏判据的另一种描述方法。)(lg20)(AL玻德稳定判据的优点：能方便地描述系统的相对稳定性，及稳定储备（幅值裕量Kg，相位裕量）。5.4.1 系统开环玻德图与开环奈氏图的对应关系1.奈氏图